Mathématiques 2009 Scientifique Baccalauréat général

A.Leblanc

Description

Examen du Secondaire Baccalauréat général. Sujet de Mathématiques 2009. Retrouvez le corrigé Mathématiques 2009 sur Bankexam.fr.

Sujets

• Mathématiques
• 2009
• Baccalauréat général

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• Publié par: bankexam
• Publié le: 23 juin 2009
• Nombre de lectures: 65
• Langue: Français

Extrait

Baccalauréat S Nouvelle - Calédonie Mars 2009

 Exercice 1 .      Comà tomun sec sul adstnaid .        (5 points)

r r Le plan est rapporté à un repère orthonormal direct O,u,v d’unité graphique 1 cm. On considère les points A et B d’ affixes respectives z A 1 ;z B 3 4 i . Soit C et D les points d’affixes respectives z C 2 3 i 2 3 ;z D 2 3 i 2 3 . L’ objet de l’exercice est de proposer une construction géométrique des points D et C. 1. a.Montrer que l’image du point B par la rotation de centre A et d’angle 2 est le point D. 3 b. le rayon.En déduire que les points B et D sont sur un cercle C centre A dont on déterminera de

1.

3 Soit F, l’image du point A par l’homothétie de centre B et de rapport . 2

a. Montrer que l’affixe z F  du point F est −2i. b. que le point F est le milieu du segment [CD].Montrer z C z F .Montre ue i 3 . cr q z A z F z C z F En déduire la forme exponentielle de . z A z F Déduire des questions précédentes que la droite (AF) est la médiatrice du segment [CD].

3.D et C à partir des points A, B et F etProposer un programme de construction pour les points réaliser la figure. Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplete, sera prise en compte dans l ’evaluation.

 Exercice 2      enemesgi epstnd litéécia dnaCtadi’n snayapat sus i ivenl’          (  5 points)  

r r r L’espace est rapporté au repère orthonormal O,i,j,k . 1 On considère les points: A(4;0;0),   B(0;2;0),   C(0;0;3) et E 2 ; 2 ; 3 3 9 On se propose de déterminer de deux façons la distance E du point E au plan (ABC). RAPPEL : ax by cz d 0

.

Soit (P) un plan d’équationa, b, cetdnombres réels avec,a, betcnon tous nuls et ax M by M cz M d   M  . est :du ) M x M ;y M ;z M  point, la distanceMau plan (P 2 b 2 2 a c 1) a.Montrer que les points A, B etC déterminent bien un plan. b. Soit n r  le vecteur de coordonnées (3; 6; 4). r Montrer que n est un vecteur normal au plan (ABC). c. Montrer qu’une équation du plan (ABC) est: x 6 y 4 z 1 2 0 . d. Déduire des questions précédentes la distance E .

x 1 t 2) a.Montrer que la droite (D) de représentation paramétrique: y 2  Rt t z 5 4 t 9 3 est perpendiculaire au plan (ABC) et passe par le point E. b. Déterminer les coordonnées du projeté orthogonal G du point E sur le plan (ABC). c. Retrouver à partir des coordonnées des points E et G la distance E .

 Exercice 3.       mmnuoCuo sà t s lendcaatid  s.       (5 points)

Dans un stand de tir, un tireur effectue des tirs successifs pour atteindre plusieurs cibles. La probabilité que la première cible soit atteinte est 1 . 2 Lorsqu’une cible est atteinte, la probabiité que la suivante le soit t 3 es . Lorsqu’une cible n’est pas atteinte, la probabilité que la suivante soit atteinte est 1 . 2 On note, pour tout entier naturel n non nul: · A n  l’évènement: «lan-ième cible est atteinte ». · A l’évènement: «lan atteint-ième cible n’est n pas e. · a n la probabiité de l’évènement A n · b n la probabiité de l’évènement A n .. a 1) Donner 1 et b 1 . Calculer a 2 et b 2 . On pourra utiliser un arbre pondéré. 2) Montrer que, pour tout n N,n 1 :a n 1 3 a n 1 b n , puis: 2 n N,n 1 :a n 1 1 a n 1 1 2 3)Soit U n  la suite définie pour tout entier naturelnnon nul, par U n a n 2 . 3

a. Montrer que la suite U n  est une suite géométrique. On précisera la raison et le premier terme U 1 .   b. En déduire l’expression de U n  en fonction de n,puis de a n en fonction de n. c. Déterminer la limite de la suite a n . Déterminer le plus petit entier naturelntel que: a n 0 , 6665 .

