Corrigé du bac S 2008: Mathématique Obligatoire

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Description

Etude d'intégrales, intersections de plans dans l'espace, probabilités sans vieillissement et géométrie complexe.
Terminale S, Métropole, 2008

Sujets

• bac
• bac s
• corrigé bac

Informations

• Publié par: les-corriges
• Publié le: 01 janvier 2008
• Nombre de lectures: 49
• Langue: Français

Extrait

BaccalauréatS
Candidatsn’ayantpassuivil’enseignementdespécialité
19juin2008, 4heures
Exercice1 5points
Les courbesC etC données ci dessous représentent respectivement, dans un repère orthonormal (O; ~ı;~), lesgf
fonctions f et g définiessurl’intervalle]0;+∞[par:
2f(x)=lnx et g(x)=(lnx) .
3
Cg2
Cf
1
~
e1 2 3 4
~ı
−1
−2
1. Onchercheàdéterminerl’aireA (enunitésd’aire)delapartieduplangrisée.
Z Ze e
2OnnoteI= lnxdx etJ= (lnx) dx.
1 1
(a) VérifierquelafonctionFdéfiniesurl’intervalle]0 ;+∞[par
F(x)=xlnx−x estuneprimitivedelafonctionlogarithmenépérien.EndéduireI.
(b) Démontreràl’aided’uneintégrationparpartiesqueJ=e−2I.
(c) EndéduireJ.
(d) DonnerlavaleurdeA.
1R
2. Dans cette question le candidat est invité à porter sur sa copie les étapes de sa démarche même si elle n ’aboutit
pas.
Pourx appartenantàl’intervalle[1;e],onnoteMlepointdelacourbeC d’abscissex etNlepointdelacourbef
C de même abscisse. Pour quelle valeur de x la distance MN est maximale? Calculer la valeur maximale deg
MN.
Exercice2 5points
~
~~Dansl’espacemunid’unrepèreorthonormal(O;ı;;k),onconsidèrelespoints
A(1; 1; 0),B(1; 2; 1)etC(3;−1 ; 2).
1. (a) DémontrerquelespointsA,BetCnesontpasalignés.
(b)rerqueleplan(ABC)apouréquationcartésienne2x+y−z−3=0.
2. Onconsidèrelesplans(P)et(Q)d’équationsrespectives x+2y−z−4=0et2x+3y−2z−5=0.
Démontrerquel’intersectiondesplane(P)et(Q)estunedroite(D),dontunereprésentationparamétriqueest:

x = −2+t
y = 3 (t∈ )

