Corrigé du baccalauréat S Antilles Guyane septembre

Description

Niveau: Secondaire, Lycée
[ Corrigé du baccalauréat S Antilles-Guyane \ septembre 2011 EXERCICE 1 5 points Commun à tous les candidats Partie A : Étude d'une fonction 1. a. De lim x?+∞ x =+∞ et lim x?+∞ lnx =+∞, on conclut que lim x?+∞ f (x)=+∞. b. On sait que lim x?0 x lnx = 0, donc lim x?0 f (x)=?1. 2. f ?(x)= lnx + x ? 1 x = lnx +1. On a donc f ?(x) > 0 ?? lnx +1 > 0 ?? lnx > ?1 ?? x > e?1 (par croissance de la fonction exponentielle). On peut donc en déduire que f est croissante sur ] e?1 ; +∞ [ . De même f ?(x)< 0 ?? x < e?1 et f ?(x)= 0 ?? x = e?1. On a f ( e?1 ) = e?1 ln ( e?1 ) ? 1 = ?e?1 ? 1. On a donc le tableau de variations de la fonction f sur ]0 ; +∞[ suivant : x 0 e?1 +∞ f ?(x) ? 0 + f (x) ?1 ?e?1?1 +∞ 3.

• vecteur normal


• lnx ?


• centre de gravité du triangle abc


• cercle situé dans le plan d'équation z


• ??

Sujets

• Normale à une surface

Informations

• Publié par: apmep
• Publié le: 01 septembre 2011
• Nombre de lectures: 2 164
• Langue: Français

