Corrigé du baccalauréat S Métropole & La Réunion

Description

Niveau: Secondaire, Lycée
Durée : 4 heures [ Corrigé du baccalauréat S Métropole & La Réunion \ septembre 2008 EXERCICE 1 4 points Commun à tous les candidats 1. N11820 N2 18 20 R22 20 R1220 N2 16 20 R24 20 2. En suivant la dernière branche on a p(E)= p(R1?R2 = p(R1)?pR1(R2)= 2 20 ? 4 20 = 8 400 = 2 100 = 0,02. p(F= p(R1?N2)+p(N1?R2)= 18 20 ? 2 20 + 2 20 ? 16 20 = 36 400 + 32 400 = 68 400 = 17 100 = 0,17. 3. a. On a la loi de probabilités suivante : issue RR RN ou NR NN X 9 1 ?1 p (X = xi ) 0,02 0,17 0,81 car p(NN)= 1? (0,02+0,17) = 0,81. b. On a E(X )= 0,02?9+0,17?1+0,81?(?1) = 0,18+0,17?0,81 =?0,46(. Ce qui signifie qu'en moyenne on perd à ce jeu près d'un demi-euro par partie.

• om ?


• ???mj


• ?ei pi3


• ?zi? ?


• barycentre des points


• ?? om


• ?2???mi ?


• ??


• points commun

Informations

• Publié par: apmep
• Publié le: 01 septembre 2008
• Nombre de lectures: 130
• Langue: Français