z = t
3. Quelleestl’intersectiondestroisplans(ABC),(P)et(Q)?
4. Danscettequestiontoutetracederecherche,mêmeincomplète,serapriseencomptedansl’évaluation.
DéterminerladistancedupointAàladroite(D).
Exercice3 5points
La durée de vie, exprimée enheures, d’unagendaélectronique estune variable aléatoire X qui suitune loi expo-
nentielledeparamètreλoùXestunréelstrictementpositif.
Z t
−λxOnrappellequepourtout t˚0, P(X?t)= λe dx.
0
LafonctionRdéfiniesurl’intervalle[0;+∞[parR(t)=P(X>t)estappeléefonctiondefiabilité.
1. RestitutionOrganiséedeConnaissances
−λt(a) Démontrerquepourtout t˚0onaR(t)=e .
(b)rerquelavariableXsuituneloideduréedeviesansvieillissement,c’est à direquepourtoutréel
s˚0,laprobabilitéconditionnelleP (X>t+s)nedépendpasdunombre t˚0.X>t
2. Danscettequestion,onprendλ=0,00026.
(a) CalculerP(X?1 000)etP(X>1 000).
(b) Sachantquel’évènement(X>1 000)estréalisé,calculerlaprobabilitédel’évènement(X>2 000).
(c) Sachant qu’un agenda a fonctionné plus de 2 000 heures, quelle est la probabilité qu’il tombe en panne
avant3 000heures?Pouvait onprévoircerésultat?
Exercice4 5points
Leplanestmunid’unrepèreorthonormaldirect(O;~u;~v)(unitégraphique1cm).
SoientA,BetIlespointsd’affixesrespectives1+i,3−i et2.
0 0 0 2 0ÀtoutpointMd’affixe z,onassocielepointM d’affixe z telleque z =z −4z.LepointM estappelél’imagede
M.
1. Faireunefiguresurunefeuilledepapiermillimétréetcomplétercettefiguretoutaulongdel’exercice.
0 02. CalculerlesaffixesdespointsA etB ,imagesrespectivesdespointsAetB.Queremarque t on?
3. Déterminerlespointsquiontpourimagelepointd’affixe−5.
0 24. (a) Vérifierquepourtoutnombrecomplexe z,ona: z +4=(z−2) .
fl fl ¡ ¢
0 0fl fl(b) Endéduireunerelationentre z +4 et|z−2|et,lorsque z estdifférentde2,unerelationentrearg z +4
etarg(z−2),
20(c) Quepeut ondiredupointM lorsqueMdécritlecercleC decentreIetderayon2?
πi 0
35. SoientElepointd’affixe2+2e ,Jlepointd’affixe−4etE l’imagedeE.
‡ ·
→−→−(a) CalculerladistanceIEetunemesureenradiansdel’angle u ;IE .
‡ ·−→→−0 0(b) CalculerladistanceJE etunemesureenradiansdel’angle u ;JE .
0(c) ConstruireàlarègleetaucompaslepointE ;onlaisseraapparentslestraitsdeconstruction.
3Correction
Exercice1 5points
Les courbesC etC données ci dessous représentent respectivement, dans un repère orthonormal (O; ~ı;~), lesf g
fonctions f et g définiessurl’intervalle]0;+∞[par:
2
f(x)=lnx et g(x)=(lnx) .
1. Onchercheàdéterminerl’aireA (enunitésd’aire)delapartieduplangrisée.
Z Ze e
2OnnoteI= lnxdx etJ= (lnx) dx.
1 1
1
0(a) F (x)=lnx+x× −1=lnx, donc F est une primitive de la fonction logarithme népérien sur l’intervalle
x
[1;e].
Z e
e
I= lnxdx=[xlnx−x] =10
0
(b) Intégrationparparties:
 
2 Z 2 0 e£ ⁄u(x)=(lnx) ; u (x)= lnx e2doncJ= x(lnx) −2 lnxdx=e−2Ix 0 0 0v (x)=1 ; v(x)=x
Z e
e(c) J=e−2I=e−2 lnxdx=e−2[xlnx−x] =e−2.0
0
fl flZ Z Ze e efl fl fl fl fl fl ¡ ¢2 2 2fl fl fl fl fl fl(d) A = lnx−(lnx) dx = lnx−(lnx) dx= lnx−(lnx) dx=I−J=1−e+2=3−e’0,281.
fl fl
0 0 0
2. Dans cette question le candidat est invité à porter sur sa copie les étapes de sa démarche même si elle n ’aboutit
pas.
2Pour x appartenantàl’intervalle[1;e],onnoteM(x;lnx)etN(x;(lnx) ).
fl fl
2 2 2fl flMN(x)= lnx−(lnx) =lnx−(lnx) car(lnx) ?lnx sur[1;e]
? ¶
2 1 p
0 0MN (x)= lnx− ; MN (x)>0si x< e
x 2
p
x 1 e e
0 + 0 −MN (x)
1
4
MN(x)
0 0
p 1
Ainsi,MN(x)possèdeunmaximumpour x= e.Lavaleurmaximalest .
2
Exercice2 5points
~Dansl’espacemunid’unrepèreorthonormal(O;~ı;~;k),onconsidèrelespoints
A(1; 1; 0),B(1; 2; 1)etC(3;−1 ; 2).
1. (a) A,BetCnesontpasalignés:
   
0 2
−→ −→
   AB 1 ; AC −2 Lescoordonnéesnesontpasproportionnelles.
1 2
−→ −→
ABetACnesontdoncpascolinéairesetA,BetCnesontpasalignés;ilsdéterminentainsiunplan.
4R
(b) Pourdémontrerqueleplan(ABC)apouréquationcartésienne2x+y−z−3=0,ilsuffitdevérifierqueles
coordonnéesdespointsA,BetC,nonalignés,vérifientl’équationproposée:

