Corrigé du baccalauréat STL Métropole juin

Description

Niveau: Secondaire, Lycée
[ Corrigé du baccalauréat STL Métropole 18 juin 2010 \ Chimie de laboratoire et de procédés industriels Calculatrice et formulaire autorisés 3 heures Durée de l'épreuve : 3 heures Coefficient : 4 EXERCICE 1 4 points 1. L'équation s'écrivant y ??+52y = 0, on sait que les solutions s'écrivent f (t)= Acos5t +B sin5t , avec A ?R, B ?R 2. On a f ?(t)=?5A sin5t +5B cos5t . Donc { f (pi) = ? p 3 f ?(pi) = 5 ?? { Acos5pi+B sin5pi = ? p 3 ?5A sin5pi+5B cos5pi = 5 ?? { ?A = ? p 3 ?5B = 5 ?? { A = p 3 B = ?1 La fonction solution de l'équation différentielle et vérifiant les deux condi- tions est définie sur R par f (t)= p 3cos5t ? sin5t . 3. On peut en factorisant 2, écrire : f (t)= 2 (p 3 2 cos5t ? 1 2 sin5t ) = 2 ( cos pi6 cos5t ? sin pi 6 sin5t ) = 2cos ( 5t + pi6 ) , d'après la formule cosa cosb ? sina sinb = cos(a +b).

• ?? cosx


• produit de limites lim


• cos5t ?


• lnx ??


• cos5t ? sin


• ona lim


• ??

Informations

• Publié par: apmep
• Publié le: 01 juin 2010
• Nombre de lectures: 57
• Langue: Français

Extrait

[CorrigédubaccalauréatSTLMétropole18juin2010
\
Chimiedelaboratoireetdeprocédésindustriels
Calculatriceetformulaireautorisés 3heures
Duréedel’épreuve:3heures Coefficient:4
EXERCICE1 4points
00 21. L’équation s’écrivant y ?5 y?0,onsaitquelessolutionss’écrivent
f(t)? Acos5t?Bsin5t, avec A2R, B2R
02. Ona f (t)??5Asin5t?5Bcos5t.
p p½ ½
f(π) ? ? 3 Acos5π?Bsin5π ? ? 3
Donc () ()0f (π) ? 5 ?5Asin5π?5Bcos5π ? 5
p p½ ½
?A ? ? 3 A ? 3
()
?5B ? 5 B ? ?1
La fonction solution de l’équation différentielle et vérifiant les deux condi-
tionsestdéfiniesurRpar
p
f(t)? 3cos5t?sin5t.
3. Onpeutenfactorisant2,écrire:
à !p
¡ ¢ ¡ ¢3 1 π π πf(t)?2 cos5t? sin5t ?2 cos cos5t?sin sin5t ?2cos 5t? ,
6 6 62 2
d’aprèslaformulecosacosb?sinasinb?cos(a?b).
1 π π4. a. 2cosx?1 () cosx? () cosx?cos () x? ?2kπ,k2Z ou3 32
pi 0 0x?? ?2k π, k 2Z.3 ¡ ¢
πb. f(t)?1 () 2cos 5t? ?1, soit en utilisant les résultats de la ques-6
tionprécédente:
½ ½ ½π π π π π5t? ? ?2kπ, k2Zou 5t? ?2kπou t? ?2k ou6 3 6 30 5() ()π π 0 π 0 π 0π5t? ?? ?2k π, k2Z 5t?? ?2k π t?? ?2k6 3 2 10 5
EXERCICE2 5points
1. Lavariablealéatoire X peutprendrelesvaleurs10,20,30,40ou50.
Onaletableaudelaloideprobabilitédecettevariablesuivant:
X?x 10 20 30 40 50i
5 30 40 20 5p X?x( )i 100 100 100 100 100
5 30 40 20 5
2. OnaE(X)?10? ?20? ?30? ?40? ?50? ?
100 100 100 100 100
50?600?1200?800?250 2900
? ?29.
100 100
3. D’aprèsle résultat précédent le dosage ducontenu des100 flaconsmélangés
serade29%.CorrigédubaccalauréatSTLChimiedelaboratoireetdeprocédésindustriels A.P.M.E.P.
2920 2900
4. OndoitavoirE(X)?29,2? aulieude .Ilsuffitdoncderemplacer
100 100
undesflaconsà10 %parunflaconà30%.(ouunde20parunde40ouunde
30parunde50).
PROBLÈME 11points
1. Comme limxlnx?0, limx?xlnx?0,donc lim f(x)?1.
x!0 x!0 x!0
22. Enfactorisant x (rappel x6?0),onpeutécrire:
µ ¶
32f(x)?x ?lnx ?1.
2
2Ona lim ?lnx??1etcomme lim x ??1,parproduitdelimites lim f(x)?
x!?1 x!?1 x!?1
?1.
3 10 23. a. Ona f (x)? ?2x?2xlnx?x ? ?3x?2xlnx?x?2x?2xlnx?
2 x
2x(1?lnx).
0b. Comme x?0,lesignede f (x)estceluide1?lnx;or
1?lnx?0() 1?lnx () lne?lnx () (parcroissancedelafonctionln)
e?x () 0?x?e;ladérivéeestpositivesur]0; e[;
demême1?lnx?0() x?e
4. Laquestionprécédentemontreque f estcroissantesur]0; e[etdécroissante
sur]e;?1[.
23 e2 2Ilyadoncunmaximumene: f(e)? e ?e ?1?1?1? .
2 2
x 0 e ?1
0 ??f (x)
2e1?
2
f(x)
1 ?1
5. Letableaudevariationsmontreque f nes’annulequ’uneseulefoissur[e ;?1[
enα.
3 3
Plus précisement : f(4)? ?16?16ln4?1?25?32ln2?2,8 et f(5)? ?
2 2
77
25?25ln5?1? ?25ln5??1,7,cequimontreque4?α?5.
2
Demême f(4,6)?0,4?0et f(4,7)??0,05?0, ce qui montre que 4,6?α?
4,7.
6. Voirlafigureàlafin.
11 1 1 1 11 10 2 2 3 2 2 27. On a g (x)? ?3x ? ?3x lnx? x ? ?1? x ?x lnx? x ?1?
18 3 3 x 6 3
3 2 2x ?x lnx?1? f(x).
2
Conclusion: g estuneprimitivede f sur]0;?1[.
8. On a vu que sur [2; 4], la fonction f est positive; donc l’aire de la surfaceD
limitée par la courbeC, l’axe desabscisses et les droitesd’équations respec-
tives x?2et x?4estégale(enunitéd’aire)àl’intégrale:
Z µ ¶4 11 1 11 14 3 3 3 3f(x)dx?[g(x)] ?g(4)?g(2)? ?4 ? ?4 ln4?4? ?2 ? ?2 ln2?2 ?2 18 3 18 32
352 128 44 8 308 120 308
? ln2?4? ? ln2?2? ? ln2?2?2? ?40ln2(u.a.)
9 3 9 3 9 3 9
2L’unité d’aireétantégaleà1?1?1cm ,onaaussi:
Métropole 2 18juin2010CorrigédubaccalauréatSTLChimiedelaboratoireetdeprocédésindustriels A.P.M.E.P.
308 2A?2? ?40ln2?8,496?8,50cm aucentièmeprès.(cequel’oncontrôle
9
approximativement surlafigure)
4
C
3
2
1
A
O
1 2 3 4 5
?1
?2
Métropole 3 18juin2010
b