Corrigé du baccalauréat S Pondichéry avril

Description

Niveau: Secondaire, Lycée
[ Corrigé du baccalauréat S Pondichéry \ 18 avril 2012 EXERCICE 1 6 points Commun à tous les candidats Les deux parties sont indépendantes. Partie A 1. Il y a ( 50 5 ) = 50! 5!? (50?5)! = 2118760 groupes différents de 5 coureurs. 2. a. L1 et L3 n'ont pu être obtenus avec cet algorithmepuisqu'ils contiennent des éléments identiques. Les deux autres oui. b. Cet algorithme permet chaque jour de tirer au sort 5 coureurs pour subir un contrôle antidopage. 3. Un joueur étant choisi, on peut lui adjoindre ( 49 4 ) groupes de 4 coureurs différents sur les 49 restants. La probabilité pour qu'un coureur choisi au hasard subisse le contrôle prévu pour cette étape est donc égale à (49 4 ) (50 5 ) = 49! 4!?45! ? 5!?45! 50! = 5 50 = 1 10 = 0,1. 4. a. Les tirages de groupes de 5 sont chaque jour indépendants les uns des autres et la probabilité d'être choisi pour un des 50 coureurs est égale à 0,1 : la loi X suit donc une loi binomiale de paramètres n = 50 et p = 0,1. b. – On a p(X = 5)= ( 10 5 ) ?0,15? (1?0,1)10?5 = 252?0,15?0,95 ≈ 0,00148 soit

• affixe z


• vecteur directeur??v de la droite ∆


• équation précédente


• fn


• ?x ?


• iy


• ??


• points commun

Informations

• Publié par: apmep
• Publié le: 01 avril 2012
• Nombre de lectures: 55
• Langue: Français

