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Mathématiques 2006 Sciences Economiques et Sociales Baccalauréat général

5 pages
Examen du Secondaire Baccalauréat général. Sujet de Mathématiques 2006. Retrouvez le corrigé Mathématiques 2006 sur Bankexam.fr.
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BaccalauréatESPondichéry3avril2006
EXERCICE1 4points
Communàtouslescandidats
La courbe ci-contre C
f
est la repré-
sentation graphique d’une fonction
f définie, continue et dérivable sur

−∞;
5
2

.
Onnote f

sa fonction dérivée etF la
primitivede f quivérifie:F(1)=2e.
Onprécise:
• lim
x→−∞
f(x)=0etpourtout
x<0, f(x)>0.
• La tangente à la courbe au point
A(2;0)passeparlepointB

1;e
2

.
•F(−3)=
6
e
3
.
1234 −1 −2 −3 −4 −5 −6
1
2
3
4
5
6
7
−1
−2
−3
−4
−5
−6
C
f
A
B
exp(2)
Pourchacunedeshuitaffirmations,précisezsurvotrecopiesielleestvraieoufausse
(aucunejustificationn’estdemandéeetiln’estpasnécessairederecopierl’énoncé).
Barème: Àchaque questionest attribué 0,5 point. Uneréponseinexacte enlève 0,25
point Une question sans réponse ne rapporte ni n’enlève aucun point. Si le total est
négatifilestramenéàzéro.
Affirmation1 Affirmation5
Pourtoutx ∈]−∞;2],f

(x)0.

2
0
f

(x)dx=−2
Affirmation2 Affirmation6
Lenombredérivéen2delafonction f estégalàe
2
. Lafonction
1
f
estdéfiniesur]−∞;2].
Affirmation3 Affirmation7
LafonctionF présenteunmaximumen2. Lalimitedelafonction
1
f
en−∞est+∞.
Affirmation4 Affirmation8
L’airedelapartieduplancompriseentreC
f
,l’axe Lacourbereprésentativedelafonction
1
f
desabscisses,lesdroitesd’équationsx=−3etx =1 présenteuneasymptoted’équationx =2.
estégale(enunitéd’aire)à
2e
4
−6
e
3
EXERCICE2 5points
Pourlescandidatsn’ayantpassuivil’enseignementdespécialité
Pourpasser letemps, Chloé etMargauxinventent unjeuavecleur paquetde32
cartesàjoueretunpaquetdebonbons.
On rappelle que, dans un jeu de 32 cartes, on trouve quatre couleurs (pique, trèfle,
cour, carreau) et, dans chaque couleur, on a une série de 8 cartes (7, 8, 9, 10, valet,
dame,roi,as).
Margauxproposelarèglesuivante:BaccalauréatES
• On tire une carte, on regarde si c’est un roi. Sans remettre la carte dans le
paquet,ontireunesecondecarteetonregardesic’estunroi.
• Si, sur les deux cartes, on a tiré exactement un roi, on gagne 10 bonbons; si
onatirédeuxrois,ongagne20bonbons;sinon,onaperdu!
Onnote:
R
1
l’évènement «tirerunroiaupremiertirage»etR
1
sonévènement contraire,
R
2
l’«tirerunroiaudeuxièmetirage»etR
2
sonécontraire.
1. Justifierlesvaleursdesprobabilitéssuivantes:
P(R
1
)=
1
8
P
R
1
(R
2
)=
3
31
P
R
1
(R
2
)=
4
31
.
2. On traduit le jeu par un arbre pondéré. Reproduire l’arbre ci-dessous en ins-
crivantlesprobabilités,enécriturefractionnairesurchaquebranche.
R
1
R
2
R
2
R
1
R
2
R
2
Dans cequi suit, lesprobabilitésserontdonnéessousformedécimalearrondie
aumillième.
3. Calculer laprobabilitédesévènements :
A«tirerunroiaupremiertirageetaudeuxièmetirage»;
B«tirerunroiàunseuldesdeuxtirages»
4. Ons’intéresse aunombre X debonbonsgagnésaprèsdeuxtirages.
Recopieretcompléter letableausuivantquidonnelaloideprobabilitédeX.
Nombredebonbonsx
i
0 10 20
P(X =x
i
) 0,226
5. Calculer l’espérancemathématique Edecetteloi,arrondieaudixième.
EXERCICE2 5points
Pourlescandidatsayantsuivil’enseignementdespécialité
Pendant la saison estivale, deux sociétés de transport maritime ont l’exclusi-
vité de l’acheminement des touristes entre deux îles du Pacifique. On admet que
lenombredetouristestransportéspendantchaquesaisoneststable.
La société «Alizés» a établi une enquête statistique sur les années 2001 à 2005 afin
deprévoirl’évolution delacapacitéd’accueildesesnavires.
L’analyse des résultats a conduit au modèle suivant : d’une année sur l’autre, la so-
ciété«Alizés»,notéeA,conserve80% desaclientèleetrécupère15%desclientsde
lasociétéconcurrente,notéeB.
Pourtoutentiernatureln,onnotepourlasaison(2005+n):
• a
n
laprobabilitéqu’untouristeaitchoisilasociétéAlizés(A),
• b
n
laprobabilitéqu’untouristeaitchoisil’autresociétédetransport(B),
• P
n
=(a
n
b
n
),lamatricetraduisantl’étatprobabiliste,avec a
n
+b
n
=1.
Lesrésultatspourlesprobabilitésserontarrondiesà10
−4
.
Pondichéry 2 3avril2006BaccalauréatES
1. a. Modéliserlechangementdesituationparungrapheprobabilistedesom-
metsnommésAetB.
b. Onnote M la matrice detransition de cegraphe. Recopier et compléter
surlacopielamatricesuivante:M =