Extrait

[CorrigédubaccalauréatSAntilles-Guyane\
septembre2011
EXERCICE 1 5points
Communàtouslescandidats
PartieA:Étuded’unefonction
1. a. De lim x??1et lim lnx??1,onconclutque lim f(x)??1.
x!?1 x!?1 x!?1
b. Onsaitque limxlnx?0,donc lim f(x)??1.
x!0 x!0
102. f (x)?lnx?x? ?lnx?1.
x
0 ?1On a donc f (x)? 0 () lnx?1?0 () lnx??1 () x?e (par croissance
de la fonction exponentielle). On peut donc en déduire que f est croissante sur? ?
?1e ;?1 .
0 ?1 0 ?1Demême f (x)?0 () x?e et f (x)?0 () x?e .
? ? ? ?
?1 ?1 ?1 ?1On a f e ? e ln e ?1??e ?1. On a donc le tableau de variations de la
fonction f sur]0;?1[suivant:
?1x 0 e ?1
0 ?f (x) ?0
?1?1
f(x)
?1?e ?1
? ?
?13. Sur 0; e , f(x)6?1?0.l’équationn’apasdesolutionsurcetintervalle.
? ?
?1Sur l’intervalle e ;?1 , la fonction f est continue car dérivable et strictement? ? ? ?
?1 ?1monotonecroissante:ilyadoncunebijectionde e ;?1 sur ?e ?1;?1 .
? ?
?1Conclusion:ilexisteunréeluniqueαdel’intervalle e ;?1 telque f(α)?0.
Lacalculatricedonnesuccessivement:1,7?α?1,8,puis1,76?α?1,77.
4. Laquestionprécédentemontreque:
-sur 0;α , f(x)?0;] [
- f(α)?0;
-sur]α;?1[, f(x)?0.
1
5. Ona f(α)?0 () αlnα?1?0 () αlnα?1 () lnα? (carα6?0).
α
PartieB:Calculd’uneintégrale
1. Onsaitquesurl’intervalle[α; 4]lafonctionf estpositive,queα?4,doncl’intégrale
est (en unité d’aire) l’aire de la surface hachurée limitée par la courbeC, l’axe des
abscissesetlesdroitesd’équationsrespectivesx?αetx?4.
8 2x? ><0 u(x) ?u (x) ? x
22. Posons ?) 1v(x) ? lnx > 0: v (x) ?
x
Toutes ces fonctions sont continues car dérivables sur l’intervalle [α ; 4], on peut
doncfaireuneintégrationparparties:BaccalauréatS A.P.M.E.P.
? ? ? ? ? ?Z Z4 4 42 2 2 2 24 4x x 1 x x x x
I? lnx ? ? dx? lnx ? dx? lnx? ?
2 2 x 2 2 2 4α α α α α
? ?2 2 2 2α α α α
8ln4?4? lnα? ?8ln4?4? ? lnα.
2 4 4 2
Z4 2 2α α4 4 43. I? (xlnx?1)dx? xlnxdx? 1dx?J?[x] ?8ln4?4? ? lnα?4?α.α α α 4 2α
1
Onavuquelnα? ,donc:
α
2 2 2 2α α α α α α
I ? 8ln4?4? ? ?4?α? 8ln4?4? ? ?4?α? 8ln4?8? ? ?
4 2α 4 2 4 2
2 2α α α α28ln2 ?8? ? ?16ln2?8? ?
4 2 4 2
Del’encadrementtrouvé1,76?α?1,77, ondéduitsuccessivement:
2α23,0976?α ?3,1329)00,7744? ?0,783225
4
α
et0,88? ?0,885etfinalement:
2
4,7444?I?4,768225
OnadoncI?4,8(u.a.)à0,1près.
EXERCICE 2 5points
Candidatsn’ayantpassuivil’enseignementdespécialité
?! ?!
1. a. AB(2; ?8; ?2), AC(3; 0; 1) : cesdeux vecteurs nesont pascolinéaires, dont
lestroispointsdistinctsA,BetCdéfinissentunplan.
!? ?! !? ?!
b. Ona n ?AB ?2?8?6?0etn ?AC ?3?3?0.
!?
Le vecteur n orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan (ABC) est
doncunvecteurnormalauplan(ABC).
c. On sait que M(x ; y ; z)2 (ABC) () 1x?1y?3z?d ? 0. En particulier
C(2; 2; 2)2(ABC) () 1?2?1?2?3?2?d ?0 () d?2.
Conclusion:M(x ; y ; z)2(ABC) () x?y?3z?2?0.
!?
