Corrigé du baccalauréat STI Polynésie juin Génie mécanique énergétique civil

Description

Niveau: Secondaire, Lycée
[ Corrigé du baccalauréat STI Polynésie juin 2007 \ Génie mécanique, énergétique, civil EXERCICE 1 5 points 1. a. P ( ?2 p 2 ) = ( ?2 p 2 )3+ ( 2 p 2?4 )( ?2 p 2 )2+ ( 8?8 p 2 )( ?2 p 2 ) +16 p 2=?16 p 2+ 8 ( 2 p 2?4 ) ?16 p 2+32+16 p 2=?16 p 2+16 p 2?32?16 p 2+32+16 p 2= 0. b. P (z)= z3+ ( 2 p 2?4 ) z2+ ( 8?8 p 2 ) z+16 p 2= ( z+2 p 2 )( z2+?z+? ) ?? z3+ ( 2 p 2?4 ) z2 + ( 8?8 p 2 ) z+16 p 2 = z3+ z2 ( ?+ p 2 ) + ( ?+2? p 2 ) z+ 2? p 2 ?? ? ? ? ?+2 p 2 = 2 p 2?4 ?+2? p 2 = 8?8 p 2 2? p 2 = 16 p 2 ?? ? ? ? ? = ?4 8?4(2 p 2) = 8?8 p 2

• x? lnx


• π? π4


• corrigé du baccalauréat sti


• triangle ahc


• ??? ab


• lnx ??


• baccalauréat sti


• ??


• angle au centre

Informations

• Publié par: apmep
• Publié le: 01 juin 2007
• Nombre de lectures: 140
• Langue: Français

