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Mathématiques 2009 Scientifique Baccalauréat général

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Examen du Secondaire Baccalauréat général. Sujet de Mathématiques 2009. Retrouvez le corrigé Mathématiques 2009 sur Bankexam.fr.
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Baccalauréat S Nouvelle - Calédonie Mars 2009
 Exercice 1 .      Comà tomun sec sul adstnaid .        (5 points)
r r Le plan est rapporté à un repère orthonormal directO,u,vd’unité graphique 1 cm. On considère les points A et B d’ affixes respectiveszA1;zB3 4i. Soit C et D les points d’affixes respectiveszC2 3i2 3;zD2 3i2 3. L’ objet de l’exercice est de proposer une construction géométrique des points D et C. 1.a.Montrer que l’image du point B par la rotation de centre A et d’angle2est le point D. 3 b. le rayon.En déduire que les points B et D sont sur un cercle C centre A dont on déterminera de
1.
3 Soit F, l’image du point A par l’homothétie de centre B et de rapport . 2
a.Montrer que l’affixezF du point F est −2i. b.que le point F est le milieu du segment [CD].Montrer zCzF .Montre uei3. cr qzAzF zCzF En déduire la forme exponentielle de . zAzF Déduire des questions précédentes que la droite (AF) est la médiatrice du segment [CD].
3.D et C à partir des points A, B et F etProposer un programme de construction pour les points réaliser la figure. Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplete, sera prise en compte dans l ’evaluation.
 Exercice 2      enemesgi epstnd litéécia dnaCtadin snayapat sus i ivenl          (  5 points)  
r r r L’espace est rapporté au repère orthonormalO,i,j,k. 1 On considère les points: A(4;0;0), B(0;2;0), C(0;0;3) etE2;2; 3 3 9 On se propose de déterminer de deux façons la distanceEdu point E au plan (ABC). RAPPEL : ax by cz d0
.
Soit (P) un plan d’équationa, b, cetdnombres réels avec,a, betcnon tous nuls et axMbyMczMd  M . est :du ) M xM;yM;zM point, la distanceMau plan (P2b2 2 a c 1) a.Montrer que les points A, B etC déterminent bien un plan. b. Soitnr le vecteur de coordonnées (3; 6; 4). r Montrer quenest un vecteur normal au plan (ABC). c. Montrer qu’une équation du plan (ABC) est:x6y4z1 2 0. d. Déduire des questions précédentes la distanceE.
x1t 2) a.Montrer que la droite (D) de représentation paramétrique:y2 Rt t z5 4t 9 3 est perpendiculaire au plan (ABC) et passe par le point E. b. Déterminer les coordonnées du projeté orthogonal G du point E sur le plan (ABC). c. Retrouver à partir des coordonnées des points E et G la distanceE.
 Exercice 3.       mmnuoCuo sà t s lendcaatid  s.       (5 points)
Dans un stand de tir, un tireur effectue des tirs successifs pour atteindre plusieurs cibles. La probabilité que la première cible soit atteinte est1. 2 Lorsqu’une cible est atteinte, la probabiité que la suivante le soit t3 es . Lorsqu’une cible n’est pas atteinte, la probabilité que la suivante soit atteinte est1. 2 On note, pour tout entier naturel n non nul: ·An l’évènement: «lan-ième cible est atteinte ». ·Al’évènement: «lan atteint-ième cible n’est npas e. ·anla probabiité de l’évènementAn ·bnla probabiité de l’évènementAn.. a 1) Donner1et b1. Calculera2et b2. On pourra utiliser un arbre pondéré. 2) Montrer que, pour toutn N,n1:an13an1bn, puis: 2 n N,n1:an11an11 2 3)SoitUn la suite définie pour tout entier naturelnnon nul, parUnan2. 3
a. Montrer que la suiteUn est une suite géométrique. On précisera la raison et le premier termeU1.  b. En déduire l’expression deUn en fonction de n,puis deanen fonction de n. c. Déterminer la limite de la suitean. Déterminer le plus petit entier naturelntel que:an0,6665.