Extrait

[CorrigédubaccalauréatSPondichéry\
18avril2012
EXERCICE 1 6points
Communàtouslescandidats
Lesdeuxpartiessontindépendantes.
PartieA
? !
50 50!
1. Ilya ? ?2118760groupesdifférentsde5coureurs.
5 5!?(50?5)!
2. a. L etL n’ontpuêtreobtenusaveccetalgorithmepuisqu’ilscontiennent1 3
desélémentsidentiques.Lesdeuxautresoui.
b. Cetalgorithmepermetchaquejourdetirerausort5coureurspour
subiruncontrôleantidopage.
? !
49
3. Unjoueurétantchoisi,onpeutluiadjoindre groupesde4coureurs
4
différentssurles49restants.
La probabilité pour qu’un coureur choisi au hasard subisse le contrôle? ?49
49! 5!?45! 54prévu pour cette étape est donc égale à ? ? ? ?? ?50 4!?45! 50! 50
5
1
?0,1.
10
4. a. Les tirages de groupes de 5 sont chaque jour indépendantsles uns
desautresetlaprobabilitéd’êtrechoisipourundes50coureursest
égaleà0,1:laloiX suitdoncuneloibinomialedeparamètresn?10
etp?0,1.
? !
10 5 10?5 5 5b. – Onap(X?5)? ?0,1 ?(1?0,1) ?252?0,1 ?0,9 ?
5
0,00148soitenviron0,0015
0 10– p(X?0)?0,1 ?0,9 ?0,3487.
10– Onap(X>1)?1?p(X?0)?1?0,9 ?0,6513.
PartieB
1. Ennotantp(D)?p,onpeutconstruirel’arbresuivant:
0,97
T
Dp
T0,03
0,01
T
1?p D
T0,99BaccalauréatS A.P.M.E.P.
D’aprèslaloidesprobabilitéstotales:
? ?
p(T)?p (T)?p(D)?p (T)?p D ouencoreD D
0,05?0,97p?0,01(1?p)() 0,05?0,97p?0,01?0,01p ()
4 1
0,96p?0,04() p? ? .(unpeuplusde2coureurssur50)
96 24? ?
? ?
1? ? p T\D 0,01 1? 1 23 23242. Ilfautcalculerp D ? ? ? ? ? ?0,19.T
p(T) 0,05 5 24 120
EXERCICE 2 4points
Communàtouslescandidats
Proposition1
!?
Unvecteurdirecteurd deladroiteD apourcordonnées(?2; 2; 2);
!?
Unvecteur u normalauplanP apourcordonnées(1;?1;?1).
!? !? !? !?
Comme d ??2u , les vecteurs d et u sont colinéaires, donc la droiteD est
orthogonaleauplanP.VRAIE
Proposition2
CalculonsladistancedeOauplanP :
j?2j 2
d(O,P)?p ?p 6?2
1?1?1 3
Ladistancen’étantpaségaleaurayondelasphère,lasphèreS decentreOet
derayon2n’estpastangenteauplanP.
2
Rem.Commep ?2,onpeutdirequelasphèreetleplansontsécants.
3
Proposition3
0Un point M(x ; y ; z) appartient àP et àP si ses coordonnées vérifient les
deuxéquations:? ?
x?y?z?2 ? 0 x?y ? z?2
() )(parsomme)2x??2z?2 ()
x?y?3z ? 0 x?y ? ?3z
x??z?1.
Enreportantdanslapremièreéquationonobtient:
?z?1?y?z?2() ?2z?1?y.
0Finalementenposantz?t ,ona:
8 0x ? 1?t<
0 0y ? ?1?2tM(x ; y ; z)2P\P () VRAIE
: 0z ? t
Remarque : on peut aussi vérifier que les points deΔ appartiennentaux deux
0plansP etP .
Proposition4
!?
Unvecteurdirecteurd deladroiteD apourcordonnées(?2; 2; 2);
!?
Unvecteurdirecteur v deladroiteΔapourcordonnées(?1;?2; 1);
!? !?
d et v nesontpascolinéaires,doncD etΔnesontpasparallèles;siellessont
sécantes il existe un point M(x ; y : z) dont les cordonnées vérifient les deux
représentationsparamétriquessoit:
Pondichéry 2 18avril2012BaccalauréatS A.P.M.E.P.
8 8 80 0?3?2t ? 1?t t ? 2t?4 1?2t ? 2t?4< < <
0 02t ? ?1?2t () 2t ? ?1?2t () 2(1?2t) ? ?1?2t
: : :0 0 01?2t t t ? 1?2t t ? 1?2t
8
0t ? 3<
6t ? ?3()
: 0t ? 1?2t
Ce système n’a pas de solution : les droitesD etΔ n’étant ni parallèles ni sé-
cantesnesontpascoplanaires.FAUSSE
EXERCICE 3 5points
Communàtouslescandidats
1. a. Les fonctionsreprésentéessontpositives; I représentedoncl’airen
de lasurfacelimitéepar lereprésentationde f , l’axedesabscissesn
et les droites d’équations x ? 0 et x ? 1. Le dessin suggère que la
suite(I )estdécroissante.n
?(n?1)x ?nx ?x ?nxe e ?e e ?x ?xb. f (x)? ? ? ?e ? f (x)?e .n?1 n
1?x 1?x 1?x
Or 06 x6 1 () ?16?x6 0) (par croissance de la fonction
?1 ?x 0exponentielle) e 6 e 6 e . En multipliant chaque membre de
cettedernièreinégalitépar f (x)?0,onobtient:n
?xf (x)?e 6 f (x)?1,soitfinalement:n n
f (x)6 f (x).n?1 n
Par intégration sur l’intervalle [0; 1] des fonctions positives f etn?1
f :n
f (x)6 f (x))I 6I :lasuite I estdécroissante.( )n?1 n n?1 n n
1 1 1
2. a. 06x61)161?x62 () 6 6 et par produit par le
2 1?x 1
?nxnombrepositife ,onobtient:
?nxe ?nx6e .
1?x
2D’autrepartonsaitquepour1?x>1,ona(1?x) >1?x ()
1 1 ?nx6 et par produit par le nombre positif e , on ob-
2(1?x) 1?x
tient:
?nx ?nxe e
6 .
