Corrigé du bac S 2007: Mathématique Spécialité

Education Nationale

Description

Géométrie, simillitude, fonction et probabilités.
Terminale S, Pondichéry, 2007

Sujets

• bac
• bac s
• corrigé bac

Informations

• Publié par: les-corriges
• Publié le: 01 janvier 2007
• Nombre de lectures: 59
• Langue: Français

Extrait

[CorrigédubaccalauréatSPondichéry12avril2007\
EXERCICE 1 4points
Communàtouslescandidats
?! ?! ?!
1. a. LesvecteursAB etAC ontpourcoordonnéesAB(?2; 0;?2)et
?!
AC(1; ?4; ?1). Ilsnesont manifestement pascolinéaires. Conclusion :
lestroispointsA,BetCdéfinissentunplan.
b. A2P () 2?3?2?2?6?4?0estvrai;
B2P () 2?1?2?2?4?4?0estvrai;
C2P () 2?4?(?2)?2?5?4?0estvrai.
LeplanP estdoncbienleplan(ABC).
?! ?! ?!
2. a. D’après1.,AB?AC ?(?2)?1?0?(?4)?(?2)?(?1)?0.LesvecteursAB??!
et AC sont doncorthogonaux, les droites (AB)et (AC)perpendiculaires.
Conclusion:letriangleABCestrectangleenA.
?!
b. Levecteur n (a ; b ; c)estunvecteurnormalaupland’équation
?!
ax?by?cz?d?0.Icilevecteurn (2; 1;?2),vecteurnormalauplanP??! ?!
estdoncunvecteurdirecteurdeladroite(Δ).SiM2(Δ)alorsOM ?λn .
Cetteégalitévectoriellesetraduitparlesystème:8
x ? 2λ<
y ? λ , λ2R.:
z ? ?2λ
c. Puisque (KO) ?P, (KO)?Δ. Le point K est commun à (Δ) et àP.
En utilisant la question précédente, on a 2x ?y ?2z ?4? 0 ()K K K
4
2?λ?λ?2?(?2λ)?4?0 () 9λ?4?0 () λ?? .
9? ?
8 4 8
Conclusion:lescoordonnéesdeKsontdonc ? ;? ; .
9 9 9? ? ? ? ? ?2 2 28 8 8 64 16 64 144 162DoncOK ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? .Conclu-
9 9 9 81 81 81 81 9
4
sion:OK ? .
3
2d. Onprendpourbase(ABC)etlahauteurestdonc[OK].D’après1.,AB ?p p
24?4?8,doncAB?2 2;AC ?1?16?1?18,doncAC?3 2.L’airedup p
AB?AC 2 2?3 2
trianglerectangleABCest: ? ?6.
2 2
46?6?OK 83
DoncV(OABC)? ? ? .
3 3 3
3. a. LebarycentreGexistecarlasommedescoefficients3?1?1?1 estnon??! ?! ?! ?! ?!
nulle.Ilesttelque3GO ?GA?GB ?GC ?0 .
b. I centre de gravité du triangle ABC est l’isobarycentre du système de
pointspondérés {(A,1),(B,1),(C,1)}.
D’après l’associativité du barycentre, G est le barycentre (plus précise-
mentl’isobarycentre)dusystèmedepointspondérés{(O,3),(I,3)}.Gest
donclemilieude[OI],doncappartientàladroite(OI).? ??! 1 ?! ?! ??!
c. On sait que OI ? OA?OB ?OC . Les coordonnées de I sont donc
3? ? ? ?
8 2 15 4 1 5
; ; .CellesdeG: ; ; .
3 3 3 3 3 2
LadistancedeGauplanP estdonnéepar ? ?? ? 8 1? ? ? ?? ?52x ?y ?2z ?4 2G G G 3 3d(G,P)? p ? ? .
2 2 2 3 32 ?1 ?(?2)BaccalauréatS
???! ??! ??! ??! ???! ??!
4. En utilisant la relation de Chasles 3MO ?MA ?MB ?MC ?3MG ?3GO ????! ??! ???! ??! ???! ??! ???!
MG ?GA ?MG ?GB ?MG ?GC ?6MG,pardéfinitiondubarycentre.? ? ? ???! ??! ??! ??! ??! 5? ? ? ?
Onadonc?3MO ?MA ?MB ?MC??5. () ?6MG??5 () GM? .
6
5
L’ensembleΓestdonclaspèredecentreGetderayon .
6
2 4 5
D’après la question 3 c, la distance de G au planP est égale à ? ? . Le
3 6 6
