Corrigé du baccalauréat STI Génie électronique

Description

Niveau: Secondaire, Lycée
Durée : 4 heures [ Corrigé du baccalauréat STI Génie électronique \ génie électrotechnique, optique Métropole septembre 2006 EXERCICE 1 5 points 1. (1?2i)z = (1?i)z?1?i ?? (1?2i?1+i)z =?1?i ?? ?iz =?1?i ?? z = 1?i. 2. a. Voir plus bas b. |zA|2 = 1+1= 2?|zA| = p 2. On peut donc écrire zA = p 2 (p 2 2 ? p 2 2 ) = 2 [ cos ( ?π4 ) + i sin ( ?π4 )] . Un argument de zA est donc ? π 4 . c. On a zD =?zA. Le module de zD est égal à celui de zA soit p 2 et un de ses arguments est : ? π 4 +π= 3π 4 . d. Par la rotation R un point d'affixe z a pour affixe z ? telle que : z ? = zei π 3 . Donc zB = zAei π 3 = p 2e?π4= p 2e π 12 . Le module de zB est donc égal à p 2 et un de ses arguments à π 12 . e. B est l'image du point A par la rotation R de centre O et d'angle π 3 ; donc OA = OB et (??? OA ; ??? OB ) = π 3

• affixe ?1


• corrigé du baccalauréat sti


• x??∞ xe2x


• coefficient directeur de la tangente au point


• sti génie électronique

Informations

• Publié par: apmep
• Publié le: 01 septembre 2006
• Nombre de lectures: 48
• Langue: Français

Extrait

Durée:4heures
[CorrigédubaccalauréatSTIGénieélectronique\
génieélectrotechnique,optique
Métropoleseptembre2006
EXERCICE 1 5points
1. (1−2i)z=(1−i)z−1−i⇐⇒ (1−2i−1+i)z=−1−i ⇐⇒ −iz=−1−i ⇐⇒ z=1−i.
2. a. Voirplusbas
p
2b. |z | =1+1=2⇒|z |= 2.A A ? !p p
p ? ? ? ? ??2 2 π πOnpeutdoncécrirez = 2 − =2 cos − +isin − .A 4 42 2
π
Unargumentdez estdonc− .A
4
p
c. Onaz =−z .Lemoduledez estégalàceluidez soit 2etundesesD A D A
π 3π
argumentsest:− +π= .
4 4
π′ ′ i 3d. ParlarotationR unpointd’affixez apouraffixez telleque:z =ze .
p pπ πi −π
3 12Doncz =z e = 2e 4= 2e .B A
p π
Lemoduledez estdoncégalà 2etundesesargumentsà .B
12
π
e. Bestl’imagedupointAparlarotationR decentreOetd’angle ;donc
3? ?−−→ −−→ π
OA=OBet OA ; OB = .
3
π
Le triangle AOBetant isocèle en O, ses troisangles ont pour mesure :
3
ilestdoncéquilatéral.
p
EnparticulierAB=OA=|z |= 2.A
−→ −→
3. a. Onapardéfinition:BC =w .
−−→ −−→ −→
D’autrepartAD =2OD =2w ,puisque Dapouraffixe−1+i.
−−→ −−→
OnadoncAD =2BC.
−→ −→ −−→ −→ −→ −−→
b. On vient de voir que BC =w et OD = w , donc BC =OD ⇐⇒ ODCB
estunparallélogramme.
c. ODCB est un parallélogramme entrtaîne que CD = OB; mais OABétant
équilatéralOB=AB;doncCD=AB.
d. A,OetDsont alignés; (OD)estparallèle à(BC):lequadrilatèreABCDa
deuxcôtésopposésparallèles:c’estuntrapèze.
D’autre part on a démontré que CD = AB : ABCD est donc un trapèze
isocèle.CorrigéSTIGénieélectronique,électrotechnique,optique A.P.M.E.P.
C
D
1 −→
w
→−
v
B
→−O
−1 u 1
−1
A
EXERCICE 2 4points
1. Lesrésultatspossiblessont:
(P,P,P) (P,P,F) (P,F,P) (P,F,F) (F,P,P) (F,P,F) (F,F,P) (F,F,F)
2. a. Lesrésultatsprécédentsconduisentrespectivementauxvaleurssuivantes:
4 3 3 2 2 1 1 −5
b.
x 4 3 2 1 −5i
p(X=x ) 1/8 2/8 2/8 2/8 1/8i
2 2 1 5
c. p(X62)=p(X=2)+p(X=1)+p(X=−5)= + + = .
8 8 8 8
1 2 2 2 1 11
3. a. OnaE(X)=4× +3× +2× +1× +(−5)× = .
8 8 8 8 8 8
L’espérance(degain)estpositive:lejeun’estpaséquitable.
b. Onreprendlecalculdel’espérance avecunepertedex eurossilestrois
piècesprésentent leurcôtéface:
1 2 2 2 1 16+x
E(X)=4× +3× +2× +1× +x× = .
8 8 8 8 8 8
Doncl’espéranceestnullesix=−16.
PROBLÈME 11points
PartieA:Déterminationd’unefonction
Métropole 2 septembre2006
bbbbCorrigéSTIGénieélectronique,électrotechnique,optique A.P.M.E.P.
1. CommeA(0 ; 4)∈C ,ona f(0)=4.f
D’aprèsladernièreinformationlecoefficientdirecteurdelatangenteaupoint? ?
1 1′d’abscisse estnul: f =0.
4 4
D’aprèslapremièreinformationona lim f(x)=1.
x→−∞
2. a. f estdérivablesurRet
′ 2x 2x 2xf (x)=be +2(bx+c)e =(2bx+b+2c)e .
2xb. f(x)=a+(bx+c)e ⇒ f(0)=a+c;
? ?
? ? ? ? 1 3b 1′ 2x ′ 1 1 2×
4 2f (x)=(2bx+b+2c)e ⇒ f = 2b +b+2c e = +2c e ;4 4 2
2x 2x 2xComme lim xe =0etque f(x)=a+bxe +ce ,onpeutendéduire
x→−∞
que lim f(x)=a.
x→−∞
3. a. Encomparant lesrésultats desquestions 1et2onendéduit que a, b et
c sontsolutionsdusystème:

 a+c = 4 3
b+2c = 0
 2 a = 1
b. Lesystèmeprécédentestéquivalentà
  
 1+c = 4  c = 3  c = 3    
3 3 3
b+2c = 0 ⇐⇒ b+2c = 0 ⇐⇒ b+6 = 0 ⇐⇒
  2 2 2  
a = 1 a = 1 a = 1

c = 3
b = −4

a = 1
2xOnadonc f(x)= f(x)=1+(−4x+3)e .
PartieB:étudeetreprésentationd’unefonction
2x 2x 2x1. a. f(x)=1+(−4x+3)e =1−4xe +3e .
2x 2x
Onsaitque lim e = lim xe =0.
x→−∞ x→−∞
Conclusion: lim f(x)=1.
x→−∞
b. Soitlafonctiond définiesurRpar:
2xd(x)= f(x)−1=(−4x+3)e .
2xCommee >0quelquesoitx∈R,lesigneded(x)estceluide−4x+3.
3
−4x+3>0 ⇐⇒ 3>4x ⇐⇒ >x;
4
3
−4x+3<0 ⇐⇒ 3<4x ⇐⇒ <x.
4? ?
3
Conclusion : sur −∞; , la fonction d est positive ce qui signifie que
4 ? ?
3
la courbeC est au dessus de l’asymptoteΔ et sur ;+∞ la courbef
4
C estaudessousdel’asymptoteΔ.f
2. a. f estunesommedefonctionsdérivablessurRet
′ 2x 2x 2xf (x)=−4e +2(−4x+3)e =(−8x+2)e .
′b. Lesignede f (x)estceluide(−8x+2).
? ?
1 1 ′Or−8x+2>0 ⇐⇒ 2> 8x ⇐⇒ > x : donc sur −∞; , f (x)> 0,
4 4
donc f estcroissante;
Métropole 3 septembre2006CorrigéSTIGénieélectronique,électrotechnique,optique A.P.M.E.P.
? ?
1 1 ′−8x+2<0 ⇐⇒ 2<8x ⇐⇒ <x :doncsur ;+∞ , f (x)<0, donc
4 4
f estdécroissante.
D’oùletableaudevariations:
x −∞ 1/4 +∞
f(x)
1 −∞
?? ? 1 11 1 2×4 23. a. Leminimumdelafonctionestégalà f =1+ −4× +3)e =1+2e .
4 4
Ceminimum est lasomme dedeuxnombressupérieur àzéro:ilestsu-
périeuràzéro.
2f(1)=1−e ≈−6<0.
? ?
1
Surl’intervalle ; 1 lafonctionestdécroissante:conclusion:ilexiste
4
unréeluniqueαdecetintervalle telque f(α)=0.
b. Lacalculatricedonne:
f(0,8)≈0,009et f(0,9)≈−2,63,donc0,8<α<0,9;
f(0,80)≈0,009et f(0,81)≈−0,21,donc0,80<α<0,81
4. Voirplusbas.
PartieC:calculd’uneaire
1. LafonctionH estdérivablesurRet? ?
5
′ 2x 2x 2x 2xH (x)=−2e +2 −2x+ e =e (−4x+5−2)=(−4x+3)e =h(x).
2
Conclusion:H estuneprimitivesurRdelafonctionh.
2. a. Voirplusbas
b. D’aprèsletableaudevariations,surl’intervalle [−1; 0] lafonction f est
positive;doncl’aireenunitéd’airedelasurfaceD estégaleàl’intégrale:
Z Z Z Z0 0 0 0
0 0
f(x)dx= 1+(x)dx= 1dx+ h(x)dx= [x] +[H(x)] =−1 −1
−1 −1 −1 −1? ? ?? ? ?
5 5 5 92×0 2×(−1) −21+H(0)−H(−1)=1+ e − −2×(−1)+ e =1+ − e =
2 2 2 2
7 9 −2− e (u.a.).
2 2
2Orl’unitéd’aireestégaleà2×2=4cm .
? ?
7 9 −2 −2 2Donc l’aire de la partieD est ég égale à 4 − e =14−18e cm soit environ
2 2
211,564ouencore11,56cm2aumm près.
Métropole 4 septembre2006CorrigéSTIGénieélectronique,électrotechnique,optique A.P.M.E.P.
y
5
4
3
2
1
→−

→−O x
−2 −1 ı 1 2 3
−1
−2
−3
−4
−5
−6
Métropole 5 septembre2006