2(1?x) 1?x
?nxe
Enfinilestévidentque ?0,doncfinalement:2(1?x)
?nx ?nxe e ?nx06 6 6e .
2(1?x) 1?x
b. Par intégration sur l’intervalle [0; 1] des inégalités précédentes on
obtientZ Z Z Z1 1 ?nx 1 ?nx 1e e ?nx0dx6 dx6 dx6 e dx soitencore
2(1?x) 1?x0 0 0 0? ?11 ?nx06J 6I 6 ? e c’estàdire:n n
n 0
Pondichéry 3 18avril2012BaccalauréatS A.P.M.E.P.
1 ?n06J 6I 6? (e ?1).n n
n
? ?1?n ?nOr lim e ?0,donc lim ? e ?1 ?0.
n!?1 n!?1 n
Conclusiond’aprèslethéorèmedes«gendarmes»,lessuites(I )etn
(J )convergentvers0.n
8
1> 0 ?nx< u(x) ? v (x) ? e
1?x3. a. Posons 1 1> 0 ?nx: u (x) ? ? v(x) ? ? e
2(1?x) n
Toutescesfonctionssontcontinuescardérivablessur[0;1];enin-
tégrantparpartiesonadonc:
? ? Z1 11 1 1 ?nx?nxI ? ? e ? e dx;n 2n(1?x) n (1?x)00? ??ne 1 1
I ? ? ? ? J ouencoren n
2n n n? ??n1 e
I ? 1? ?J .n n
n 2
b. Lerésultatprécédentpeuts’écrireenmultipliantparn6?0:
?ne
nI ?1? ?J .n n
2
?nComme lim e ? lim J ?0,onadonc:n
n!?1 n!?1
lim nI ?1n
n!?1
1
Remarque:onadoncpourn assezgrandI ? .n
n
1
Exemple:pourn?10,lacalculatricedonneI ?0,091? .10
10
EXERCICE 4 5points
Candidatsn’ayantpassuivil’enseignementdespécialité
PartieA Restitutionorganiséedeconnaissances
PartieB: Étuded’unetransformationparticulière
1?(?2?i) 3?i (3?i)(?3?i) ?9?1?3i?3i
1. a. On a z 0? ? ? ? ?C
?3?i (?3?i)(?3?i) 9?1?2?i?1
?8?6i 4 3
?? ?i .
10 5 5
? ? ? ?2 2? ? 4 3 16 92 0? ?b. De z 0 ? ? ? ? ?1,on déduitquelepointC ap-C
5 5 25 25
partientaucercleC decentreOetderayon1.
? ?
0 0? ?z 0 ?OC ?1cequimontrequeC appartientaucercleC decentreC
Oetderayon1.
Pondichéry 4 18avril2012BaccalauréatS A.P.M.E.P.
z ?z ?2?i?1 ?15?5i 5(?2?i) 5C A
c. Calculons ? ? ? ? 2R.
?4?3iz 0?z ?9?3i 3(?3?i) 3A ?1C 5 ? ???!?! 0L’argumentdecequotientestdoncnul,soit AC, AC ?0 (mod 2π),
0cequisignifiequelespointsA,CetC sontalignés.
2. Les points qui ont pour image le point A d’affixe 1 ont une affixe z6? 1
telleque:
1?z0z ?1? .
z?1
Enposantz?x?iy,l’équationprécédentes’écrit:
1?x?iy
1? () x?iy?1?1?x?iy () 2x?2?0 () x?1
x?iy?1
Lespointssolutionsontdoncpouraffixez?1?iy avec y6?0:cesontles
pointsdeladroiteΔd’équationx?1privéedupointA.
p? ?
2 2? ? ? ?1?z j1?zj j1?x?iyj (1?x) ?y0? ? ? ? ? ?3. Onapour z6?1, z ? ? ? ? p ?? ? ? ? 2 2z?1 z?1 jx?iy?1j (x?1) ?y
1.
OnvientdoncdedémontrerquepourtoutpointM d’affixez6?1,
? ?
0 0? ?z ?OM ?1.
0TouslespointsM appartiennentaucercleC.
1?z0 ?1z ?1 1?z?z?1z?14. Calculonspourz6?1,lequotient ? ? ? ?.
z?1 z?1 (z?1)( z?1
? ?
Lenumérateur:1?z?z?1?2? z?z ?2?2x2R;
? ?
2Ledénominateur:(z?1)( z?1 ?(z?1)z?1?jz?1j 2R (réelpositif).?
0z ?1 0Finalement 2Rsignifiequ’ilexisteunréelk telquez ?1?k(z?1)
z?1
??! ??!0 0ou encore AM ? kAM , ce qui signifie que les points A, M et M sont
alignés.
05. D’aprèslaquestionprécédente,D estalignéavecAetD,donc
0-D appartientaucercleC ;
0-D estsurladroite(AD).
Laconstructionestdoncévidente.
EXERCICE 4 5points
Candidatsayantsuivil’enseignementdespécialité
PartieA Restitutionorganiséedeconnaissance
PartieB Inversede23modulo26
1. 23?(?9)?26?(?8)??207?208?1:lecouple(?9;?8)estsolutionde
l’équation(E).
?
23x?26y ? 1
2. ?)(pardifférencemembreàmembre)
23?(?9)?26?(?8) ? 1
23(x?9)?26(y?8)?0() 23(x?9)?26(y?8) (1)
Pondichéry 5 18avril2012BaccalauréatS A.P.M.E.P.
Donc 23 divise 26(y?8) et comme il est premier avec 26; il divise y?8
(théorème de Gauss) : il existe donc un entier k tel que y?8?23k ()
y??8?23k.
Enremplaçantdans(1) y?8par23k,onobtient:
23(x?9)?26?23k () x?9?26() x??9?26k.
Réciproquementlescouples(?9?26k ;?8?23k)vérifient(E)car
23(?9?26k)?26(?8?23k)??207?23?26k?208?26?23k?1.
Les couples solutions de (E) sont donc de la forme : (?9?26k ; ?8?
23k),k2nZ.
3. Ilfauttrouverun(oudes)couple(s)depremiertermeatelque06a625,
doncvérifiant:
06?9?26k625 () 9626k634.Lasolutionk?1estévidentecequi
donnea??9?26?17.
Donccomme26b?0 (mod 26),ona23?17?1 (mod 26).
PartieC ChiffrementdeHill
étape1 étape2 étape3
1. ST ?) (18, 19) ?) (21, 20) ?) VU|{z} |{z}
motenclair motcodé
?
y ? 11x ?3x (mod 26)1 1 2
2. a. (S ) ?)1
y ? 7x ?4x (mod 26)2 1 2
?
?44x ?12x ? ?4y (mod 26)1 2 1 )(parsomme)
2