Corrigé du baccalauréat S Métropole–La Réunion

Description

Niveau: Secondaire, Lycée
Durée : 4 heures [ Corrigé du baccalauréat S Métropole–La Réunion \ septembre 2007 EXERCICE 1 5 points 1. Restitution organisée de connaissances P est vraie : il suffit de reprendre la définition du nombre dérivé de la fonction xn en un point x0. L'application du développement de (x0+h)n par la formule du binôme permet de montrer que f ?(x0)= nxn?10 . Q est fausse : on a ici la dérivée d'une fonction composée et f ?(x)= nu?un?1. 2. a. Avec h(x) = g (cosx), h?(x) = (cosx)?g ?(cosx) = ?sinx ? 1p 1?cos2 x = ?sinx√ sin2 x . Comme x ?]?pi ; 0[, sinx < 0, donc √ sin2 x =?sinx. Finalement h?(x)= ?sinx ?sinx = 1. b. h?(x)= 1 implique h(x)= x +k, avec k ?R. h ( ? pi 2 ) = g ( cos ( ? pi 2 )) = g (0)= 0. Donc 0=?pi 2 +k ?? k = pi 2 . Conclusion : sur ]?pi ; 0[, h(x)= x + pi 2 .

• unique solution de l'équation


• ei pi3


• cosx


• ?sinx ?


• restitution organisée de connaissances


• équation ax


• points enseignement de spécialité

Informations

• Publié par: apmep
• Publié le: 01 septembre 2007
• Nombre de lectures: 41
• Langue: Français