2×1+1×1−1×0−3=0
2×1+1×2−1×1−3=0

2×3+1×(−1)−1×2−3=0
2. Onconsidèrelesplans(P)et(Q)d’équationsrespectives x+2y−z−4=0et2x+3y−2z−5=0.
Intersectiondesplane(P)et(Q):
‰ ‰ ‰ ‰ ‰
x+2y−z−4=0 x+2y=z+4 2x+4y=2z+8 x+2y=z+4 x=−2+z
⇐⇒ ⇐⇒ ⇐⇒ ⇐⇒
2x+3y−2z−5=0 2x+3y=2z+5 2x+3y=2z+5 y=3 y=3
Enposant z=t,onobtientunereprésentationparamétriqueestladroite(D),intersectiondesdeuxplans:

x = −2+t
y = 3 (t∈ )

z = t
3. (ABC)∩((P)∩(Q))=(ABC)∩(D):
  
2x+y−z−3=0 2(−2+t)+3−t−3=0 t=4  
  x=−2+t x=−2+t x=2
M(x;y;z)∈(ABC)∩(D)⇐⇒ ⇐⇒ ⇐⇒ =⇒M(2;3;4)
 y=3  y=3  y=3
  
  
z=t z=t z=4
DistancedupointAàladroite(D):
2 2 2 2 2PourtoutpointMdeladroite(D),AM =(−2+t−1) +(3−1) +(t−0) =2t −6t+13.
2 0 2(2t −6t+13) =4t−6;leminimumdecepolynomeduseconddegré(cœfficientde x positif)estobtenupour
3
t= .
2
Ainsi,ladistancedeAàladroite(D)est:
s p? ¶23 9 34
d(A,D)= −3 +4+ =
2 4 2
Exercice3 5points
Z t
−λxOnrappellequepourtout t˚0, P(X?t)= λe dx.
0
LafonctionRdéfiniesurl’intervalle[0;+∞[parR(t)=P(X>t)estappeléefonctiondefiabilité.
1. RestitutionOrganiséedeConnaissances
(a) Pourtout t˚0ona:
Z h it t
−λx −λx −λtR(t)=P(X>t)=1−P(X?t)=1− λe dx=1− −e =e
00
(b) LavariableXsuituneloideduréedeviesansvieillissement,c’est-à direquepourtoutréel s˚0,laproba-
bilitéconditionnelleP (X>t+s)nedépendpasdunombre t˚0:X>t
−λ(t+s)P((X>t+s)∩(X>t)) P(X>t+s) e −λsP (X>t+s)= = = =eX>t
−λtP(X>t) P(X>t) e
2. Danscettequestion,onprendλ=0,00026.
−0,00026×1000 −0,26(a) P(X?1000)=1−R(1000)=1−e =1−e ’1−0,77105=0,2289’0,229
−0,00026×1000 −0,26P(X>1 000)=e =e ’0,771.
5(b) Sachantquel’évènement(X>1 000)estréalisé,calculerlaprobabilitédel’évènement(X>2 000).
P((X>2000)∩(X>1000)) P(X>2000)
P (X>2000)= =X>1000
P(X>1000) P(X>1000)
−0,00026×2000e
−0,00026×(2000−1000) −0,26
= =e =e ’0,771
−0,00026×1000e
(c) Sachantqu’unagendaafonctionnéplusde2 000heures,laprobabilitéqu’iltombeenpanneavant3 000
heuresestdonnépar:
P((X>2000)∩(X?3000)) 1−P(X<2000)−P(X˚3000)
P (X?3000)= =X>2000
P(X>2000) P(X>2000)
Z 2000
−λx −3000λ1− λe dx−e −2000λ −3000λ1−1+e −e0 −1000λ
= = =1−e
−2000λP(X>2000) e
−0,26
=1−e =1−0,771=0,229
Onauraitpuprévoircerésultatd’aprèslaquestion1.b.Eneffet,
−0,00026×(3000−2000) −0,26P (X?3000)=1−P (X>3000)=1−e =1−e ’1−0,771=0,229X>2000 X>2000
Exercice4 5points
Leplanestmunid’unrepèreorthonormaldirect(O;~u;~v)(unitégraphique1cm).
SoientA,BetIlespointsd’affixesrespectives1+i,3−i et2.
0 0 0 2 0ÀtoutpointMd’affixe z,onassocielepointM d’affixe z telleque z =z −4z.LepointM estappelél’imagede
M.
1. Figure:
0E
E
A
J I
B
0A
0 02. AffixesdespointsA etB ,imagesrespectivesdespointsAetB:
0 2 0 2a =(1+i) −4(1+i)=−4−2i ; b =(3−i) −4(3−i)=−4−2i
0 0OnremarquequeA =B .
63. Pointsquiontpourimagelepointd’affix