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Mathématiques 1999 S.T.I (Génie des Matériaux) Baccalauréat technologique

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Examen du Secondaire Baccalauréat technologique. Sujet de Mathématiques 1999. Retrouvez le corrigé Mathématiques 1999 sur Bankexam.fr.
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Baccalauréat 99

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Durée 4 heures ; coefficient 4 ; barème 5 + 5 + 10 Dès que le sujet vous est remis assurez-vous qu’il est complet, que toutes les pages sont imprimées. L’usage des calculatrices est autorisé pour cette épreuve. Le candidat doit traiter les deux exercices et le problème. Il sera tenu compte de la clarté des raisonnements et de la qualité de la rédaction dans l’appréciation des copies. Le formulaire de mathématiques est joint au sujet. Ce sujet comporte 2 pages.

Exercice 1
On considère l’expérience aléatoire suivante : Une première urne contient cinq boules numérotées ¼, ¾, , , . Une deuxième urne contient cinq boules numérotées ½, ¾, ¿, , . On appelle « partie » le fait de tirer au hasard une boule de la première urne, puis une boule de la deuxième. Une partie a donc ¾ résultats possibles supposés équiprobables. 1. (a) Recopier, puis compléter le tableau donnant la somme des deux nombres obtenus pour chacun des résultats possibles. · ¼ ¾ ½ ¾ ¿

(b) Quelle est la probabilité d’obtenir pour une partie une somme égale à ? (c) Quelle est la probabilité d’obtenir pour une partie une somme paire? (d) Quelle est la probabilité d’obtenir pour une partie une somme au plus égale à ? 2. On considère le jeu suivant associé à chaque partie. Un joueur gagne :

¿¼ francs si la somme est paire ; ½¼¼ francs si la somme est treize ; ½¼ francs si la somme est ½, ¿ ou ; et ne gagne rien dans les autres cas.
On appelle la variable aléatoire qui à chaque partie associe son gain en francs. . (a) Calculer la probabilité de gagner ½¼¼ francs. (b) Donner sous forme de tableau la loi de probabilité de la variable aléatoire (c) Calculer l’espérance mathématique de la variable aléatoire .

(d) L’organisateur demande ¾¼ francs pour obtenir le droit de jouer. Ce jeu est-il équitable?

Exercice 2
On donne l’équation différentielle : Ý · ¿ Ý

¼.

1. Donner la forme des solutions de cette équation différentielle. 2. Déterminer la fonction vantes : solution de cette équation différentielle satisfaisant aux conditions suipasse par le point de coordonnées ´¼

– la courbe représentative de

Ô

¿µ ;

– la droite tangente à cette courbe au point

a pour coefficient directeur .

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3. Vérifier que pour tout réel Ü : ´Üµ 4. Calculer la valeur moyenne de

¾× Ò

Ü·

¿

. .

sur l’intervalle ¼

Problème
Soit la fonction définie sur Ê par : ´Üµ ¾   ½¼Ü  ¾Ü . Soit ´ µ sa courbe représentative dans un repère orthonormal ´¼ 1. Calculer la limite de ´Üµ lorsque Ü tend vers  ½. 2. (a) Vérifier que ´Üµ (b) Calculer la limite de ´Üµ lorsque Ü tend vers ·½. (c) En déduire que la courbe ´ µ admet une asymptote ´ µ dont on précisera une équation. 3. (a) Démontrer que la fonction dérivée ¼ ´Üµ ´¾¼Ü   ½¼µ  ¾Ü.

    µ (unité graphique ¾ cm).

½¼ ¾  Ü

¡

Ü

Ü.

¼ de

est définie pour tout Ü réel par : .

(b) Étudier pour tout réel Ü le signe de

¼ ´Üµ, puis établir le tableau de variation de

(c) En déduire que la courbe ´ µ admet une tangente horizontale en un point les coordonnées.

dont on précisera

4. Déterminer une équation de la tangente ´Ì µ à la courbe ´ µ au point d’abscisse ¼. 5. Tracer dans le même repère ´¼ 6. On note

    µ l’asymptote ´

µ, la tangente ´Ì µ et la courbe ´ µ.

la fonction définie sur Ê par : ´Üµ sur Ê.

½  ¾Ü   ½

 ¾Ü

(a) Déterminer sa fonction dérivée. (b) En déduire une primitive 7. de (a) Hachurer sur la représentation graphique le domaine ´ µ du plan limité par la courbe ´ µ, l’axe des abscisses et les droites d’équations : Ü ¼ , Ü ¿ . (b) Calculer la valeur exacte de l’aire du domaine ´ µ exprimée en Ñ ¾ , puis en donner une valeur décimale approchée à ½ ÑÑ ¾ près.

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Exercice 1
1. (a) Le tableau complété est le suivant :

· ½ ¾ ¿

¼ ¾ ½ ¿ ¾ ¿

½¼ ½½ ½¼ ½¾ ½½ ½¿

(b) Il vient donc, d’après le tableau, puisque les ¾ résultats sont supposés équiprobables :

È ´Ë
(c) De la même façon :

µ

¿ ¾ ½¼ ¾ ½½ ¾ ½¿µ ½ ¾ ¼ ¾ ¼ ¾

È ´Ë paire µ
(d) Et enfin :

È ´Ë
2. (a) On a :

µ

È´
(b) Loi de probabilité de la variable :

½¼¼µ

È ´Ë

Ü Ô ÜÔ
(c) Et donc, l’espérance de la variable

¿¼ ½¼ ¾ ¿¼¼ ¾
est :

