Corrigé du bac S 2009: Mathématique Obligatoire

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Description

Equations différentielles et probabilité, calcul d'intégrales et de suite, barycentre, géométrie complexe.
Terminale S, Amérique du Nord, 2009

Sujets

• bac
• bac s
• corrigé bac

Informations

• Publié par: les-corriges
• Publié le: 01 janvier 2009
• Nombre de lectures: 68
• Langue: Français

Extrait

[BaccalauréatSAmériqueduNord4juin2009\
EXERCICE 1 5points
PartieA:Étudedelaprogressiondel’épidémiependant30jours
′z′1. Comme y estdérivablesur[0; 30], z aussiet y =− ;onvaremplacer:
2z? ? z(0) = 100
y(0) = 0,01 z(0) = 100′⇐⇒ ⇐⇒z 1 1′ ′y = 0,05y(10−y)  z = −0,5z+0,05− = 0,05 (10− )
2z z z
′2. a. z est donc solution d’uneéquation différentielle de la forme z =az+b.Lessolutions sont les fonctions
−0,5xdéfiniessur[0; 30]parz(x)=ke +0,1aveckréel.
−0,5×0
z(0)=100⇐⇒ke +0,1=100⇐⇒k=99,9
−0,5xAinsi, z estdéfinieparz(x)=99,9e +0,1
1
Enfin, y estdéfiniepar y(x)= .−0,5x99,9e +0,1
b. Onveut y(30).
1
y(30)= ≈9,99.Après30jours,10%delapopulationestinfectée.−0,5×3099,9e +0,1
PartieB:Étudesurl’efficacitéd’unvaccin
1. NotonsMl’évènement«l’individutombemalade»etV«l’individuestvacciné».? ?
Onap(V)=0,25; p M =0,92etp(M)=0,1V
0,08
M VV M
0,25 0,1
M V0,92
ET
M V
0,75
V MM M
Onveutp(M∩V).
p(M∩V)=p(V)p (M)=0,25×0,08=0,02.V
p(M∩V) 0,02
p (V)= = =0,2M
p(M) 0,1? ?
p V =1−p (V)=0,8M M? ? ? ?
Enfin,p M∩V =p(M)×p V =0,1×0,8=0,08M ? ?
p M∩V 0,08 8
2. Onchercheici p (M):p (M)= ? ? = = .
V V 0,75 75p V
bbbbbbbbbbbbbbA.P.M.E.P. BaccalauréatS
EXERCICE 2 5points
PartieA:Restitutionorganiséedeconnaissances
Voirlecourspourlesdétails,voiciladémarche:Z Z Zb b b
Parlinéaritédel’intégrale(secondrappel): f(x)dx6 g(x)dx⇐⇒ (f −g)(x)dx60.
a a a
Or,pourtoutx de[a ; b], f(x)6g(x),donc f −g60etlepremierrappelassurelerésultat.
PartieB
21. a. f est la composée de la fonction x7?→−x , décroissante sur [0 ; 1], suivie de la fonction exponentielle
croissantesurR. f estdoncdécroissantesur[0; 1].
Onpeutbiensurargumentersurladérivabilitéde f puislesignedesadérivée.
1
Onendéduitque,pourtoutxde[0; 1], f(1)6 f(x)6 f(0)⇐⇒ 6 f(x)61
e
b. Parcroissancedel’intégrale,ondéduitdelaquestionprécédente:Z Z Z1 1 11 1
dx6 f(x)dx6 1dx⇐⇒ 6u 610
e e0 0 0Z Z1 1
2−x2. u = xf(x)dx= xe dx1
0 0
12 ′ ′ u ′ u(x)Onposeu(x)=−x ,ainsiu (x)=−2x et(u e )(x)=−2xf(x)⇐⇒xf(x)=− u (x)e .
2? ? ? ?1
1 2 1 1 1 1−xOnadonc:u = − e =− + = 1− .1
2 2e 2 2 e0
n3. a. Comme la fonction exponentielle est positive surR, pour tout x de [0; 1], x f(x)>0. Enfin,comme les
bornessontdanslebonordre,parpositivitédel’intégrale,onabienlerésultat.Z Z1 1