Extrait

Durée:4heures
[CorrigédubaccalauréatSMétropole&LaRéunion\
septembre2008
EXERCICE 1 4points
Communàtouslescandidats
1. 18
20 N2
18 N120
R2 2
20
16
20 N2
2
R120
R4 2
20
2
2. Ensuivantladernièrebrancheonap(E)?p(R \R ?p(R )?p (R )? ?1 2 1 R 21 20
4 8 2
? ? ?0,02.
20 400 100
18 2 2 16 36 32 68 17
p(F?p(R \N )?p(N \R )? ? ? ? ? ? ? ? ?1 2 1 2
20 20 20 20 400 400 400 100
0,17.
3. a. Onalaloideprobabilitéssuivante:
issue RR RNouNR NN
X 9 1 ?1
p(X?x ) 0,02 0,17 0,81i
carp(NN)?1?(0,02?0,17)?0,81.
b. OnaE(X)?0,02?9?0,17?1?0,81?(?1)?0,18?0,17?0,81??0,46(.
Cequisignifiequ’enmoyenneonperdàcejeuprèsd’undemi-europar
partie.
4. a. On a une épreuve de Bernoulli avec une probabilité de lancer la roue B
2
égale à . La probabilité dene jamais lancer la roue B en n parties est
20µ ¶
2
négaleà 1? ?0,9 .
20
Donc la probabilité de lancer au moins une fois la roue B (évènement
ncontrairedel’évènement précédent)est p ?1?0,9 .n
nb. Comme?1?0,9?1, lim 0,9 ?0.
n!?1
Conclusion: lim p ?1.Lasuiteestconvergenten
n!?1
c. Quelle est la plus petite valeur de l’entier n pour laquelle p ?0,9? Onn
n na p ?0,9 () 1?0,9 ?0,9 () 0,1?0,9 () ln0,1?nln0,9, parn
croissancedelafonctionln.
ln0,1
ln0,1?nln0,9 () n? carln0,9?0.Finalement n?21,8.
ln0,9
La probabilité de lancer la roue B sera supérieure à 90 % à partir de la
e22 partie.
EXERCICE 2 3points
CommunàtouslescandidatsCorrigédubaccalauréatS A.P.M.E.P.
1. a. Commex6?0et f dérivablesur]0;?1[, g estdérivablesurcetintervalle
0xf (x)?f(x)0et g (x)? .
2x
0 2Or f solutionde(E)signifieque xf (x)?(2x?1)f(x)?8x ()
0 0xf (x)?(2x?1)f(x) xf (x)?f(x) 2f(x)
?8(carx6?0) () ? ?8 ()
2 2x x x
0g (x)?2g(x)?8quisignifiequela fonction g estsolution del’équation
0différentielle(E ):
0y ?2y?8.
0b. h solutionde(E )montrequeh estdérivable,donc f aussi.
0 0De f(x)?xh(x),ontire f (x)?h(x)?xh (x).
0 0 0h solution de(E ) () h (x)?2h(x)?8 () xh (x)?2xh(x)?8x ()
0 0 2f (x)?h(x)?2f(x)?8x () xf (x)?2xf(x)?f(x)?8x ()
0 2xf (x)?(2x?1)f(x)?8x ,cequisignifieque f estsolutiondel’équation
différentielle(E).
02. Résolutionde y ?2y?8:
8
– Onsaitque lafonction constante x7?!? ??4estsolution del’équa-
2
tion;
0– Lessolutionsdel’équation y ?2y sontlesfonctionsdelaforme:
2xx7?!Ke , K2R.
0 2xLessolutionsde(E )sontdonclesfonctionsdelaformex7?!Ke ?4, K2
R.
2x3. Ilfautchercherunefonction f delaforme f(x)?Kxe ?4x telleque
22ln2 ln2f(ln2)? 0 () K ln2e ?4ln2? 0 () K ln2e ?4ln2? 0 ()
ln4K ln2e ?4ln2?0 () 4K ln2?4ln2?0 () 4K?4?0 () K?1.
Ilexistebienunesolutionde(E)quis’annuleenln2:lafonction
2xx7?!xe ?4x.
EXERCICE 3 4points
Communàtouslescandidats
1. Cestlebarycentredespointspondérés(A,m),(B,1)et(D,1) () m?26?0et
?! ?! !?
Cestlebarycentredespointspondérés(A,m),(I,2) () mCA?2CI ? 0 ()
??! ??! !? ??! !?
mCA?CA ? 0 () (m?1)CA ? 0 () m?1?0 () m??1.Réponsec.
π
2. a. Fauxcarl’angleestde? ;
2
3
b. Fauxcarlerapportestégalà ;
2
c. Faux:DABapourimageBCD;
³ ´!? 1??! 1??! !? 1??! 1 ??! ??! 1??!
d. CecisignifiequeIJ ? BA? DB () IJ ? BA? DB?BA ? BA?
2 4 4 4 4
1?! 1?! 1?! 1?!
DA ? CD ? DA ? CA et cette dernièreégalité est vraie. Réponse
4 4 4 4
d.° ¯ ° ° ° °
??! ??! ?! ?! ?! ?! ?!° ¯ ° ° ° °
3. °MA?MC¯? AB () °MI ?IA?MI ?IC°? AB () °2MI°? AB ()
1
2MI?AB () IM? AB,cequisignifiequeM appartientaucercledecentre
2
1
Ietderayon AB,quiestbienlecercleinscritdanslecarré.Réponsed.
2
Métropole&LaRéunion 2 septembre2008CorrigédubaccalauréatS A.P.M.E.P.
4. Parassociativité,lebarycentrede(A,2),(B,1)et(D,1)estceluide(A,2)et(I,2)
?! ?! ?! !?
soitlepointJdepoids4.Donc2JA?JB?JD ? 0 .Ilenrésulteaveclarelation
deChaslesque
³ ´ ³ ´ ³ ´??! ??! ???! ??! ??! ??! ??! ??! ??!
2MA ?MB ?MD ? MA ?MC ? 0 () 2MJ ?MJ ?MJ ?CA ? 0 ()
?! ?! ?! ?!
4MJ ?CA ? 0 () MJ ?CA ? 0 qui signifie que (MJ) est perpendiculaire à