Extrait

[CorrigédubaccalauréatSTIPolynésiejuin2007\
Géniemécanique,énergétique,civil
EXERCICE 1 5points
? p ? ? p ? ? p ?? p ? ? p ?? p ? p p3 2
1. a. P −2 2 = −2 2 + 2 2−4 −2 2 + 8−8 2 −2 2 +16 2=−16 2+? p ? p p p p p p
8 2 2−4 −16 2+32+16 2=−16 2+16 2−32−16 2+32+16 2=0.
? p ? ? p ? p ? p ?? ?
3 2 2b. P(z)=z + 2 2−4 z + 8−8 2 z+16 2= z+2 2 z +αz+β ⇐⇒? p ? ? p ? p ? p ? ? p ?
3 2 3 2z + 2 2−4 z + 8−8 2 z+16 2=z +z α+ 2 + β+2α 2 z+p p 
α+2 2 = 2 2−4 α = −4 p p p p p
2β 2 ⇐⇒ β+2α 2 = 8−8 2 ⇐⇒ 8−4(2 2) = 8−8 2p p 
2β 2 = 16 2 β = 8
? p ?? ?
2OnadoncP(z)= z+2 2 z −4z+8 .
? p ?? ? p
2 2c. P(z)=0 ⇐⇒ z+2 2 z −4z+8 =0 ⇐⇒ z+2 2=0 ou z −4z+
8=0.
Lapremièreéquationapoursolution:c.
2 2 2La seconde : z −4z+8=0 ⇐⇒ (z−2) −4+8=0 ⇐⇒ (z−2) +4=
2 20 ⇐⇒ (z−2) −(2i) =0 ⇐⇒ (z−2+2i)(z−2−2i)=0 ⇐⇒ z=2−2i ou
z=2+2i.
n op
S= −2 2; 2−2i; 2+2i.
2 2 22. a. Voirfigureàlafin.Ona|a| =4×2=8;|b| =4+4=8;|c| =4+4=8.
p p
Donc OA = OB = OC= 8= 2 2, ce qui montre que A, B et C appar-p
tiennentaucerclecentréenOderayon2 2.
? !p p
p p ? ?2 2 π πb. Onpeutécrirea=2 2 +i =2 2 cos +isin .4 42 2
π
Unargumentdea estdonc .
4
π
Commeb estleconjuguédea,undesesargumentsest− .
4? ? ? ? ? ?−−→ −−→ −−→ →− →− −−→ π π π
OB, OA = OB, u + u , OA =−arg(b)−arg(a)= + = .
4 4 2
c. D’aprèslarelationentrel’angleinscritetl’angleaucentre,ona
? ? ? ?−→ −→ 1 −→ −→ 1 1 π
CB, CA = OB, OA = × = .
2 2 2 4
d. Comme A etBsont symétriques autour de(OC),cette droite(OC) est la
médiatricede[AB], doncC estéquidistant deAet deB:le triangleACB? ? ? ?−−→ −−→ −−→ −−→
est isocèle en C; on adonc AC, AB = BA, BC ,d’où dans le triangle
π 3π? ? π−−→ −→ 3π4 4ACB, AC, AB = = = .
2 2 8
e. SoitHlepointdecoordonnées(2; 0).LetriangleAHCestrectangleenHp? ? p−→ −→ 3π HC 2+2 2
etonatan AC, AB =tan = = =1+ 2.
8 AH 2CorrigédubaccalauréatSTIGéniemécanique,énergétique,civil A.P.M.E.P.
A
2
→−
v
C H
→−O
−2 u 2
−2
B
EXERCICE 2 4points
1. Enlever2%revientàmultiplierpar0,98,donc:
u =u ×0,98=20×0,98=19,6;1 0
u =u ×0,98=19,6×0,98=19,208≈19,21;2 1
u =u ×0,98=19,208×0,98=18,8238≈18,82.3 2
2. Onau =u ×0,98:lasuiteestdoncgéométriquederaison0,98depremiern+1 n
termeu =20.0
n n3. Onsaitqueu =u ×0,98 =20×0,98 .n 0
104. Onadoncu =20×0,98 ≈16,34cm.10
5. Ilfautfrapperlapièceunnombrenatureln telque:
14n n n20×0,98 <14 ⇐⇒ 0,98 < ⇐⇒ 0,98 <0,7 ⇐⇒ nln0,98<ln0,7 (parcroissancedelafonctionlogar
20
ln0,7
n> (car ln0,7 etparconséquentsoninversesontnégatifs),soitfi-
ln0,98
nalementn>17,6.
Ilfautdoncauminimum 18frappessoituntempsdefrappede18×6=108s
ouencore1min48s.
PROBLÈME 11points
I.Étuded’unefonctionauxiliaire g
1. g estlasommedefonctionsdérivablessur]0;+∞[etsurcetintervalle:
2 22 2x +2 x +1′g (x)=2x+ = =2 .
x x x
′2. Tous les termes de la dérivée sont supérieurs à zéro : donc g (x)> 0, ce qui