n+1 n nb. Pourtoutn dansN,u −u = x f(x)−x f(x)dx= (x−1)x f(x)dx60carlafonctionintégréen+1 n
0 0
estclairementnégativesur[0; 1].
Lasuite(u )estdécroissante.n
c. Lasuite(u )estdécroissanteetminoréepar0doncelleconverge.n
4. a. D’aprèslaquestion1.a.,pourtoutx de[0; 1], f(x)61,parcroissancedel’intégrale:? ?Z Z Z 1 Zn+11 1 1 1x 1n n n n
x f(x)dx6 x dx⇐⇒ x f(x)dx6 ⇐⇒ x f(x)dx6
n+1 n+10 0 0 00
1 1
b. D’aprèslesquestions3.a.et4.a.,ona06u 6 et lim =0n
n→+∞n+1 n+1
Aveclethéorèmedesgendarmeslasuiteconvergevers0.
EXERCICE 3 5points? ?? ?−→ 1 −−→ −→ 1 1
1. AI = AD+AE ,donc I 0; ;
2 2 2? ?? ?1 1 1−→ −→ −→
AJ = AB+AD ,doncJ ; ; 0
2 2 2 ? ?
1 1 1
Enfin,Kestlemilieude[IJ],doncK ; ;
4 2 4? ?
−−→ −−→ 1 1 1
2. OnaG(1; 1;1),doncAG(1; 1; 1)etAK ; ;
4 2 4
Lescoordonnées deces deuxvecteursnesontpasproportionnelles,doncils nesontpascolinéaires, doncles
pointsA,KetGnesontpasalignés.
AmériqueduNord 2 4juin2009A.P.M.E.P. BaccalauréatS
3. a. MontronsquelestroispointsA,KetGsontéquidistantsdeIetJ.
p1
AI=AJ= 2(cubedecôté1).
2
KI=KJcarKestlemilieude[IJ].
Le théorème de Pythagore appliqués aux triangles GHI rectangle en H et GCJ rectangle en C, permet de
montrerqueGI=GJ.
LestroispointsA,KetGsontéquidistantsdeIetJ,donc(AKG)estbienleplanmédiateurde[IJ].? ?→− 1 1
b. Le vecteur IJ ; 0;− est donc normal à (AKG), une équation cartésienne de ce plan est donc de la
2 2
1 1
forme: x− z+d=0⇐⇒ x−z+2d=0.
2 2
CommeA∈(AKG),lescoordonnéesdeAvérifientcetteéquation,doncd=0.
Uneéquationde(AKG)estdonc x−z=0.
c. LescoordonnéesdeD(0;1;0)vérifientl’équationprécédente,doncD∈(AKG).? ?
1 1
4. a. L ; 1; ,onendéduitlescoordonnéesdumilieude[AL];ontrouvelescoordonnéesdeK!
2 2
b. DémontrerqueKestlebarycentredespointsA,DetGaffectésdecoefficientsquel’onprécisera.
OnvientdemontrerqueKestlemilieude[AL],doncK=bar{(A, 2),(L, 2)}
Mais,Lestaussilemilieude[DG],doncL=bar{(D, 1),(G, 1)}
Parassociativitédubarycentre,onadoncK=bar{(A, 2),(D, 1),(G, 1)}.
EXERCICE 4 5points
Enseignementobligatoire ? ?→− →−
Leplancomplexeestmunid’unrepèreorthonormaldirect O, u , v .? ?p p p
SoitAlepointd’affixea=1+i 3etBlepointd’affixeb=1− 3+ 1+ 3 i.
PartieA:étuded’uncasparticulier
p pp ? ?? ?
−1−i 3 − 3−i−a −1−i 3
1. a. = = =ip
b−a 4− 3+i
b. Onendéduitque0−a=i(b−a),donc,quelepointOestl’image deB(b)danslarotationdecentreA(a)
π
etd’angle .
2
LetriangleOABestbienrectangle,isocèleenA.
2π′
32. Onutilisel’écriturecomplexedelarotationr : z −0=e (z−0).? !p ? ?p p p2π 2π 1 3 1 2
3 3c=e a=e (1+i 3)= − +i (1+i 3)= −1−( 3) =−2
2 2 2
3. a. OnpeutsecontenterdevérifierquelescoordonnéesdeAetdeCvérifientcetteéquation:p
A(1; 3)etC(0;−2).p p p3 3
PourA: (x+2)= (1+2)= 3.OK
3 3p p
3 3