planP etlaspèreΓsontdoncsécants:l’intersection estuncercle.
EXERCICE 2 5points
Candidatsn’ayantpassuivil’enseignementdespécialité
0z ?ω
1. Questiondecours:ilsuffitdemontrerquelecomplexe apourmodule
z?ω
1etaunargumentégalàθ à2πprès.
0 02. a. D’aprèslerésultatprécédentsiM (z )estl’imagedeM(z)parlarotation
π0 i
3R onaalors:z ?(2?2i)?e [z?(2?2i)] ()? !p
1 30z ? ?i [z?(2?2i)]?2?2i ()
2 2? ! ? !p pp p1 3 1 30 0z ? ?i z?(1?i 3)(1?i)?2?2i () z ? ?i z?1? 3?
2 2 2 2? p ?
i 1? 3 quiestl’écriturecomplexedeR.
b. Enappliquant cetterelationàl’affixedeI,onobtient:? p ? ? p ?1 i
z ? 3? 3 ? 3? 3 .A
2 2
2 2 2 2c. OnaIB ?j1?ij ?2;demêmeIO ?j1?ij ?2.
D’après la définition de la rotation R, le triangle BIA est isocèle d’angle
πausommetdemesure :c’estdoncuntriangleéquilatéral.3p
DoncIB=AB=IA=IO= 2.
EnparticulierlespointslespointsO,AetBsontéquidistantsdeI.Ilssontp
surlecercledecentreIetderayon 2.
0?(2?2i)
Ona1?i? ,c’est-à-direqueIest lemilieu dudiamètre[OB].
2
LetriangleOABestdoncinscritdanslecercleprécédent:ilestdoncrec-
tangleenA. ? ??! ?!
π π πParcomplément àπ,ontrouveque OA, OB ?π? ? ? .
2 3 6? ??! ?! πd. Ona u , OB ?arg(z )? .I 4 ? ? ? ? ? ??! ?! ?! ?! ?! ?!
EnappliquantlarelationdeChasles: u , OA ? u , OB ? OA, OB ?
π π π? ? .
4 6 12
?!03. a. A ?T(A).L’affixeduvecteurIO est?1?i.Onadonc? p ? ? p ? ? p ? ? p ?1 1 i
z 0? 3? 3 ?i 3? 3 ?1?i? 1? 3 ? 1? 3 .A
2 2 2
??!?! 0 0b. On a par définition de la translation IO ?AA ()(OIAA est un paral-
0lélogramme; de plus d’après 2 c AI = IO; La quadrilatère OIAA est un
parallélogramme ayantdeuxcôtésconsécutifs demêmelongueur:c’est? ??! ?! 2π
doncunlosange(maispasuncarrécar IO, IA ? .)
3? ? ? ???! ?! π ?! ?! π0c. Onsaitque OA , OI ? et OA, OI ? ;enappliquantlarelationde
3 6? ? ? ? ? ???! ??! π π π?! ?! ?! ?!0 0Chaslesonobtient u , OA ? u , OA ? OA , OA ? ? ?? .
12 6 12
Pondichéry 2 12avril2007BaccalauréatS
B
I
A
O
0A
EXERCICE 2 5points
Candidatsayantsuivil’enseignementdespécialité
1. Voirlecours
p p p
2. a. Triangle(OAG):onaOA=2, OG 9?1? 10, AG? 2.p p
TriangleOEF:onaOE? 2, OF? 5,EF?1.p p pOA 2 OG 10 AG 2
Onremarqueque ?p ? ? p ? ? ? 2.
OE OF EF 12 5
Conclusion:LestrianglesOAGetOEFsontdoncsemblables.
b. S’ilexisteunesimilitude indirecteS transformantOAGenOEF,sonécri-
0tureestdelaforme:z ?az?b,aveca2C, b2C.Onadonc8
b ? 08 8 >>S(O)?O 0 ? a?0?b< < < 1
a ? (1?i)S(G)?F () 1?i ? a?2?b () 2: : > 2?i>S(A)?E 2?i ? a?(3?i)?b : a ?
3?i
(2?i)(3?i) 5?5i 1
Ora? ? ? (1?i).
(3?i)(3?i) 10 2 ? ?10L’écriturecomplexedeS estdonc:z ? 1?iz .
2
10c. L’écriturecomplexedeh est:z ?p z.
2
p20 0L’affixedeA estdonc p ? 2.LemilieuIde[EA ]apouraffixe
2p
1? 2 1? i.
2 2
??!1 ?! 0L’équation deladroite(OI)estdonc y?? p ?x.CalculonsOI?EA ?
1? 2p ?p ?1? 2 1 1 1? 2?1 ? ?(?1)? ? ?0.
2 2 2 2
Eestl’imagedeAparl’homothétieh suiviedelasymétrieσ.? !p
3 20DemêmeG(3?i),doncG p ?i .
22 ? !p p
3 2 2 10LemilieuJde[FG ]apouraffixe ?1?i ? .
