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Mathématiques 1999 S.T.I (Génie Electrotechnique) Baccalauréat technologique

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Examen du Secondaire Baccalauréat technologique. Sujet de Mathématiques 1999. Retrouvez le corrigé Mathématiques 1999 sur Bankexam.fr.
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Baccalauréat STI GEL-GET

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Exercice 1
Un moteur électrique possédant trois bornes ½ , ¾ et ¿ doit être alimenté en électricité par trois fils ½ , ¾ et ¿ , chaque fil étant relié à une seule borne identifiée. Lorsque les trois fils sont convenablement branchés ( ½ avec ½ , ¾ avec ¾ , ¿ avec ¿ ), le moteur tourne à ¼¼ tours par minute. Lorsqu’aucun fil n’est branché à la bonne borne, le moteur ne tourne pas. 1. Déterminer la liste des montages différents possibles et en déduire leur nombre total (exemple : avec ¾ , ¾ avec ½ , ¿ avec ¿ est l’un des montages possibles) 2. Calculer la probabilité que les trois fils soient convenablement branchés. 3. Calculer la probabilité qu’un seul des trois fils soit branché à la bonne borne (les deux autres fils étant inversés). 4. On considère la variable aléatoire qui, à chaque montage, associe la vitesse de rotation du moteur. Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire .
½

Exercice 2
Un quadripôle est constitué d’un résistor de résistance Ê exprimée en ª et d’un condensateur de . On associe respectivement à la tension d’entrée et à la tension de sortie capacité exprimée en et × . les nombres complexes × . On appelle transmittance le nombre complexe défini par : On admet que

désigne le nombre complexe de module ½ et d’argument Dans tout cet exercice, on suppose que Ê 1. Vérifier que

½· Ê

½



désigne la pulsation exprimée en radians par seconde et

¼ª,

¾

¾.
et

module et un argument de . 2. Le module de × peut-il être le double de celui de ? Justifier la réponse fournie.

½ ½·

½  ½ ½¼¼ Ö × .

; écrire le nombre complexe

sous forme algébrique puis déterminer le

3. Dans cette question seulement, on suppose qu’un argument de Þ× est gument de . 4. On suppose dans cette question que

¾ ; déterminer alors un ar-

½ ¼´  ¿ · µ.
sous la forme Ö « .

Ô

(a) Déterminer l’écriture du nombre complexe

(b) Déterminer la forme exponentielle du nombre complexe × correspondant. (c) Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal ´¼ Ù Ú µ de telle manière qu’un centimètre représente ½¼¼ unités. Placer les points Å× et Å images respectives des nombres et × . complexes

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Problème
Dans tout le problème , Á désigne l’intervalle PARTIE A Soit 1. (a) On note ¼ la dérivée de la fonction à l’intervalle Á . la fonction définie sur l’intervalle Á par :

¼ ·½ . ´Üµ ܾ · ¿   ¾ ÐÒ Ü. ; calculer ¼ ´Üµ et étudier son signe, pour Ü appartenant

(b) Dresser le tableau de variations de la fonction . Les limites de la fonction en ¼ et en ·½ ne sont pas demandées. 2. Calculer PARTIE B 1. Soit

´½µ, en déduire le signe de ´Üµ pour Ü appartenant à l’intervalle Á . ´Üµ

2.

3.

½ ÐÒ Ü ½ ¾ Ü   ¾Ü · Ü . On note ¼ la fonction dérivée de la fonction sur l’intervalle Á et la courbe représentative de la fonction dans un repère orthonormal ´¼ ß µ d’unités graphiques ¾ cm. (a) Étudier la limite de en ¼ et en déduire l’existence d’une asymptote à la courbe . (b) Étudier la limite de en ·½. ´Üµ (a) Montrer que, pour tout nombre réel Ü de l’intervalle Á , ¼ ´Üµ ¾Ü¾ . (b) Déduire de la partie A le signe de ¼ ´Üµ puis le sens de variation de sur l’intervalle Á .
la fonction définie sur l’intervalle Á par : (c) Établir le tableau de variations de la fonction la droite d’équation :

4. Soit

Ý

½ ¾ Ü.

sur l’intervalle Á .