 Exercice 4.      .sta  ac sdidnou tles mmCo àun        (5 points)
Soit f fonction définie pour tout nombre réel xune  parf(x)1x ex. r r Le plan est rapporté à un repère orthonormalO,i,jd’unité graphique 1 cm. 1) a.Étudier le signe de f(x) sur R. b. Déterminer la limite de la fonction f en . Déterminer la limite de la fonction f en . c. On notefla fonction dérivée de la fonction f sur R. Calculer, pour tout nombre réel x,f(x.) En déduire les variations de la fonctionfsur R. d. Tracer la courbe représentative de la fonction f sur l’intervalle [−2; 5].
n 2) On noteIn suite définie pour tout entier naturel nla  par :Inf(x)dx. 1 Dans cette question, on ne cherchera pas à calculer la valeur exacte deIn en fonction de n.
3) b
a
4)
a. b.
Montrer que, pour toutn N,In0 . Montrer que la suiteInest croissante.
a. f(x)dx
b. c.
d.
À l’aide d’une intégration par parties, montrer que, pour tous réelsaet b : 2b eb2a ea
En déduire l’expression deIn en fonction de n. I Déterminer: limn. n Donner une interprétation graphique de cette limite.
DéterminerR tel que:f(x)dx e. 1 Ce calcul intégral correspond-il à un calcul d’aire ?
EXERCICE 1
zA
1
;zB
3
4i,zC
Corrigé Maths S Nouvelle–Calédonie mars 2009
2
3
i
2
3
;
zD
2
3
i
2
3
.
2.a.du point B par la rotation de centre A et d’angleSoit B' l’image 2 3 zB1i432i1 1i3 1 2 2
zB
zA
2 e3
zBzA
Par conséquent,Bρ 1D. b. doncOn aAB AD rayon2 5.
2.
2
:
2i
1
2
3
i
2
4i2 5 points B et D sont sur un cercle Cet les centre A de de
Soit F, l’image du point A par l’homothétie de centre B et de rapport3. 2
uuur3uuur 2 4 23 3i c. zBF BAFzBzAzBi zF. 2 2 2 d.De plus,zF1zCzDetle point F est le milieu du segment [CD]. 2 czCzF2 3i 22 3i2 3i 23 3i1 2i3 5i .. zAzF1 2i1 2i12225 z%z D'où :C F1 %i3etzCzF3ei2.  z%zzAzF A F uuuruuur Il s'ensuit queFA,FCet la droite (AF) est perpendiculaire à (FC). 2 Et, puisque F est le milieu du segment [CD],la droite (AF) est la médiatrice du segment [CD].
3.Pour la construction des points D et C : Tracé du cercle (C) de centre A passant par B (question 1.a). Tracé du point F image de A par l’homothétie de centre B et de rapport3. 2 Tracé de la médiatrice du segment [CD]. Les points C et D sont alors les intersections de (C) et de la médiatrice de [CD], C d'abscisse positive, D d'abscisse négative.
3
EXERCICE2
5 points
A(4;0;0), B(0;2;0), C(0;0;3) etE2;2;1. 3 3 9 4 4 uuuruuuruuuruuur 1. a.AB2;AC0, les vecteursAB et ACne sont pas colinéaires et les points A, B et C ne sont 0 3 pas alignés :  les points A, B etC déterminent bien un plan. r3uAuuBr.nr 0 2 11 2uAuuBrnr r b.Soitn6  uuuruuur r r,nest un vecteur normal au plan (ABC). et 4AC.n 01 2 2 1AC n c.Il est clair enfin qu’une équation du plan (ABC) est:x y z. d.d.Déduire des questions précédentes la distance 1 22 3xE6yE4zE1 2 9 1 22 61 2 61. E E 2 2 2 3 6 4 61 9 61 9
x1t 2. a.Un vecteur directeur de la droite (D) de représentation paramétrique:y2 Rt t z5 4t 9 3 estru4itru1rnet 1;2; 3, so3la droite (D) est perpendiculaire au plan (ABC). De plus le point E est le point de (D) de paramètret1la droite (D) est la perpendiculaire au : 3 plan (ABC) passant par le point E.