½¼¼ ½ ¾ ½¼¼ ¾

½¼ ¾ ¼ ¾

´ µ

¿¼¼ ½¼¼ ¼ ¼ · · · ¾ ¾ ¾ ¾

¼ ¾

½

¼ Ö Ò ×

(d) À ¾¼ francs la partie, le jeu ne serait pas équitable, puisque l’espérance de gain du joueur serait négative : ´ µ  ½ ¼ Ö Ò ×

Exercice 2
1. Cette équation est de la forme Ý ·

¾Ý
Ý

¼ avec Ó× Ü ·

; donc les solutions sont :

×Ò Ü

où et sont deux réels quelconques. Ó× Ü. De plus, Ý ¼   × Ò Ü ·

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2. Déterminons Ý ´Üµ Ó× Ü · × Ò Ü de telle sorte que la courbe tangente Ì ait pour coefficient directeur 6 ; il faut donc :

passe par G et que la

´¼µ ¼ ´¼µ
donc

Ô

¿ donc donc

Ó× ¼ Ó× ¼

Ô

¿

Ô

¿ et

½ ; la solution cherchée est donc :

Ý
3. Vérifions que ´Üµ

´Üµ
.

Ô

¿ Ó× Ü · × Ò Ü

¾× Ò

Ü·

Utilisons la formule × Ò´ · µ

¿ ×Ò

Ó× · Ó× × Ò ; donc : ¾× Ò

´Üµ

Ü·

¿ ¿ · Ó× Ü × Ò

¾ × Ò Ü Ó×

¿ ½ ¾ × Ò Ü · Ó× Ü ¾ ¾ ×Ò Ü·
C’est ce qu’il fallait démontrer. 4. Calculons la valeur moyenne :

Ô

¿

Ô

¿ Ó× Ü

ÎÑ

 ¼      
¾ ¾ ¾ ¾

½

¼

¾× Ò Ó× ¿

Ü·

¿ ¿

Ü

¡¾¡ ½ ¡  
Ó× Ó× ½  ¾

Ü·

¼

Ü·
·

¿

 
½ ¾

¼
Ó× ¿

 

Problème
On a : ´Üµ 1.
Ü

¾   ½¼Ü
´

 ¾Ü pour Ü ¾ Ê.
Ð Ñ ½¼Ü

ÐÑ

 ½

·½ car

 ½ Ð Ñ  ¾Ü Ü  ½
Ü

 ½ ·½
½¼ ¾  Ü ¼ ¼ ´ ÓÖÑÙÐ Ö µ ¾ est asymptote horizontale à la courbe (C).

2.

(a) En développant, on a bien ´Üµ (b) Donc Ð Ñ
Ü

¡

Ü

Ü

¾   ½¼Ü

 ¾Ü.

·½

¾ car

(c) Donc la droite

d’équation Ý

Ü ·½ Ü ÐÑ Ü Ü ·½ Ü

ÐÑ

½¼

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3.

(a) Calculons la dérivée :

¼ ´Üµ

 ¾Ü · Ü´ ¾  ¾Ü µ¡   ¡  ½¼  ¾Ü   ¾Ü  ¾Ü  ½¼´½   ¾Üµ  ¾Ü ´¾¼Ü   ½¼µ  ¾Ü
¼   ½¼ ½

 

(b) Donc le signe de ¼ ´Üµ est le signe de ¾¼Ü   ½¼ car l’exponentielle est positive. Donc le tableau de variation est le suivant :

¼´Üµ
´Üµ

Ü

 ½
·½

  ²
¾ 

½ ¾ ¼ ¾  ¼ ¾ ½ ¾

·½ ·

±

¾

Car

½ ¾

¾   ½¼

½ ¾

 ¾ ½ ¾

¾ 

 ½

(c) Donc la courbe admet un extrémum au point horizontale.

¾ 

; en ce point, il y a une tangente

¼ ; calculons : 4. Soit ¾ ´ µ dont l’abscisse Ü ´¼µ ¾   ½¼ ¡ ¼ ¡ ¼ ¾ ¼ ´¼µ ´¼   ½¼µ  ¼  ½¼ Donc la tangente ´Ì µ a pour équation : Ý  ½¼´Ü   ¼µ · ¾
5. La courbe (C), avec l’asymptote (D) et la tangente (T) :

 ½¼Ü · ¾

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6.

(a) On a ´Üµ

½  ¾Ü   ½

 ¾Ü . Calculons :

¼ ´Üµ

 ½ ¾

 ¾Ü ·

  ½ Ü   ½  ¾ ¾
 ¾Ü  ¾Ü

¢

 ¾Ü£

  ½ ·   ½ Ü   ½ ´ ¾µ ¾ ¾
Ü  ¾Ü
(b) Puisque l’on a ´Üµ

½  ¾ · Ü · ½ ¾

¾   ½¼ Ü ´Üµ

 

 ¾Ü¡ , la primitive cherchée est donc :
¾Ü   ½¼ ´ ´Üµµ ½ ½ ¾Ü   ½¼   Ü   ¾ ½  ¾Ü ¾Ü · Ü· ¾

 ¾Ü

7.

(a) Voir sur la figure, la zone hachurée. (b) L’aire cherchée du domaine ´ µ est :

¿ ¼

´Üµ Ü

¾Ü · · ¿ · ¾ ¾ ½·

Ü·
½ ¿· ¾

½ ¾

 ¾Ü  

¿ ¼
¼· ¾

 

 

 ¾
Ѿ

¿ · ¾ ¾

 

unités d’aire

½ ½ ¿
Donc la valeur cherchée est ½ ½

Ѿ ou ½ ½ ÑѾ .

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