(a) Montrer que la droite

est asymptote à la courbe . de la courbe . et la et de la

(b) Déterminer par le calcul les coordonnées du point d’intersection droite . (c) Sur l’intervalle Á , déterminer la position de la courbe

par rapport à la droite

5. En utilisant les résultats précédents, tracer avec soin dans le même repère ´¼ courbe . PARTIE C 1. On considère la fonction En remarquant que l’intervalle Á . définie sur l’intervalle Á par :

ß µ la droite

ÐÒ Ü est de la forme Ù¼´Üµ ¢ ٴܵ, déterminer une primitive de la fonction
Ü

´Üµ

½   ÐÒ Ü . ¾Ü Ü

sur

2. Hachurer sur le graphique la partie du plan limitée par la courbe , la droite ½ ¾. d’équations Ü ½ et Ü Calculer l’aire exprimée en cm¾ , de cette partie hachurée.

et les deux droites

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Exercice 1
1. La liste des montages est la suivante (avec des notations évidentes) :
½ ¾ ¿ ½ ½ ½ ¾ ½ ½ ¾ ¾ ¾ ¿ ¿ ¾ ¿ ¿ ¿ ½ ¾ ¿ ½ ½ ½ ¿ ¿ ¾ ¾ ¾ ¾ ¾ ½ ½ ¿ ¿ ¿

Il y a en tout ¿ ¢ ¾ ¢ ½

6 montages différents possibles.

2. Nous admettrons que la situation est équiprobable ce qui justifie l’emploi de la formule : nbre de cas favorables nbre de cas possibles pour calculer la probabilité d’un événement. Chacun des montages précédents a donc la même probabilité d’être réalisé et cette probabilité vaut
½ ½

.

Il y a un seul montage où les trois fils sont convenablement branchés, la probabilité de l’obtenir vaut donc .
¿ ½ ¾

3. Il y a trois montages de la sorte (autant que de bornes). La probabilité cherchée est donc 4. La loi de probabilité de est donnée par le tableau suivant :

.

Valeurs de

Ü Üµ
¾

¼ ½ ¿ ¿

¼¼ ½ ¾

½¼¼¼ ½

Total
½

Ô´

Exercice 2
1.

¯ ¯ ¯ ¯

Dans cette question il fallait utiliser la valeur de Admettant cette abérration on a alors :
½
Ö

en
½

(ce qui n’a aucun sens en physique
½
½ ½¼¼

).

½·

 
·

´½ · µ´½ ½

 

½ µ ½ ¾

 

¢ ¼¢¾¢

½·

½ ¾

½·½

 ½ ¾
est
½ Ô¾ Ô¾

½

Ô

Ô Ô
¾ ½

¾,

le module de
Ó×

¾

¾

.

Ô

¾

Soit un argument de ,
×Ò

 
.
׬ ¬
¬ ¬

¾

Ô

¾

¾

Un argument de 2. On a
¾

est donc
×

 
ssi
¬ ¬ ¬ ¬

¾

×

ssi

Ô

¾

¾

(

¼

car

est défini) ssi

¾.

Or ceci est

impossible car

¾

¾

.

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3. On a 4. (a)

×

donc
½ ¼

Ö

´

µ

Ö

´ ×µ ½

¯ ¯

¢  

Ô

¿·

Soit « un argument de Un argument de

,

  Ö ´ µ · ¢ ¾ , ainsi Ô ¼¢ ¿·½ ¿¼¼ Ô donc Ö Ô  ½ ¼ ¿   ¿ Ó× «
×Ò

¿

est un argument de

.

¿¼¼.

«

½ ¾

¿¼¼

¾

(b)

× ×

¢

Ô

est donc

, et sous forme exponentielle on a donc
½ ¼

¿¼¼

.

¾

½ ¼

Ô

¾
½¾

 

¢ ¿¼¼

Ô

¾

´

 

µ

¾

.

(c)

Problème - partie A
1. (a)

¯ ¯

½ ¾Ü¾   ¾ ¾´Ü   ½µ´Ü · ½µ Ü ¾¢ Ü Ü Ü Sur Á , ¼ ´Üµ est donc du signe de Ü   ½.

¼ ´Üµ

¾

Ü
signe de (b) À cause de ce qui précède on a :

¼ ´Ü µ

¼

 

½ ¼ ·

·

½

Ü
Variations de

¼

²

½

±

·

½
´ µ

2.

´½µ ´ µ

Ü

½ · ¿   ¾ ¢ ÐÒ ½ 4 . est le minimum de , donc pour tout Ü ¾ Á on a est donc strictement positif quel que soit Ü strictement positif.

Ü

¼.

Problème - partie B
1. (a) On a Ü
ÐÑ Ü ¼¾ ÐÑ Ü ¼
¼

½

¼.