PourC: (x+2)= (−2+2)=0.OK
3 3 p
3
AetCappartiennentàladroited’équation y= (x+2),c’estdoncbienladroite(AC).
3
AmériqueduNord 3 4juin2009A.P.M.E.P. BaccalauréatS
p ? p ? p p
1− 3+ 1+ 3 i−2−2ib+d −1− 3 −1+ 3
b. L’affixedumilieuEde[BD]estz = = = + iE
2 2 2 2? ! ? !p p p p p p
3 3 −1− 3 3 3− 3 3−1
Or, (x +2)= +2 = = =y .Eestbiensur(AC).E E
3 3 2 3 2 2
PartieB:étudeducasgénéral
′ iθ ′ iθ1. a =ae etb =be .
′ ? ?a+a 1 iθ2. a. p= = a 1+e
2 2
′ ? ?b+b 1 iθq= = b 1+e
2 2 ? ?1
iθ− a 1+e−p −a 12 iθb. = = ensimplifiantpar (1+e )? ? ? ?1 1q−p b−a 2iθ iθb 1+e − a 1+e
2 2 ? ?−a −p −→−→ π
c. Or,d’aprèslaquestionA1.a., =i,donc =i.Donc, PQ;PO = [2π]
b−a q−p 2
Lesdroites(OP)et(PQ)sontbienorthogonales.
′ ′ ′d. A estl’imagedeAdansunerotationdecentreO,doncOA =OAetOestsurlamédiatricede(AA ).
′
CommePestlemilieude[AA],cettemédiatriceestdonc(OP).
′Lesdeuxdroites(PQ)et(AA )sontdoncorthogonalesà(OP)etpassentparP,ellessontdoncconfondues
′
etQappartientbienà(AA ).
EXERCICE 4 5points
Enseignementdespécialité
Soit A l’ensembledesentiersnaturelsdel’intervalle[1; 46].
1. Onconsidèrel’équation
(E): 23x+47y=1
où x et y sontdesentiersrelatifs.
a. (−2;1)estunesolutionde(E)car−2×23+1×47=1.
b. (x ; y)solutionde(E)⇒23x+47y=1?
parsoustraction23x+47y = 1 ⇒ 23(x+2)+47(y−1)=0⇒23(x+2)=47(1−y)−2×23+1×47 = 1
Donc 23 divise 47(1−y), mais 47 et 23 sont premiers entre eux, d’après le théorème de Gauss, 23 divise
1−y.
Doncilexisteunentierrelatifk telque1−y=23k soit y=1−23k
Onadoncaussi,23(x+2)=47×23k⇐⇒x=47k−2
Onvérifieque,réciproquement,pourtoutentierrelatifk,(47k−2;1−23k)estbiensolutionde(E).
L’ensembledessolutionsde(E)estl’ensembledescouples(47k−2;1−23k)oùk∈Z.
c. 23x≡1 (47)⇔ilexiste y∈Z,23x=1−47y⇔ilexistek∈Z,x=47k−2et y=1−23k
Deplusx∈ A⇔1647k−2≤46⇔3647k648.
Orunseulmultiplede47setrouvedanscetencadrement,c’est47.Donck=1etx=45.
Leseulentierx appartenantà A telque23x≡1 (47)est45.
2. Soienta etb deuxentiersrelatifs.
AmériqueduNord 4 4juin2009A.P.M.E.P. BaccalauréatS
a. ab≡0 (47)⇔47divise ab.
Or47est un nombrepremier,il apparaitdoncaumoins dansl’une desdeuxdécompositions de aou de
b.D’oùlerésultat.
2a2 2b. a ≡1 (47)⇔a −1≡0 (47)⇔(a−1)(a+1)≡0 (47)⇒a−1≡0 (47)ou a+1≡0 (47)???
3. a. Tout entier p de A est premier avec 47, donc le théorème de Bezout assure l’existence de (q, s) entiers
relatifstelsqueqp+47s=1.
Onaalors p×q≡1 (47).
p∈A2b2b. p=inv(p)⇒p ≡1 (47)⇒p≡−1 (47)ou p≡1 (47) ⇒ p=46ou p=1
Réciproquement1et46conviennentbien.
c. PourtoutentierpdeAcomprisentre2et45,ilexiste(d’après3a)unentierdeAdistinct(d’après3b)inv(p)
telquep×inv(p)≡1 (47),donc45!≡1 (47).Onendéduit46!≡46 (47)soitenfin46!≡−1 (47).
AmériqueduNord 5 4juin2009