b.Du 2.a, on déduit que le projeté orthogonal G du point E sur le plan (ABC) est l'intersection
de la droite (D) avec le plan (ABC) :
1
t
6
2t544t 9 3
1 2
0
x
61 9
6y
61 t 3
4z
0
1 2
t
0et
1 3
x y
z
En remplaçant dans la représentation paramétrique, on trouve :G
2 c. On a :uEuuGr2;4;8, d'où :EEG2 3 3 9 3  Exercice 3 inpo5  ( ) tssec sul adstnaidComà tomun 
2 4 3
8 9
2
5 9
1t 2t 4t 3
2 4; ;1 3 3
244 81
t
R, d'où :
2 61 . 9
Lorsqu’une cible n’est pas atteinte, la probabilité que la suivante soit atteinte est1. 2 ·anla probabilité de l’évènementAn, bnla probabilité de l’évènementAn:
an#bn11 a 1
,
1) La probabilité que la première cible soit atteinte est1donca11et b11 2 2 Lorsqu’une cible est atteinte, la probabilité que la suivante le soit est3:pAnAn#113 Lorsqu’une cible n’est pas atteinte, la probabilité que la suivante soit atteinte est1:pAn 2 a p A p A A p A A p A pA AA p1pAA2a1pA 2 2 1 2 1 2 1 2 1 1 1 a1 3 1 1a5et b3 2 2 23 2 4 2 2 8 8 4 A1 1 2
W
1 2
an1p An1p AnAn1p AnAn1 2)an1anpAnAn1bnpAnAn1 an1an3bn1an13an1bn 4 2 4 2 On sait queanbn1, d'oùan13an11an 4 2
p
An
an1
A1
pnA
1 an 4
2 2 1 1 2 1 1 1 3.a)UnanUnananan 1 1 3 3 4 2 3 4 6 4 La suiteUn est donc une suite géométrique de 1ertermeU11 2
3.b)
3.c)
De ce qui précède on déduit queUn1 %61æè´ç41ƒøn%1
1
1 4
1
lim n
1 4
n1
0
liman n
2 3
, puisan
1 4 1 2
1 2 An1p
1 . 2
An
Anp
1 An#1 1 2
b 1
A b 2 1
A2
A2
A2
A2 A
2 1 anUnUn. 1 3 4 2 1 de raisonq1. 3 6 Un2an2 1 3 3 6
1 4
1 2
pA 1
n1
.
.
A 2
n1n1 2 1 1 1 an0,6665 0, 36665 4,999 3.d)an0,36566n61ln414ln0,001n1nll4n00,,01250n ³ D'oùan³,Þn. Remarque :a5;0,66602 0,6665et a6;0,666504 0,6665 3 4 An an1 4
bn
An
Exercice 4Commun à tous les candidats (5 points)
1 2
1 4
5,98
n1
0,001 .
An#1
An#1
An#1
An#1
Soit f une fonction définie pour tout nombre réel x parf(x)1x ex. r r Le plan est rapporté à un repère orthonormalO,i,jd’unité graphique 1 cm. 1.a)f(x)1x exet on sait que l'exponetielle est positive. Par suite le signe de f(x) sur R est même que celui de 1 + x :xσ %1Þf((x))σ le³ %1Þf³0. x x 1.b)xlimf(x)carlxim1x etlximex. limf(x) limexxexlimf(x)0carlimexlimxex0. x x x x x 1.c) Sur R la fonction f, produit de deux fonctions dérivables est elle-même dérivable et : f(x)ex1x exf(x)xex– x d'où les variations de fest du signe de  sur R :
2.a)
x
f(x)
f
. 2 b)In1
Sur
I n
1; n1 1
+
f(
0
1
f(x)
, x)dx
0
n 0f(x)dx0 1 n n1 f(x)dx f(x)dx 1n
I n
0
0.
car
f(x)
0et
I n
est croissante.
3.a)Inn1x exdx. Pu(x) osons 1u(x) continues. On a alors : b b b 1x exdx1x ex a a a D'où :abf(x)dx1(%2%b!e%b#(2#a!e%
3.b)
3.c) limI n n
I n
n 1
f(x)dx
2
n n e
e
x
1 1
dx
.
2
1
1 e
x; ;
v(x) v(x)
1
I n
x
e
e
x e u et v dérivables à dérivées x, e
x
n
e
2
x
e
b a
n
e
2
x
n2 n e
e
.
x
e n2e e ne2e In nee car2e0. limnlimn nlim limnlimn n n n n n 3.d) Cette limite est l'aire en cm² de la portion de plan comprise entre la courbe représentant f et l'axe des abscisses pourx1.
4)f(x) edx e2e e2e0 2. 1 Sur2;1,f(x)0et l'aire de la portion de plan comprise entre la courbe représentant f et l'axe 1 des abscisses pour2x1est alors donnée parf(x)dxsoit le calcul précédent.