Ü
½

¼

ce qui prouve que
Ü Ü

  ¾Ü  ½ ½ Ð Ñ ÐÒ Ü ¢  ½ Ü Ü
ÐÑ
· ·

donc

ÐÑ Ü ¼

´ µ

Ü

 ½
¼

admet la droite d’équation Ü

comme asymptote.

(b)

2.

(a)

toutes dérivables sur Á ). On a donc :

½   ¾Ü ÐÒ Ü ÐÑ Ü ·½ Ü Û Ù·Ú· Ø
ÐÑ ½

½ ¾Ü

½

·

½
¼

donc

Ü

ÐÑ
·

½ ´Üµ

·

½
ÐÒ

¼

avec ٴܵ

½ ¾

Ü, ڴܵ

½ ½   ¾ ¢ Ü , ۴ܵ

Ü et شܵ

Ü. (Ces fonctions sont

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¼

Ù¼ · Ú ¼ ·
¼ ´Üµ

Donc

Û¼ Ø   Ûؼ avec Ù¼ ´Üµ ؾ ܾ · ½ · ¾   ¾ ÐÒ Ü ¾Ü¾

½ ¾

, Ú ¼ ´Üµ .

Ü ¾Ü¾

½   ¾ ¢  ½ Ü
¾

½ , ¾ ¾

Ü

Û¼ ´Üµ

Ü

½

et ؼ ´Üµ

½.

´ µ

(b) D’après la partie A , on a pour tout Ü ¼ : ´Üµ ¼, donc Par conséquent, est strictement croissante sur Á .

´ µ ¾ ¾

Ü Ü

¼,

donc

¼´Üµ

¼.

Ü
(c) Variations de

¼

·

 ½

±

·

½ ½

3.

(a)

(b)

½   ½ Ü   ¾½Ü · ÐÒ Ü . Donc d’après des calculs déjà faits au 1/b., on a Ü Ð Ñ½ ´Üµ   ¾ Ü ¼. ¾ Ü Donc est asymptote oblique à lorsque Ü tend vers ·½. ½  ½ · ¾ ÐÒ Ü ¼, soit, sur Á ,  ½ · Ü, soit L’abscisse de est solution de l’équation ´Üµ ´ µ

Ü

·

¾ ÐÒ

Ü

¼,

soit ÐÒ Ü
½ ½ ¾
¾.

½ ¾

ce qui équivaut à Ü

½ ¾.

¾

¾

Ü

L’abscisse de

est donc

½ ¾.

Son ordonnée

est donc Ý

Les coordonnées de (c) La position de de ¾Ü Sur Á on a :

sont donc ´

½ ¾

½ ½ ¾

¾µ

.
´ µ

 ½ · ¾ ÐÒ Ü .
¾

par rapport à

est déterminée par le signe de

Ü

½   ¾ Ü c’est-à-dire le signe

¯ ¯ ¯ ¯

 ½ · ¾ ÐÒ Ü  ½ · ¾ ÐÒ Ü  ½ · ¾ ÐÒ Ü

Ü

¼

¼ ¼

ssi

ÐÒ

Ü
½ ¾

½ ¾

ssi Ü
½ ¾

½ ¾

ssi Ü ¼ ssi ¼ ssi Ü ¾ ssi Ü

Ü
½ ¾ · ½ ¾ ½ ¾

En conséquence on obtient :

¯ ´Üµ   ½ Ü ¾ ½ ¯ ´Üµ   ¾ Ü ½ ¯ ´ ܵ   ¾ Ü
Cela signifie que

¼ ¼ ¼

½

ssi Ü ¾ ¼

ܾ

½ ¾ ·

½

est en-dessous de

lorsque Ü ¾ ¼

½ ¾

et que

est au-dessus de

lorsque

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y

1

4.

O

1

x

Problème - partie C
1.
´ µ

Ü

½ ¾

½ ¢ Ü   Ù¼ ´Üµ ¢ ٴܵ en prenant ٴܵ pour tout Ü ¾ Á . ½ ¾ ÐÒ

Une primitive À de , sur Á , est donc définie par : À ´Üµ 2. est au-dessus de
½ ¾

Ü  ٴܵ ¾ , soit À ´Üµ
½ ¾

½ ¾

ÐÒ

Ü   ´ÐÒ Üµ¾

sur l’intervalle
½ ¾

½

½ ¾

, donc l’aire vaut en unités d’aire :
¾ À ´Üµ ½ ½

½ ¾

½

Ü   ´Üµ Ü

´ µ
½

Ü Ü

½

unité d’aire.
¼

Comme l’unité est de 2 cm sur chaque axe, 1 unité d’aire vaut cm¾ , donc

cm¾ .

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