 Exercice 4.      .sta  ac sdidnou tles mmCo àun        (5 points)

Soit f fonction définie pour tout nombre réel xune  par f(x) 1 x e x . r r Le plan est rapporté à un repère orthonormal O,i,j d’unité graphique 1 cm. 1) a.Étudier le signe de f(x) sur R. b. Déterminer la limite de la fonction f en . Déterminer la limite de la fonction f en . c. On note f la fonction dérivée de la fonction f sur R. Calculer, pour tout nombre réel x, f(x . ) En déduire les variations de la fonctionfsur R. d. Tracer la courbe représentative de la fonction f sur l’intervalle [−2; 5].

n 2) On note I n  suite définie pour tout entier naturel nla  par : I n f(x)dx . 1 Dans cette question, on ne cherchera pas à calculer la valeur exacte de I n  en fonction de n.

3) b

a

4)

a. b.

Montrer que, pour tout n N,I n 0 . Montrer que la suite I n est croissante.

a. f(x)dx

b. c.

d.

À l’aide d’une intégration par parties, montrer que, pour tous réelsaet b : 2 b e b 2 a e a

En déduire l’expression de I n  en fonction de n. I Déterminer: lim n . n Donner une interprétation graphique de cette limite.

Déterminer R  tel que: f(x)dx e . 1 Ce calcul intégral correspond-il à un calcul d’aire ?

EXERCICE 1

z A

1

;z B

3

4 i , z C

Corrigé Maths S Nouvelle–Calédonie mars 2009

2

3

i

2

3

;

z D

2

3

i

2

3

.

2. a.du point B par la rotation de centre A et d’angleSoit B' l’image 2 3 z B 1 i 4 3 2 i 1 1 i 3 1 2 2

z B

z A

2 e 3

z B z A

Par conséquent, B ρ 1 D . b. doncOn a AB AD rayon 2 5 .

2.

2

:

2 i

1

2

3

i

2

4 i 2 5  points B et D sont sur un cercle Cet les centre A de de

Soit F, l’image du point A par l’homothétie de centre B et de rapport 3 . 2

uuur 3 uuur  2 4 2 3 3 i c.  zBF BA F z B z A z B i z F . 2 2 2 d. De plus, z F 1 z C z D etle point F est le milieu du segment [CD]. 2 c z C z F 2 3 i  22 3 i 2 3 i  23 3 i 1 2 i 3 5 i .. z A z F 1 2 i 1 2 i 1 2 2 2 5 z % z D'où : C F 1 % i 3 et z C z F 3 e i 2 .   z % z z A z F A F uuuruuur Il s'ensuit que FA,FC et la droite (AF) est perpendiculaire à (FC). 2 Et, puisque F est le milieu du segment [CD],la droite (AF) est la médiatrice du segment [CD].

3.Pour la construction des points D et C : Tracé du cercle (C) de centre A passant par B (question 1.a).  Tracé du point F image de A par l’homothétie de centre B et de rapport 3 . 2  Tracé de la médiatrice du segment [CD]. Les points C et D sont alors les  intersections de (C) et de la médiatrice de [CD], C d'abscisse positive, D d'abscisse négative.

3

EXERCICE2

5 points

A(4;0;0),   B(0;2;0),   C(0;0;3) et E 2 ; 2 ; 1 . 3 3 9 4 4 uuuruuur uuuruuur 1. a. AB 2 ;AC 0 , les vecteurs AB et AC ne sont pas colinéaires et les points A, B et C ne sont 0 3 pas alignés :   les points A, B etC déterminent bien un plan. r 3 u A uu B r .n r  0 2 11 2 u A uu B r n r r b. Soit n 6    uuuruuur r r , n est un vecteur normal au plan (ABC). et 4 AC.n  01 2 2 1 AC n c. Il est clair enfin qu’une équation du plan (ABC) est: x y z . d. d.Déduire des questions précédentes la distance 1 22 3 x E 6 y E 4 z E 1 2  9  1 22 61 2 61 . E E 2 2 2 3 6 4  61  9 61 9

x 1 t 2. a.Un vecteur directeur de la droite (D) de représentation paramétrique: y 2  Rt t z 5 4 t 9 3 est r u 4 it r u 1 r n et 1 ; 2 ; 3 , so 3 la droite (D) est perpendiculaire au plan (ABC). De plus le point E est le point de (D) de paramètre t 1 la droite (D) est la perpendiculaire au : 3 plan (ABC) passant par le point E.

b. Du 2.a, on déduit que le projeté orthogonal G du point E sur le plan (ABC) est l'intersection

de la droite (D) avec le plan (ABC) :

1

t

6

2 t 54 4 t 9 3

1 2

0

x

61 9

6 y

61 t 3

4 z

0

1 2

t

0 et

1 3

x y

z

En remplaçant dans la représentation paramétrique, on trouve : G

2 c. On a : u E uu G r 2 ; 4 ; 8 , d'où : E EG 2 3 3 9  3  Exercice 3 inpo5  ( ) tssec sul adstnaidComà tomun 

2 4 3

8 9

2

5 9

1 t 2 t 4 t 3

2 4 ; ; 1 3 3

244 81

t

R , d'où :