signifiequelafonction f estcroissantesur]0;+∞[.
3. a. Onag(1)=1−4+2ln1=−3<0;
g(2)=4−4+2ln2=2ln2=ln4>0.
Doncsurl’intervalle[1;2],lafonctiong estcroissante,g(1)<0et
g(2)>0:ilexistedoncunréeluniqueαde[1;2]telque f(α)=0.
b. Lacalculatricedonne:g(1,7)≈−1,7etg(1,8)≈0,4,donc1,7<α<1,8;
g(1,71)≈−0,003etg(1,72)≈0,04,donc1,71<α<1,72.
4. Lafonctionétantcroissantesur]0;+∞[ets’annulantenα,onendéduitque:
-sur]0; α[, g(x)<0;
-sur]α;+∞[, g(x)>0.
Polynésie 2 juin2007
bbbbCorrigédubaccalauréatSTIGéniemécanique,énergétique,civil A.P.M.E.P.
II.Étudedelafonction f
2 lnx lnx
1. Ona lim =+∞, lim =−∞et lim− =+∞,donc lim f(x)=+∞.
x→0 x→0 x→0 x→0x x x
2. Étudeen+∞.
lnx 2
a. Onsaitque lim =0,que lim =0et lim x=+∞,donc
x→+∞ x→+∞ x→+∞x x
lim f(x)=+∞.
x→+∞
b. Soitd lafonctiondéfiniesur]0;+∞[par
2 2ln(x)
d(x)= f(x)−(x−1)= − .
x x
lnx 2
Onavuque lim =0etque lim =0,donc lim d(x)=0,cequi
x→+∞ x→+∞ x→+∞x x
montrequeladroiteD d’équation y=x−1estasymptoteàlacourbeC
auvoisinagedeplusl’infini.
2−2lnx
c. C et D ont un point commun commun si d(x)= 0 ⇐⇒ =
x
0 ⇐⇒ 2−2lnx=0 ⇐⇒ 1−lnx=0 ⇐⇒ 1=lnx ⇐⇒ x=e. Il existe
doncunseulpointcommunàC etàladroiteD,lepointA(e; e−1).
2−2lnx
d. Onad(x)>0 ⇐⇒ >0 ⇐⇒ 1−lnx>0 ⇐⇒ 1>lnx ⇐⇒ x<
x
lne;
Demêmed(x)<0 ⇐⇒ x>lne.
Doncsur]0; e[, d(x)>0cequisignifiequelacourbeC estaudessusde
la droiteD et sur ]e ; +∞[, d(x)<0, ce qui signifie que la courbeC est
audessousdeladroiteD.
3. Étudedesvariationsde f.
a. f estlasommedefonctionsdérivablessur]0;+∞[etsurcetintervalle:
? !
1 2×x−lnx2 2 1−lnx x −2−2+2lnxx′f (x)=1− −2 =1− −2 = =
2 2 2 2 2x x x x x
2x −4+2lnx g(x)
= .2 2x x
2 ′b. Commex >0six>0,lesignede f (x)estceluideg(x)vuàlapartieI.
′Doncsur]0; α[, f (x)<0:lafonction f estdécroissanteet
′sur]α;+∞[, f (x)>0:lafonction f estcroissante.D’oùletableau:
x 0 e +∞
+∞ +∞
f(x)
e−1
? ? ? ?? ?
2 ′ 2 24. Ona:M(x ; y)∈T ⇐⇒ y−f e = f e x−e .
4 2 4? ? e −4+2lne e′ 2f e = = =1.
4 4e e
2? ? 2 2lne 2 4 22 2 2 2f e =e −1+ − =e −1+ − =e −1− .
2 2 2 2 2e e e e e
? ?2 2
2 2DoncM(x ; y)∈T ⇐⇒ y−e +1+ =1 x−e ⇐⇒ y=x−1− .
2 2e e
CettetangentealemêmecoefficientdirecteurqueladroiteD.
5. Voirenbas.
III.Calculd’uneaire
Polynésie 3 juin2007CorrigédubaccalauréatSTIGéniemécanique,énergétique,civil A.P.M.E.P.
1. H estdérivablesur]0;+∞[etsurcetintervalle:
2 1 2 2lnx′H ()=x−1+ −2lnx× =x−1+ − = f(x).
x x x x
H estdoncuneprimitivede f sur]0;+∞[
2. a. Voirlafigure
b. Le minimum de f est e−1≈1,728>0; la fonction f est donc positive
nonnulle.
L’aireenunitéd’airedelapartieE estdoncégaleàl’intégrale:
? ?Z 2 2e e 1e 2 2
f(x)dx=[H(x)] =H(e)−H(1)= −e+2lne−(lne) − −1+2ln1−(ln1) =1 2 21
2 2e 1 e 1
−e+2−1− +1= −e+ (u.a.)
2 2 2 2
? ?2e 12 2c. L’unitéd’aireestégaleà2×2=4cm ,doncS=4 −e+ =2+2e −
2 2
2 24e≈5,904≈5,90cm aumm près.
y
7
6
5 C
4
3
2
1 D
→− T
→−O 2 xe1 2 3 4 5 6 7ı
Polynésie 4 juin2007