4 4 2
Pondichéry 3 12avril2007
bbbbbBaccalauréatS
? !p p p p? p ?2 1 2 1 1 2 3 2
On a ? 1? 2 ? ? ? ? ?1? . Donc le point J
4 2 4 2 2 2 4
appartientbienàladroite(OI).? ! ? ! ? !p p p p??!?! 1? 2 3 2 1 2 3 2 30De même OI ?FG ? ? ?2 ? ? ?1 ? ? ?
2 2 2 2 4 2pp 2 1 01? 2? ? ?0. F est donc l’image de G par la symétrieσ et F est
4 2
l’imagedeGparl’homothétieh suivie delasymétrieσ.
EnfinOestl’imagedeOparl’homothétieh suiviedelasymétrieσ.
Conclusion:d’aprèslaquestion1,onaS?σ?h.
FE G
G’I
A’ A
EXERCICE 3 5points
Communàtouslescandidats
1. Lenumérateurde f estlacomposéed’unefonctionaffineetdelafonctionln.
Elle estdoncdérivablepour x??3.Ledénominateur estunefonctionaffine.
f est donc dérivable comme quotient de fonctions dérivables, le dénomina-
teurnes’annulantpassur[0;?1[.
1?ln(x?3)0 2Oncalcule f (x)? .Comme(x?3) >9?0,ladérivéeestdusigne
2(x?3)
de1?ln(x?3).
Or1?ln(x?3)?0 () lne?ln(x?3)?() e?x?3 () x?e?3?0.
On ax>0 () x?3>3?e)x?3?e () ln(x?3)?lne () ln(x?3)?
1 () 0?1?ln(x?3).
0Conclusion : sur [0 ; ?1[, f (x)?0 et la fonction est décroissante sur cet in-
tervalle.
ln3 lnu
Ona f(0)? etenposantu?x?3, lim f(x)? lim ?0.
x!?1 u!?13 u
D’oùletableaudevariationsde f :
x 0 ?1
0 ?f
ln3
3
f(x)
0
2. a. Sin6x6n?1alorspardécroissancedelafonctionsur f sur[0;?1[, f(n?
1)6 f(x)6 f(n).
b. Enintégrantden àn?1lesfonctionsprécédentesonobtientl’encadre-
ment:
Pourtoutentiernatureln,
Pondichéry 4 12avril2007
bbbbbbbBaccalauréatS
Z Z Zn?1 n?1 n?1
f(n?1)dx6 f(x)dx6 f(n)dx ou
n n n
f(n?1)6u 6 f(n).n
c. Enappliquant le théorème des gendarmes,u qui est encadrépar deuxn
nombresquiontpourlimite0apourlimite0.
3. a. La fonction définie par x7!u(x)?ln(x?3) est dérivable sur [0 ; ?1[,
2ainsi que la fonction définie paru7!u . Parcomposition, la fonctionF
estdérivablesur[0;?1[.
1 ln(x?3)0 0Sur cet intervalle, F (x)?2u?u ?2?ln(x?3)? ? 2 ?
x?3 x?3
2f(x).
b. D’aprèslaquestion précédente,pourtoutentiernatureln :? ?Z nn F(x) 1 1n
I ? f(x)dx? ? [F(x)] ? [F(n)?F(0)]?n 02 2 20 0
2 2[ln(n?3) ?[ln3]
I ? .n
2 Z Z1 2
4. Pour tout entier n, S ?u ?u ????u? ? f(x)dx? f(x)dx?????n 0 1 n?1
0 1Z Zn n
f(x)dx ? f(x)dx par application de la relation de Chasles. Finale-
n?1 0
2 2[ln(n?3) ?[ln3]
ment:S ?I ? .n n
2
2Comme lim (n?3)??1, lim ln(n?3)??1, lim [ln(n?3)] ??1et
n!?1 n!?1 n!?1
lim S ??1.n
n!?1
Lasuite(S )estdivergente.n
EXERCICE 4 6points
Communàtouslescandidats
1. LavariablealéatoireX suituneloibinomialedeparamètresn?50etp?0,1.? ?50 k 50?kPour06k650, P(X?k)? 0,1 ?0,9 .k
50– P(A)?1?P(X ?0)?1?(0,9) ?0,9948?0,995aumillième.
50 49 50?49– P(B)?P(X ?0)?P(X?l)?P(X ?2)?0,9 ?50?0,1?0,9 ? ?
2
2 480,1 ?0,9 ?0,111729?0,112 aumillième.
– P(C)?1?P(B)?1?0,111729?0,888 aumillième.
2. a. La probabilité qu’au moins trois personnes répondent est : P(X> 3)?? ??a 0 ?a 1 ?a 2e a e a e a
1?[P(X ?0)?P(X ?l)?P(X ?2)]?1? ? ? ?
0! 1! 2!? ?2a?a1?e 1?a? .