Mathématiques 2003 Scientifique Baccalauréat général

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Examen du Secondaire Baccalauréat général. Sujet de Mathématiques 2003. Retrouvez le corrigé Mathématiques 2003 sur Bankexam.fr.

Sujets

• Mathématiques
• 2003
• Baccalauréat général

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• Publié par: bankexam
• Publié le: 22 avril 2008
• Nombre de lectures: 39
• Langue: Français

Extrait

Baccalauréat série S Antilles–Guyane juin 2003

E XERCICE 14 points Commun tousles candidats   −→−→ Le plan est rapporté au repère orthonormalO,u,v(unité graphique: 2 cm). On considère les points A et B d’affixes respectives A(3+2i) et B(−1+4i). Extérieure ment au triangle OAB, on construit les deux carrés OA 1 A 2 A et OBB 1 B 2 . 1. a.En remarquant que A 2 est l’image de O par une rotation de centre A, dé terminer l’affixe de A 2 . En déduire l’affixe du centre I du carré OA 1 A 2 A. b.En remarquant que B 1 est l’image de O par une rotation de centre B, dé terminer l’affixe de B 1 . En déduire l’affixe du centre J du carré OBB 1 B 2 . c.Calculer l’affixe du milieu K du segment [AB]. À l’aide des affixes des dif férents points, calculer les longueurs KI et KJ, ainsi qu’une mesure de   −→−→ l’angle KI, KJ. Que peuton en déduire?

E XERCICE 25 points Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité Une entreprise A est spécialisée dans la fabrication en série d’un article; un contrôle de qualité a montré que chaque article produit par l’entreprise A pouvait présenter deux types de défaut: un défaut de soudure avec une probabilité égale à 0,03 et un défaut sur un composant électronique avec une probabilité égale à 0,02. Le contrôle a montré aussi que les deux défauts étaient indépendants. Un article est dit défectueux s’il présente au moins l’un des deux défauts.

1.Montrer que la probabilité qu’un article fabriqué par l’entreprise A soit défec tueux est égale à 0,049 4. 2.Une grande surface reçoit 800 articles de l’entreprise A. SoitXla variable aléa toire qui à cet ensemble de 800 articles associe le nombre d’articles défec tueux.

a.Définir la loi deX. b.Calculer l’espérance mathématique deX. Quel est le sens de ce nombre?

3. a.Un petit commerçant passe une commande de 25 articlesà l’entreprise A. −3 Calculer, à 10près, la probabilité qu’il y ait plus de 2 articles défectueux dans sa commande. b.Il veut que sur sa commande la probabilité d’avoir au moins un article défectueux reste inférieure à 50%. Déterminer la valeur maximale du nombrend’articles qu’il peut commander. 4.La variable aléatoire, qui à tout article fabriqué par l’entreprise associe sa du rée de vie en jours, suit une loi exponentielle de paramètre 0,000 7, c’estàdire de densité de probabilité la fonctionfdéfinie sur [0 ;+ ∞[ par :

−0,000 7x f(x)=.0,000 7e −3 Calculer la probabilité, à 10près, qu’un tel article ait une durée de vie com prise entre 700 et 1 000 jours.

Baccalauréat S juin 2003

E XERCICE 25 points Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité  2   4   6 1. a.1Calculer :+6 ,1+16 ,+6 . b.847 et 342. Que peuton en déduireAppliquer l’algorithme d’Euclide? 2.Soitnun entier naturel non nul. On noteaetbles entiers naturels tels que :    n 1+6=a n +b n 6.

Que valenta 1 etb 1 ? D’après les calculs de la question1. a., donner d’autres valeurs dea n etb n .

a.Calculera n+1 etb n+1 en fonction dea n etb n . b.Démontrer que, si 5 ne divise pasa n +b n , alors 5 ne divise pas non plus a n+1 +b n+1 . En déduire que, quel que soitnentier naturel non nul, 5 ne divise pas a n +b n . c.Démontrer que, sia n etb n sont premiers entre eux, alorsa n+1 etb n+1 sont premiers entre eux. En déduire que, quel que soitnentier naturel non nul,a n etb n sont premiers entre eux.

P ROBLÈME

A. On se propose de résoudre surRl’équation différentielle (E) :   2x y−2y=2 e−1 .

1.Montrer que la fonctionhdéfinie surRpar :

11 points

2x h(x)=2xe+1 est solution de l’équation différentielle (E). 2.On pose:y=z+h. Montrer queyest solution de (E) si et seulement sizest  solution de l’équation différentielle :z−2z=0. Résoudre cette dernière équa tion différentielle et en déduire les solutions de (E). 3.Démontrer qu’il existe une solution et une seule de (E) s’annulant en 0. Elle sera appeléeget étudiée dans lapartie B.

 B. On considère la fonctiongdéfinie surRpar :

2x g(x)=(2x−1)e+1.

1.Déterminer le sens de variation deg. Présenter son tableau de variations. En déduire le signe degsurR. 2. a.Résoudre dansRl’inéquation :1−g(x)  0.  1 2 b.Calculer l’intégrale : I =[1−g(x)] dx. 0 c.Interpréter graphiquement les résultats des questionsa.etb..

C. On considère la fonction numériquefdéfinie pourxréel non nul par :

2x e−1 f(x)=. x 1.Calculer les limites defen−∞, en 0 et en+∞.

AntillesGuyane

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Baccalauréat S juin 2003

2.En déduire que la courbe représentative defadmet une asymptote que l’on précisera. 3.Déterminer le sens de variation defet donner son tableau de variations (on pourra utiliser lapartie B).   −→−→ 4.SoitCla courbe représentative defO ;dans le repère orthogonalı,,    −→−→ avec pour units: 4 cm surO ;ıO ;et 2 cm sur. Après avoir recopié et −2 complété le tableau cidessous avec des valeurs approchées arrondies à 10 près, construire la courbeCpour des valeurs dexcomprises entre−2 et 1.

x−2−1,5−1−0,5−0,2−0,1−0,05 0,05 0,1 0,2 0,5 1 f(x)  f 1 (x)=f(x),x0 5.Soitf 1 la fonction définie par f 1 (0)=0 Cette fonction est définie et continue surR. En supposant quef 1 est dérivable en 0, expliquer comment on peut déterminer graphiquement une valeur ap  prochée du nombre dérivéf(0) ;faire cette lecture graphique. Quel résultat de limite cela permetil de conjecturer?

D. On se propose de trouver un encadrement de l’intégrale :  2x −1 e−1 J=dx. −2 x 2x 0,86 e−1 0,99 Montrer que pour toutxde [−2 ;−1] on a :−   −. x xx En déduire un encadrement de J d’amplitude 0,1.

AntillesGuyane

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