2. a. Levecteur p (1;?1; 1)estunvecteurnormalauplan(P).
!? !?
Or n et p ne sont pas colinéaires, ce qui signifie que les plans (ABC) et P ne
sontpasparallèlesdoncsécants.
8
? x?y ? 3t?2<x?y?3z?2 ? 0
b. M(x; y ; z)2D () M(x; y ; z)2 () x?y ? ?t?4 (1) )
x?y?z?4 ? 0 :
z ? t
2x?2t?2 () x?t?1.
Enremplaçantdansl’équation(1) y?x?z?4?z?1?z?4?2t?3.
8
x ? t?1<
Finalement:M(x ; y ; z)2D () y ? 2t?3
:
z ? t
3. a. LepointdeD correspondantàt?1estlepointI.
2 2 2 2b. CalculonsΩI ?(2?3) ?(?1?1) ?(1?3) ?1?4?4?9,doncΩI?3:lepoint
IappartientàlasphèreS.
2 2c. UnpointM(x ; y ; z)appartientàS sietseulement siΩM ?9 () (x?3) ?
2 2(y?1) ?(z?3) ?9.
Unpoint M(x ; y ; z)appartient àD etàS si etseulement si sescoordonnées
8
x ? 1?t>< y ? ?3?2t
vérifientleséquations: )
> z ? t: 2 2 2(x?3) ?(y?1) ?(z?3) ? 9
Antilles-Guyane 2 septembre2011BaccalauréatS A.P.M.E.P.
2 2 2 2 2 2(1?t?3) ?(?3?2t?1) ?(t?3) ?9 () t ?4?4t?4t ?16?16t?t ?9?6t?
2 29 () 6t ?26t?20?0 () 3t ?13t?10?0.
OnsaitqueIappartientàS donc t?1estunedesdessolutions del’équation
duseconddegré.
2Or3t ?13t?10?(t?1)(3t?10);doncl’autresolutionestdonnéepar3t?10?? ?
10 13 11 10
0 () t? ,valeurduparamètrequiconduitàJ ; ; .
3 3 3 3
EXERCICE 2 5points
Candidatsayantsuivil’enseignementdespécialité
1. a. Les points M(x ; y ; z) communs à P et au plan d’équation z ? 5 ont leurs
cordonnéesquivérifient:
? ?
2 2 2 2z ? x ?y x ?y ? 5
?)
z ? 5 z ? 5
Ces points appartiennent donc au cercle situé dans le plan d’équation z? 5,p
cercledecentre(0;0;5)etderayon 5.
b. DemêmeLespointsM(x ; y ; z)communsàP etaupland’équation y?1ont
leurscordonnéesquivérifient:
? ?2 2 2z ? x ?y z ? x ?1
?)
y ? 1 y ? 1
Onreconnaîtuneparabole(desommet(0;0;1)situéedanslepland’équation
y?1.
2 2 2 2 22. a. M(x ; y ; z)2S () OM ?R ?6 () x ?y ?z ?6.
2 2 2M(x ; y ; z)2S () x ?y ?z ?6
b. LespointsM(x ; y ; z)communsàP etàlasphèreS ontleurscordonnéesqui
vérifient:?
2 2z ? x ?y 2 2?)z?z ?6 () z ?z?6?0.2 2 2x ?y ?z ? 6
Cette équation dusecond degrééa une solution évidente : 2; l’autre est donc
?3.
2 2 2 2Orz??3?x ?y necorrespondàaucunpointpuisquex ?y >0.
2 2Ilrestedonclasolution:z?2?x ?y .
Les points M(x ; y ; z)communs àP età la sphèreS sont donc despoints dup
cerclecentréen(0;0;2)etderayon 2.
3. a. Lecouplesolution(?1;?1)estévident.
?
?3x?2y ? 1
b. De ?) (pardifférence)
?3?(?1)?2?(?1) ? 1
?3(x?1)?2(y?1)?0 () 2(y?1)?3(x?1) (1).
2divisedonc3(x?1),mais(Gauss)commeilestpremieravec3,ildivisex?1.
Ilexistedoncunentierk telquex?1?2k () x?2k?1.
En reportant le résultat x?1? 2k dans (1), on obtient 2(y?1)? 3?2k ()
y?1?3k () y?3k?1.
Lescouplessolutionssontdoncdelaforme(2k?1; 3k?1), k2Z.
D’aprèslerésultat précédent unpoint decoordonnéesentières appartient au
plan si ses coordonnées sont de la forme (2k?1 ; 3k?1), k2Z; ils appar-