2 61 . 9

Lorsqu’une cible n’est pas atteinte, la probabilité que la suivante soit atteinte est 1 . 2 · a n la probabilité de l’évènement A n , b n la probabilité de l’évènement A n :

a n # b n 1 1 a 1

,

1) La probabilité que la première cible soit atteinte est 1 donc a 1 1 et b 1 1 2 2 Lorsqu’une cible est atteinte, la probabilité que la suivante le soit est 3 : p A n A n # 1 1 3 Lorsqu’une cible n’est pas atteinte, la probabilité que la suivante soit atteinte est 1 : p A n 2 a p A p A A p A A p A p A  AA p 1 p A A 2 a 1 p A 2 2 1 2 1 2 1 2 1 1 1 a 1 3 1 1 a 5 et b 3 2 2 2 3 2 4 2 2 8 8 4 A 1 1 2

W

1 2

a n 1 p A n 1 p A n A n 1 p A n A n 1 2) a n 1 a n p A n A n 1 b n p A n A n 1 a n 1 a n 3 b n 1 a n 1 3 a n 1 b n 4 2 4 2 On sait que a n b n 1 , d'où a n 1 3 a n 1 1 a n 4 2

p

A n

a n 1

A 1

p n A

1 a n 4

2 2 1 1 2 1 1 1 3.a) U n a n U n a n a n a n 1 1 3 3 4 2 3 4 6 4 La suite U n  est donc une suite géométrique de 1 er terme U 1 1 2

3.b)

3.c)

De ce qui précède on déduit que U n 1 % 6 1 æ è ´ ç 4 1 ƒ ø ♣ n % 1

1

1 4

1

lim n

1 4

n 1

0

lima n n

2 3

, puis a n

1 4 1 2

1 2 A n 1 p

1 . 2

A n

A n p

1 A n # 1 1 2

b 1

A b 2 1

A 2

A 2

A 2

A 2 A

2 1 a n U n U n . 1 3 4 2 1 de raison q 1 . 3 6 U n 2 a n 2 1 3 3 6

1 4

1 2

p A 1

n 1

.

.

A 2

n 1 n 1 2 1 1 1 a n 0 , 6665 0 ,  36665 4 , 999 3.d) a n 0 , 3 6566 n 6 1 ln 4 1 4 ln 0 , 001 n 1 nl l 4 n 0 0 , , 01 25 0 n ³ D'où a n ³,Þn . Remarque : a 5 ; 0 , 66602 0 , 6665 et a 6 ; 0 , 666504 0 , 6665 3 4 A n a n 1 4

b n

A n

Exercice 4Commun à tous les candidats (5 points)

1 2

1 4

5 , 98

n 1

0 , 001 .

A n # 1

A n # 1

A n # 1

A n # 1

Soit f une fonction définie pour tout nombre réel x par f(x) 1 x e x . r r Le plan est rapporté à un repère orthonormal O,i,j d’unité graphique 1 cm. 1.a) f(x) 1 x e x et on sait que l'exponetielle est positive. Par suite le signe de f(x) sur R est même que celui de 1 + x : x σ % 1 Þ f( ( x) ) σ le ³ % 1 Þ f ³ 0 . x x 1.b) x limf(x)carl x im 1 x etl x ime x . limf(x) lime x xe x limf(x) 0 carlime x limxe x 0 . x x x x x 1.c) Sur R la fonction f, produit de deux fonctions dérivables est elle-même dérivable et : f(x)e x 1 x e x f(x)xe x – x d'où les variations de fest du signe de  sur R :

2.a)

x

f(x)

f

. 2 b) I n 1

Sur

I n

1 ; n 1 1

+



f(

0

1

f(x)

, x)dx

–



0

n 0 f(x)dx 0 1 n n 1 f(x)dx f(x)dx 1 n

I n

0

0 .

car

f(x)

0 et

I n

est croissante.

3.a) I n n 1 x e x dx . P u(x) osons 1 u(x) continues. On a alors : b b b 1 x e x dx 1 x e x a a  a D'où : ′ a b f(x)dx 1 ( % 2 % b ! e % b # ( 2 # a ! e %

3.b)

3.c) limI n n

I n

n 1

f(x)dx

2

n n e

e

x

1 1

dx

.

2

1

1 e

x; ;

v(x) v(x)

1

I n

x

e

e

x e u et v dérivables à dérivées x , e

x

n

e

2

x

e

b a

n

e

2

x

n 2 n e

e

.

x

e n 2 e e ne 2 e I n  nee car 2 e 0 . lim n lim n n lim lim n lim n n n n n n 3.d) Cette limite est l'aire en cm² de la portion de plan comprise entre la courbe représentant f et l'axe des abscisses pour x 1 .

4) f(x) edx e 2 e e 2 e 0 2 . 1 Sur 2 ; 1 ,f(x) 0 et l'aire de la portion de plan comprise entre la courbe représentant f et l'axe 1 des abscisses pour 2 x 1 est alors donnée par f(x)dx soit le calcul précédent.