Extrait

Durée:4heures
[CorrigédubaccalauréatSMétropole–LaRéunion\
septembre2007
EXERCICE 1 5points
1. Restitutionorganiséedeconnaissances
Pestvraie:ilsuffitdereprendreladéfinitiondunombredérivédelafonction
n nx enunpointx .L’applicationdudéveloppementde(x ?h) parlaformule0 0
0 n?1dubinômepermetdemontrerque f (x )?nx .0 0
0 0 n?1Qestfausse:onaiciladérivéed’unefonctioncomposéeet f (x)?nu u .
10 0 02. a. Avec h(x)? g(cosx), h (x)? (cosx) g (cosx)??sinx?p ?
21?cos x
?sinx
.p
2sin x
p
2Comme x2]??; 0[, sinx?0,donc sin x??sinx.
?sinx0Finalementh (x)? ?1.
?sinx
0b. h (x)?1impliqueh(x)?x?k,aveck2R.
³ ´ ³ ³ ´´? ? ? ?
h ? ?g cos ? ?g(0)?0.Donc0?? ?k () k? .
2 2 2 2
?
Conclusion:sur]??; 0[, h(x)?x? .
2
EXERCICE 2 6points
y
1
A
O u u u x1 2 1 0
u31. a.
b. Silasuiteestconvergente,alors lim u ? lim u ?`.n n?1
n!?1 n!?1
1 23 1
La relation u ? u ? donne par passage à la limite `? `?n?1 n
3 27 3
23 2 23 23
() `? () `? .
27 3 27 18
y?xCorrigédubaccalauréatS A.P.M.E.P.
c. Parrécurrence:
36 23
– Initialisation:u ?2? > .0
18 18
23 1 1 23 1 23
– Hérédité:supposonsqueu > ;alors u > ? soit u > .n n n
18 3 3 18 3 54
1 23 23 23 3?23 23
Puis u ? > ? () u > () u > .n n?1 n?1
3 27 54 27 3?18 18
23
Onadoncbiendémontréquepourtoutnatureln, u > .n
18
d. Monotonie:
Onladémontreparrécurrence:
2 23 41 54
– Initialisation:u ?2etu ? ? ? ? ?u .Doncu ?u .0 1 0 0 1
3 27 27 27
– Hérédité:
Supposons qu’il existe un naturel p tel que u ?u . Par croissancep?1 p¡ ¢ ¡ ¢
delafonction f surR,ona f u ? f u () u ?u .p?1 p p p?1
Conclusion:onadémontréquepourtoutn2N, u ?u .n n?1
La suite (u ) est donc minorée et décroissante : elle est donc conver-n
23
gente;onsaitd’aprèscequiprécèdequelalimitedecettesuiteest .
18
n?1X 1
2. a. SoitS ? .n k10k?2
1 1 1
S ? ? ? ????n 2 3 n?110 10 10
1 1 1 1
S ? ? ???? ?n 3 n?1 n?210 10 10 10 µ ¶
9 1 1 1 1
Pardifférenceonobtient S ? ? ? 1? ()n 2 n?2 2 n10 10 10 10 10
µ ¶
1 1
S ? 1? .n n90 10
µ ¶
1 1 1
b. Onav ?1,2?7? ; v ?1,2?7 ? etpourtoutn2N,1 22 2 310 10 10
µ ¶ µ ¶
1 1 1 1 1
v ?1,2?7 ? ????? ?1,2?7? 1? .n 2 3 2n?1 n10 10 10 90 10
1 7 12 7 115 23
Comme lim ?0, lim v ?1,2? ? ? ? ? .Cettennn!?1 n!?110 90 10 90 90 18
limiteestbienrationnelle.
3. Suitesadjacentes?
Onavuquelasuite(u )estdécroissante.n
7
Deplusv ?v ? ?0:lasuite(v )estdonccroissante.n?1 n nn?210
23
Enfincesdeuxsuitesontlamêmelimite ,donc lim (u ?v )?0.n n
n!?118
Conclusion:cesdeuxsuitessontadjacentes.
EXERCICE 3 5points
p p p p p p
z 2?i 6 2 1?i 3 2 (1?i 3)(1?i)1
1. Ona Z? ? ? ? ? ? ?
z 2?2i 2 1?i 2 (1?i)(1?i)2p p p p
£ p ¡p ¢¤2 1? 3?i?i 3 2
? ? 1? 3?i 3?1 .
2 2 4
2. Modulesetarguments: Ã !p
p p p1 3 ?2 i 3– jz j ?2?6?8)jz j?2 2.Onadoncz ?2 2 ?i ?2 2e .Donc1 1 1
2 2
?
arg(z )? [2?].1
3
LaRéunion 2 septembre2007CorrigédubaccalauréatS A.P.M.E.P.
à !p p
p p p2 2 ?i
4– Onademêmejz j?2 2,puisz ?2 2 ?i ?2 2e .2 2
2 2
?
Doncarg(z )? [2?].2
4p
¡ ¢2 2 ? ? ?i ? i
3 4 12– Ilsuit Z? p e ?e .
2 2
?
DoncjZj?1etarg(Z)? [2?].
12
³ ´ ³ ´? ?
3. Ondéduitdesdeuxquestionsprécédentesque Z?cos ?isin etpar
12 12