(CA),doncM appartientàlamédiatricede[CA].Réponsec.
EXERCICE 4 4points
Communàtouslescandidats
R p R p R pn?1 n n?1?t ?t ?t1. Oncalcule J ?J ? e 1?tdt? e 1?tdt? e 1?tdt.n?1 n 1 1 np
?tPourt2[n ; n?1], 1?t?0ete ?0.
L’intégrale d’une fonction positive sur un intervalle où n?n?1 est positive,
donc J ?J >0 () J J > J ,cequimontrequelasuite J estcrois-( )n?1 n n?1 n n n
sante.
p 22. a. Posonsu?t?1,doncu>2;or06 u6u, sur[2;?1],car06u6u .
Remarque:enfaitrelationestvraiepour t>0.
Zn pp p ?t?t ?tb. t?16t?1 () t?1e 6(t?1)e cequientraîneque e 1?tdt6
1Zn
?t
e (1?t)dt () J 6I .n n
1
c. Intégronsparparties:
½ ½
u(t) ? t?1 du(t) ? 1
?t ?tdv(t) ? e v(t) ? ?e
£ ¤n?tLes fonctions dérivées ci-dessus étant continues I ? ?(t?1)e ?n 1Zn £ ¤ £ ¤ £ ¤n n n?t ?t ?t ?t ?n ?1?e dt? ?(t?1)e ? e ? ?(t?2)e ? -(n+2)e ?3e .1 1 1
1
?n ?1Comme(n?2)e >0, I estdoncmajoréepar3en
?1d. L’inégalitédémontréeaub.montreque J 63e .n
Lasuite(J )estdoncmajoréeetcroissante:elleadoncunelimite infé-n
?1rieureouégaleà3e .
EXERCICE 5 5points
Candidatsn’ayantpassuivil’enseignementdespécialité
PartieA
z ?5 3?i?5?2?i (?2?i)(2?i) 3 4I
1. z 0? ? ? ?? ?i .I
z ?1 3?i?1 2?i 4?1 5 5I
µ ¶ µ ¶2 2¯ ¯ ¯ ¯3 4 9 162¯ ¯ ¯ ¯Ona z 0 ? ? ? ? ?1) z 0 ?1.I I5 5 25 25
0DoncI appartientaucercleC.
¯ ¯
¯ ¯z?5 z?5 jz?5j BM MB
0 0 0 0¯ ¯2. a. z ? )jzj? () jzj? () OM ? ? .¯ ¯z?1 z?1 jz?1j AM AM
³ ´ ³ ´???!z?5 ?! ??! ??!0 0b. Demême aveclesarguments: z ? ) OA, OM ? AM , BM ?
z?1³ ´??! ??!
MA, MB .
PartieB
Métropole&LaRéunion 3 septembre2008CorrigédubaccalauréatS A.P.M.E.P.
1. Si M appartientà(Δ),ilapouraffixe3?αi.
p
2j?2?αij 4?α0 0 0OnaOM ?jzj? ?p ?1,doncM 2C.
2j2?αij 4?α
2. a. M appartientàla médiatricede[AB],doncestéquidistant deAetdeB;
MA= MBentraînequeque MABestisocèleen M.
AetN appartiennentàaucercleC,doncOA=ON etletriangleAON est
isocèleenO. ³ ´ ³ ´ ³ ´ ³ ´?! ??! ?! ??! ?! ??! ??! ??!
Parsymétrieautourde(T), AO, AN ? AB, AM ) AO, ON ? MA, MB .
0b. Le point image M est le point N. On peut au lieu d’utiliser la symétrie
autourde(T)construirelesymétriqueM deM autourde[Ox).Ladroite1
0(AM )coupelecercleC en M .1
EXERCICE 5 5points
Pourlescandidatsayantsuivil’enseignementdespécialité
PartieA
π0 i 31. a. L’écriturecomplexedelasimilitudeest z ?kze .
b. A =A;sonaffixeest1;0 Ã !p p
1 π 1 1 3 1 3i 3A ? f (A ):sonaffixeest ?1?e ? ?i ? ?i ;1 0
2 2 2 2 4 4
à !à !p p p
1 1 3 1 3 1 3
A ? f (A ):sonaffixeest ? ?i ?i ?? ?i ;2 1
2 4 4 2 2 8 8
à !à !p p
1 1 3 1 3 1
A ? f (A ):sonaffixeest ? ? ?i ?i ?? .3 2
2 8 8 2 2 8
πOnfaitàchaquefoisunerotationdecentreOd’angle ,puisunehomo-
3
1
thétiedecentreOetderapport .
2
!?
v
A1
A2
!?O AA 03?1 u 1
i?0π0 32. a. Initialisation:z ?k e ?1cequiestvrai;0
ipπ
p
3Hérédité:supposonsqu’ilexiste p2Ntelque z ?k e .p
ipππ π πi p i p?1 i(p?1)3 3 3 3Alors z ?kz e ?kk e ?e ?k e .La relationestdoncp?1 p
vraieaurangp?1.
Onadoncdémontréparrécurrencequepourtoutentiern,l’affixez dun
inπn
3point A estégaleàk e .n
Métropole&LaRéunion 4 septembre2008
bbbbCorrigédubaccalauréatS A.P.M.E.P.
h ´!?
b. A 2 O; u () z aunargumentnulà2πprès.n n
nπ
Soit ?0 [2π] () n?0 [6]ouencoresin estmultiplede6.
3
PartieB
Dans cette partie toute trace de recherche, même incomplète, sera prise en compte
dansl’évaluation.
Désormais,k désigneunentiernaturelnonnul.
31. 2008?2 ?251
6 6 32. k estunmultiplede2008sietseulements’ilexisteα2Ntelquek ?α?2 ?
251
Il faut donc que dans la décomposition de k il y ait au moins un facteur 2 et
unfacteur251,2et251étantpremiersentreeux:lapluspetitevaleurdek est
donc2?251?502.
3. Onavuqu’ilfallaitquensoitmultiplede6etquelapluspetitevaleurdek est
512.
Donc z estunentiermultiple de2008, sin estunmultiple de6etk unmul-n
tiplede502.
Métropole&LaRéunion 5 septembre2008