tiennentdeplusàP sietseulementsi:
2 2 2 2 2 2 2z?x ?y ?(2k?1) ?(3k?1) ?4k ?1?4k?9k ?1?6k?13k ?10k?2.
Ilresteàtrouverlespointstelsquez625.
2 2z625 () 13k ?10k?2625 () 13k ?10k?2360
Antilles-Guyane 3 septembre2011BaccalauréatS A.P.M.E.P.
232L’équation13k ?10k?23?0aunesolutionévidente?1;l’autreestdonc .
13
2Letrinôme13k ?10k?23 estnégatifentresesdeux racines, doncles valeurs
convenablesdek vérifient:
23
?16k6 ?2
13
Iln’yadoncquetroisvaleurspossibles:
k??1,soitlepoint(?3;?4; 25);
k?0,soitlepoint(?1;?1; 2);
k?1,soitlepoint(1; 2; 5).
EXERCICE 3 5points
Communàtouslescandidats
PartieA:
? !p? ? 221 3 1 3
2 21. a. Onajpj ? ? ? ? ? ?1?OP ,doncjpj?OP?1.
2 2 4 4
Commeq?p,OQ=OP=1.
LespointsPetQappartiennentaucercleΓdecentreOetderayon1.
1
b. Voiràlafin.LespointsPetQonttouslesdeuxunepartieréelleégaleà? :ils
2
1
appartiennentdoncàladroited’équationx?? etaucercleΓ.Voiràlafinde
2
l’exercice.
2. a. SoitlepointKd’affixe?1.Ona:
jzj?jz?1j () jz?0j?jz?(?1)j () OM ? KM, donc les points M sont
équidistantsdeOetdeK.
L’ensembleD despointsM d’affixeztelsquejzj?jz?1jestdonclamédiatrice
dusegment[OK].
? !p? ? 2 ? ?2 21 3 12b. Γ. On sait déjà que OP = 1; calculons KP ? ? ?(?1) ? ? ?
2 2 2
? !p 2
3
?1,doncKP=1etP2D.
2
? ! ? !p p? ? 2 ? ? 22 21 3 1 3 1 3
2DemêmeOQ=1etKQ ? ? ?(?1) ? ? ? ? ? ? ? ?1,
2 2 2 2 4 4
doncKQ=1etQ2D.
Conclusion:lespointsPetQsontlesdeuxpointscommunsaucercleΓetàla
médiatriceD.
PartieB:
1. a. O est le centre du cercle circonscrit du triangle ABC, donc OA = OB = OC ou
encorejaj?jbj?jcj.? ? ? ?
? ? ? ?b jbj b? ? ? ?Ona ? ?1;mêmedémonstrationpour ?1.? ? ? ?a jaj a
b. O est le centre de gravité du triangle ABC ou encore l’isobarycentre des trois
pointsA,B,Ccequisignifiequea?b?c?0.
c. Delaquestionprécédenteondéduit:c??(a?b)d’oùpourlesmodules
jcj?j?(a?b)j?ja?bj. ? ? ? ?? ? ? ? ? ?c j?(a?b)j j(a?b)j a?b b? ? ? ? ? ?Onadonc ? ? ? ? 1? .? ? ? ? ? ?a jaj jaj a a? ? ? ?
? ? ? ?b b? ? ? ?Finalement ? ?1 ?1.? ? ? ?a a
Antilles-Guyane 4 septembre2011BaccalauréatS A.P.M.E.P.
d. Ona vudansla partieAqueles seuls complexes z telsquejzj?jz?1j étaient
b b
lescomplexesp etq.Doncona ?p ou ?q.
a a
p p p ? p ?? p ? p1 3 3 3? ?i ?1 ? ?i ?3?i 3 ?3?i 3q?1 ?3?i 3 9?3?6i 32 2 2 2
2. a. ? p ? p ? p ? ? p ?? p ?? ?
1 3 3 3p?1 9?3?3?i 3 ?3?i 3 ?3?i 3? ?i ?1 ? ?i2 2 2 2p p
6?6i 3 1 3 π π πi
3? ?i ?cos ?isin ?e .
12 2 2 3 3
c c?a?1q?1 c?aa ab. ? ? ? .
b b?ap?1 b?a?1a a
c. Lesdeuxrésultatsprécédentsmontrent:
? ?? ? ? ?? ?c?a q?1 π? ? ? ?i? ? 3-entermesdemodulesque? ?? ??e ??1.? ?b?a p?1
? ?c?a jc?aj? ?
Onadonc? ??1 () ?1 () jc?aj?jb?aj () AC?AB,donc
b?a jb?aj
letriangleABCestisocèleenA.
? ?? ? ? ?c?a q?1 π πi
3-entermesd’argumentsquearg ?arg ?arg e ? .
b?a p?1 3
? ??! ?! π
Onadonc AB, AC ? .
3
π