identification:
p p³ ´ ³ ´ ³ ´ ³ ´p p? 2 ? 2
cos ? 1? 3 et sin ? 3?1
12 4 12 4
4. Onplacefacilement lepointB(2;2):
¡ ¢
?A 6
¡ ¢
?B 4
¡ ¢
?D 6
¡ ¢
?C 12
O I
Le point A d’affixe z est obtenu en construisant la médiatrice du segment1
[OI].
dLepointDestobtenuenconstruisantlabissectricedeIOA.
dLepointCaveclabissectricedeIODetlecercledecentreOetderayon1.
¯ ¯
2007 2007 2007¯ ¯5. Lemodule: Z ?jZj ?1 ?1.
¡ ¢ ? 669? 672??3? ? 3?2007L’argument:arg Z ?2007? ? ?2??3 ?? .
12 4 4 4 4p p
¡ ¢ ¡ ¢3? 2 22007 ? 3? 3?
4OnadoncZ ?e ?cos ? ?isin ? ?? ?i .4 4 2 2
EXERCICE 3 5points
Enseignementdespécialité
a 1 2 3 4 5 6
1. a.
y 1 4 5 2 3 6
b. Onvientdevoirque5?3?1 (mod 7)donc3x?5 (mod 7) () 5?3x?
5?5 (mod 7)maiscomme25?4 (mod 7)onabien3x?5 (mod 7) ()
x?4 (mod 7).
c. L’équation ax?0 (mod 7) équivaut à 7j ax mais comme 7 est premier
aveca d’aprèslethéorèmedeGaussona:7jx.
p?2 p?12. a. Commea?a ?a etquea n’estpasdivisibleparp,d’aprèslepetit
p?1 p?1théorème de Fermat on a a ?1 (mod p), donc a est solution de
l’équation ax?1 (mod p).
p?2b. On a r ? a (mod p) donc r est bien solution de l’équation ax ? 1
(mod p).
Maintenantmontronsl’unicitéparl’absurde.
Onsupposequedeuxentiersr etr deA sontsolutionsdel’équation.1 2 p
LaRéunion 3 septembre2007CorrigédubaccalauréatS A.P.M.E.P.
p?2 p?2Onaar ?ar (mod p) () a ?ar ?a ?ar (mod p) () r ?1 2 1 2 1
r (mod p).Ainsi r ?r est un multiple de p mais r ?r est dans l’en-2 1 2 1 2
semble {?(p?1); ?(p?2); ... ; p?1},et le seul multiple de p dans cet
ensembleest:0doncr ?r ,cequimontrel’unicité.1 2
c. Onaxy?0 (mod p)doncsoitpjx soitp etx sontpremiersentreeuxet
d’aprèslethéorèmedeGaussona:pjy.
31?2d. Onsaitquelerestedeladivisionde2 par31estl’unique solutionde
5 25l’équation 2x? 1 (mod 31), or 2 ? 1 (mod 31) donc 2 ? 1 (mod 31)
29 4 4ainsi 2 ? 2 (mod 31), 2 ? 16 est l’unique solution de de l’équation
2x?1 (mod 31)dansA .31
31?2Onsaitquelerestedeladivisionde3 par31estl’unique solutionde
29l’équation3x?1 (mod 31).(fairetouslescalculsjusqu’à3 ).
Pourladernièreéquation,onfactorise:
26x ?5x?1?(2x?1)(3x?1) ainsi
2
6x ?5x?1?0 (mod 31) () (2x?1)(3x?1)?0 (mod 31)
() (2x?1)?0 (mod 31)ou(3x?1)?0 (mod 31)
Onsaitdoncquelessolutionsdecesdeuxdernièreséquationssontdans
Z:16?31k et21?31k oùk2Zd’aprèslesdeuxéquationsprécédentes.
EXERCICE 4 5points
0 0 ?x1. (E ): y ?y?1()y ??y?1()y?C ?1oùC estuneconstanteréelle.0
02. f solutionde(E)() f ?(1?tanx)f ?cosx
i h? ?
Or f(x)?g(x)cosx. f estdérivablesur ? ; entantqueproduitdefonc-
2 2
tionsdérivables
0 0et f (x)?g (x)cosx?g(x)sinx
0Ainsi f solutiondeE()g cosx?gsinx?(1?tanx)gcosx?cosx
µ ¶
sinx0()g cosx?gsinx? 1? gcosx?cosx
cosx
0 0()g cosx?gsinx?gcosx?gsinx?cosx()(g ?g)cosx?cosx
i h? ?0()g ?g?1carcosx6?0pourx2 ? ;
2 2
()g estsolutionde(E ).0
3. f est solution de (E)donc Gest solution de(E ). Orles solutions de (E )sont0 0
?x ?xlesfonctionsdutypex7?!C ?1etainsi,puisque f ?gcosx, f ?(C ?1)cosx.
¡ ¢
0Deplus, f(0)?0?) Ce ?1 cos0?0?)C??1
i h? ? ?xf estdonclafonctiondéfiniesur ? ; par f(x)?(?e ?1)cosx
2 2
LaRéunion 4 septembre2007