Mathématiques options A et F 1999 S.T.I (Génie Civil) Baccalauréat technologique

Description

Examen du Secondaire Baccalauréat technologique. Sujet de Mathématiques options A et F 1999. Retrouvez le corrigé Mathématiques options A et F 1999 sur Bankexam.fr.

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• Publié par: bankexam
• Publié le: 06 juin 2007
• Nombre de lectures: 33
• Langue: Français

Extrait

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Baccalauréat 99

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Durée : 4 heures L’usage des calculatrices est autorisé pour cette épreuve. Le candidat doit traiter les deux exercices et le problème. La clarté des raisonnements et la qualité de la rédaction interviendront pour une part importante dans l’appréciation des copies. Le formulaire officiel de mathématiques est joint au sujet. La feuille-réponse est à rendre en fin d’épreuve avec la copie. Barème : 4 4 12

Exercice 1
désigne le nombre complexe du module 1 dont 1. On considère le nombre complexe Þ½   ¿ · . Calculer le module de Þ½ , et un argument de Þ½ . 2.

Ô

¾

est l’un des arguments.

(a) Résoudre dans l’ensemble des nombres complexes l’équation suivante :

Þ ¾   ¾ ¾Þ ·

Ô

¼

3. Le plan est muni d’un repèreÔ orthonormal direct ´¼     µ d’unité graphique ½ cm. On considère Ô Ô Ù Ú Ô ¾ · ¾ et Þ¿ ¾  ¾ les nombres complexes Þ¾ On note Ž , ž et Å¿ les points d’affixes respectives Þ½ , Þ¾ et Þ¿ (a) Montrer que les points Ž , ž et Å¿ appartiennent au cercle de centre Ç et de rayon ¾. (b) Placer les points Ž , ž et Å¿ dans le plan. (Faire le dessin sur la copie et non sur du papier millimétré.)

(b) Écrire les solutions de l’équation sous forme trigonométrique.

Exercice 2
Une agence de publicité veut tester l’efficacité d’une campagne d’affichage d’un nouveau produit et pour cela réalise une étude auprès de 1000 personnes. Les résultats sont les suivants : – 650 personnes ont vu une affiche ; – 300 personnes ont acheté le produit 1. Recopier et compléter le tableau suivant : Nombre de personnes qui ont vu une affiche n’ont pas vu d’affiche Total ont acheté n’ont pas acheté Total ; – 100 ont acheté le produit sans avoir vu d’affiche.

½¼¼ ¿¼¼

¼

½¼¼¼

2. Une personne est choisie au hasard parmi les 1000 personnes. Toutes les personnes ont la même probabilité d’être choisies. (a) Déterminer la probabilité de chacun des événements suivants : »; ½ : «la personne choisie a acheté le produit ¾ : « la personne choisie a vu une affiche ». (b) Définir par une phrase l’événement
½ ¾ . Déterminer la probabilité de l’événement ½ ¾. ½ ¾.

(c) Déterminer la probabilité de l’événement

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Baccalauréat 99

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Problème
Le but du problème est d’étudier la position relative de deux courbes et de calculer l’aire du domaine plan compris entre ces dernières.     µ d’unités graphiques cm sur l’axe des absLe plan est rapporté à un repère orthogonal ´¼ cisses et ¾ cm sur l’axe des ordonnées. Sur la feuille réponse ci-jointe (cf. en dernière page), ont été tracées les courbes représentatives et   respectivement des deux fonctions et , définies pour tout réel Ü de l’intervalle ¼ ¿ , par :

´Üµ

Ü   ÐÒ Ü

et

´Üµ

Ü   ´ÐÒ Üµ¾

Partie 1 : Étude des fonctions
1.

et .
en ¼. Que peut-on en déduire pour la
¼

(a) Déterminer, en justifiant vos calculs, la limite de courbe ? (b) On désigne par ¼ la fonction dérivée de variation de sur ¼ ¿ . sur

¼ ¿ . Calculer ´Üµ et dresser le tableau de
¼

2. On désigne par ¼ la fonction dérivée de sur En admettant que ´Ü   ¾ ÐÒ Üµ est positif sur ¼ ¼ ¿.

¼ ¿ . Calculer ´Üµ. ¿ , en déduire que

est strictement croissante sur

3. Désigner sur la feuille-réponse (cf. dernière page), la courbe

et la courbe  .