0,8 ...
0,15 ...

c. En 2005, la société «Alizés» a transporté 45% des touristes. On a donc
a
0
=0,45.
i. Calculer la probabilité qu’un touriste choisisse la société «Alizés»
en2006.
ii. DéterminerlamatriceP
2
etinterprétercesrésultats.
d. SoitP =(ab )aveca etb deuxréelspositifstelsque a+b=1.
i. Déterminer a etb telsqueP =P ×M.
ii. Endéduire lim
n→+∞
a
n
.
iii. Interprétercerésultat.
e. On admet qu’en 2015, la probabilité qu’un touriste choisisse la société
Aest
3
7
. On interroge quatre touristes choisis au hasard; les choix des
touristessontindépendantslesunsdesautres.
Determinerlaprobabilitéqu’aumoinsundesquatretouristeschoisisse
lasociété«Alizés»poursesvacancesen2015.
EXERCICE3 4points
Communàtouslescandidats
L’objectifdecetexerciceestdedémontrerlapropriétéalgébriquefondamen-
taledelafonctionlogarithmenépériennotéeIn.
Propriétéfondamentale:
Pourtousréelsstrictementpositifs a et b,ln( ab)=lna+lnb.
Rappels
On rappelle les résultats de cours suivants, auxquels le candidat fera claire-
mentréférencepourjustifierchacunedesesaffirmationsaucoursdesétapes
deladémonstration(onpourraenrappelerlenuméro).
Théorème 1 : Sur un intervalle I, deux primitives d’une même fonction dif-
fèrentd’uneconstante.
Théorème2:Soitu unefonctiondéfinie,dérivableetstrictementpositivesur
unintervalleI,lafonctioncomposéedéfinieparx→ln[u(x)]estdérivablesur
I,defonctiondérivée x→
u

(x)
u(x)
.
Théorème3: La somme f de deux fonctions dérivables u et v sur un même
intervalleIestdérivablesurIet f

=u

+v

.
Définitionln1=0.
Énoncédel’exercice
Soit a unréelconstantstrictementpositif.
Onconsidèrelesfonctions f et g,delavariablex,définiessur0 ; +∞[par:
f(x)=ln(ax)e tg(x)=lna+lnx.
Partie1
Danslecasoùa=2,donnerlesfonctionsdérivéesde f : x→ln(2x)et
g : x→ln2+lnx.
Partie2:démonstrationdelapropriété
Pondichéry 3 3avril2006BaccalauréatES
a. Calculer et comparer les dérivées de f et de g dans le cas général où a
estunréelconstantstrictementpositif.
b. Pourquoipeut-onaffirmerqu’ilexisteunréelk telque,pourtout
x ∈]0; +∞[, f(x)=g(x)+k?
c. Enposant x=1,déterminerlavaleurdek.
d. Justifier la propriété fondamentale de la fonction ln énoncée en début
d’exercice.
EXERCICE4 7points
Communàtouslescandidats
Partie1
Soientlesfonctions f et g définiessur[0;9]par
f(x)=
10
1+x
−1e tg(x)=
x
2
.
1. Résoudrealgébriquementl’équation : f(x)=g(x).
2. Calculer l’intégrale:I=

9
3
f(x)dx;ondonneralavaleurexactedeI.
Partie 2
Un produit conditionné en
boite est mis sur le mar-
ché. On désigne par x le prix
d’une boîte de ce produit en
dizainesd’euros.
On admet que la quantité
achetée par les consomma-
teurs, en fonction du prix x
appliqué sur le marché, est
donnéepar f (x)encentaines
deboîtes.
On admet que la quantité
proposée sur le marché par
les producteurs, en fonction
duprix devente x auquel les
producteurs sont disposés à
vendre, est donnée par g(x)
encentainesdeboîtes.
Sur le graphique ci-contre,
sont tracées dans un repère
orthonormal les courbes re-
présentativesdesfonctions f
et g.
0123456789
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
A
E
y = f(x) y =g(x)
prix
quantités
1. On pourra utiliser le graphique pour conjecturer les réponses aux questions
suivantes, puisonlesjustifieraalgébriquement.
a. Combien de boîtes seront achetées par les consommateurs si le prix de
venteestde40euroslaboite?
b. Lorsque l’offreest égaleàla demande,le marchéa atteintsonéquilibre.
Donner le prix d’équilibre, en euros, et le nombre de boîtes correspon-
dant.
Pondichéry 4 3avril2006BaccalauréatES
2. a. D’aprèslegraphique,lesproducteursétaientdisposésàvendrelesboîtes
à un prix inférieur au prix d’équilibre. On appelle surplus des produc-
teurs le gain réalisé en vendant les boîtes au prix d’équilibre. Ce gain
est donné en milliers d’euros par l’aire du triangle OAE (1 unité d’aire
=1millier d’euros).Calculercesurpluseneuros.
b. Le surplus des consommateurs est l’économie réalisée par les consom-
mateursquiétaientprêtsàpayerpluscherqueleprixd’équilibre.Cesur-
plus est donné, en milliers d’euros, par l’aire de la partie grisée du plan
surlegraphique(3x9).Préciserquelleintégralepermetdecalculer
cesurplusetendonnerl’arrondiàl’euro.
Pondichéry 5 3avril2006