Partie 2 : Position relative des deux courbes.
1. (a) Résoudre sur

¼ ¿ , l’équation ´Üµ

´Üµ.

(b) En déduire les coordonnées des points d’intersection Å et Æ des courbes Æ sur la feuille-réponse. 2. (a) Résoudre sur

et  . Placer Å et

¼ ¿ , l’inéquation ´Üµ

´Üµ.

(b) En déduire la position relative des courbes

et   sur l’intervalle

½

.

Partie 3 : Calcul d’une aire.
On désigne par l’ensemble des points Å ´Ü Ý µ du plan tels que :

´½
et par son aire exprimée en

Ü

µ

Ø

´ ´Üµ

Ý

´Üµµ

Ѿ .
½

On admet que, en unités d ’aire, on a : 1. Hachurer sur la feuille-réponse.

´ ´Üµ   ´Üµ Ü

2. Soit la fonction À définie sur (a)

 Ü´ÐÒ Üµ¾ · ¿Ü ÐÒ Ü   ¿Ü. Vérifier que la fonction À est une primitive de la fonction   sur ½
½
par : À ´Üµ

.

(b) Calculer, en unités d’aire, la valeur exacte de . (c) En donner une valeur approchée au ÑÑ ¾ près par excès.

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Baccalauréat 99

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Feuille réponse à rendre impérativement avec la copie

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Corrigé très abrégé

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Exercice 1
1. Calculons Þ½

Ô

Par conséquent Þ½ 2. (a) Calculons ¡ Ô
Þ¾ Þ¾

¿·½ ¾

¾ de plus Ó× µ

½

 

Ô

¿ et × Ò ¾

½

¼ donc

½

à ¾ près.

(b) Ces deux nombres ont pour forme trigonométrique : Ô ÔÔ et Þ¿ 3.

¾ ¾· ¾

´ Ô  Ô

¾·

  Ô

¾

donc les deux solutions complexes sont :

¾ et donc Þ¿ ¾

Ô

¾ 

Ô

¾.

¾´½ · µ Þ¾ ¾  
Þ¿

¾ ¾

(a) Þ½ Þ¾ rayon ¾.

¾ donc les trois points Ž , ž et Å¿ sont sur le cercle de centre Ç et de

(b) La figure obtenue est la suivante :

Exercice 2
1. Le tableau complet est le suivant : Nombre de personnes qui ont vu une affiche n’ont pas vu d’affiche Total 2. ont acheté n’ont pas acheté Total

¾¼¼ ½¼¼ ¿¼¼

¼ ¾ ¼ ¼¼

¼ ¿ ¼ ½¼¼¼

(a) Puisque toutes les personnes ont la même probabilité d’être choisies, les probabilités sont les suivantes : ¿¼¼ ¿ ¼ ¼ ¿¼ et È ´ ¾ µ ¼¿ . È ´ ½µ

½¼¼¼
¾µ ¾µ

½¼¼¼

(b) L’événement
È´ ½

½

(c) È ´

½

¾¼¼ ¼ ¾¼ ½¼¼¼ È ´ ½µ · È ´ ¾µ   È ´

¾

est « la personne a vu l’affiche et a acheté le produit

». Donc :

½

¾µ

¼ ¿¼ · ¼ ¿

  ¼ ¾¼

¼

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Corrigé très abrégé

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Problème Partie 1
On a 1. (a)

´ ܵ

Ü

  ÐÒ Ü et
·½ car

´Üµ
´

Ü

  ´ÐÒ Üµ¾ pour ¼

Ü

¿.

Ð Ü Ñ¼ ´Üµ

Donc la courbe admet une asymptote verticale d’équation Ü (b) Calculons ¼ ´Üµ variation est :

Ð Ü Ñ¼