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Mathématiques Spécialité 2000 Scientifique Baccalauréat général

4 pages
Examen du Secondaire Baccalauréat général. Sujet de Mathématiques Spécialité 2000. Retrouvez le corrigé Mathématiques Spécialité 2000 sur Bankexam.fr.
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BaccalauréatSAntilles-Guyanejuin2000
Exercice1 4points
Ungroupedevingt-deuxpersonnesdécided’alleraucinémadeuxsamedisdesuite
pourvoirdeuxfilmsAetB.
Lepremiersamedi,huitpersonnesvontvoirlefilmA,etlesautresvontvoirlefimB.
Ledeuxièmesamedi,quatrepersonnesdécidentderevoirlefimA,deuxvontrevoir
lefilmB,etlesautresvontvoirlefilmqu’ellesn’ontpasvulasemaineprécédente.
Après la deuxième séance, on interroge au hasard une personne de ce groupe. On
considèrelesévènements suivants:
A
1
«lapersonneinterrogéeavulefilmAlepremiersamedi»;
A
2
«laperinterrogéeavulefilmAledeuxièmesamedi»;
B
1
«lapersonneinterrogéeavulefilmBlepremiersamedi»;
B
2
«laperinterrogéeavulefilmBledeuxièmesamedi».
1. a. Calculerlesprobabilitéssuivantes: p(A
1
)etp(A
2
).
b. Calculerlesprobabilitésdechacundesévènements suivants:
p(A
2
/A
1
), p(A
2
/B
1
)et p(A
1
∩A
2
)
c. Reproduireetcompléter l’arbrepondérésuivant,enremplaçantchaque
point d’interrogation par la probabilité correspondante. Aucune justifi-
cationn’estdemandéepourcettequestion.
A
1
?
A
2
?
?
B
2
?
?
B
1
?
A
2
?
?
B
2
?
?
d. Retrouveràpartirdel’arbrepondéréque p(A
2
)=
8
11
.
2. LeprixdubilletpourlefilmAestde30Fetde20Fpourlefilm B.
On appelle X la variablealéatoire égaleau coût total, pour la personne inter-
rogée,desdeuxséancesdecinéma.
a. Déterminerlaloideprobabilitédelavariablealéatoire X.
b. Déterminerl’espérancemathématique delavariablealéatoire X.
Exercice2 5points
Enseignementobligatoire
1. Pourtoutnombrecomplexe z,onposeP(z)=z
3
−3z
2
+3z+7.
a. Calculer P(−1).
b. Déterminerlesréels aetb telsquepourtoutnombrecomplexe z,onait:
P(z)=(z+1)(z
2
+az+b).BaccalauréatSjuin2000
c. RésoudredansCl’équation P(z)=0.
2. Leplancomplexeestrapportéàunrepèreorthonormaldirect(O ; u, v).(Unité
graphique:2cm.)Ondésignepar A, B, C etG lespointsdupland’affixesres-
pectives
z
A
=−1, z
B
=2+i

3, z
C
=2−i

3e tz
G
=3.
a. RéaliserunefigureetplacerlespointsA, B, CetG.
b. CalculerlesdistancesAB, BCetAC.EndéduirelanaturedutriangleABC.
c. Calculer un argument du nombre complexe
z
A
−z
C
z
G
−z
C
.Endéduirelana-
turedutriangleGAC.
3. Soit (D)l’ensembledespoints M duplantelsque:


− − →
MA +2
− − →
MB +2
−−→
MC

·
− →
CG =+12 (1)
a. MontrerqueG estlebarycentredusystèmedepointspondérés
{(A, −1); (B, 2); (C, 2)}.
b. Montrerquelarelation(1)estéquivalenteàlarelation
− −− →
GM .
− →
CG =−4( 2 ) .
c. VérifierquelepointAappartientàl’ensemble (D).
d. Montrerquelarelation(2)estéquivalenteàlarelation
− − →
AM .
− →
GC =0.
e. Endéduirel’ensemble(D)etletracer.
Exercice2 5points
Enseignementdespécialité
Lespoints A
0
=O;A
1
;...; A
20
sont lessommets d’unpolygonerégulier decentre
A,à21côtés,desensdirect.
Les points B
0
=O;B
1
; B
14
sont les sommets d’un polygone régulier decentre B, à
15côtés,desensdirect.
Soit r
A
la rotation de centre A et d’angle

21
et r
B
la rotation de centre B et d’angle

15
.
Ondéfinitlasuite(M
n
)depointspar:
- M
0
estl’undespoints A
0
, A
1
, A
2
,..., A
20
;
-pourtoutentiernaturel n, M
n+1
=r
A
(M
n
).
Ondéfinitlasuite(P
n
)depointspar:
-P
0
estl’undespointsB
0
, B
1
, B
2
,...,B
14
-pourtoutentiernatureln, P
n+1
=r
B
(P
n
).
Le but de l’exercice est de déterminer, pour deux cas particuliers, l’ensemble S des
entiersnaturels n vérifiant:
M
n
=P
n
=O.
1. Danscettequestion, M
0
=P
0
= O.
a. Indiquerlapositiondupoint M
2000
etcelledupoint P
2000
.
b. Déterminerlepluspetitentiernaturel n nonnultelque M
n
=P
n
= O.
Endéduirel’ensemble S.
Antilles–Guyane 2BaccalauréatSjuin2000
2. Danscettequestion, M
0
= A
19
et P
0
=B
10
.
Onconsidèrel’équation(E):7x−5y =1avecx ∈Zet y ∈Z.
a. Déterminerunesolutionparticulière(a ; b)de( E).
b. Déterminerl’ensemble dessolutionsde(E).
c. Endéduirel’ensemble S desentiersnaturels n vérifiant M
n
=P
n
=O.
Problème 11points
Soit f lafonctiondéfiniesurl’intervalle ]0;+∞[par:
f(x)=xln(x
2
)−2x.
On désigne par (C) sa courbe représentative dans le plan rapporté à un repère or-
thonormal

O,
− →
ı ,
− →

; unitégraphique:1cm.
PartieA -Étudede f .
1. Montrerque,pour x >0, f(x)=2xlnx−2x puisque f(x)=2xln
x
e
.
2. a. Étudierlalimitede f en+∞.
b. Montrerque f estdérivableentout x >0;calculerf

(x)pourx >0.
c. Étudierlesensdevariationdef sur]0;+∞[.
d. Donnerletableaudevariationde f sur]0;+∞[.
3. Déterminer par le calcul l’abscisse du point d’intersection de la courbe (C)
avecl’axedesabscisses.
4. Montrerquel’équation f(x)=2admetsurl’intervalle[1;5]uneuniquesolu-
tionetendonnerlavaleurdécimalearrondieà10
− 2
.
PartieB -Calculd’aires
1. Soit F lafonctiondéfiniesurl’intervalle [0;+∞[par



F(0) = 0
F(x) = x
2
lnx−2−
3x
2
2
si x >0
a. Onadmetque lim
x→0
xlnx =0;montrerqueF estdérivableen0etpréciser
F

(0).
b. Montrerque,pourtout x appartenantà]0;+∞[, F

(x)= f(x).
2. On considère pour chaque entier n positif ou nul, la droite D
n
d’équation
y =nx.
Ontrouveraci-dessousuntracédelacourbe(C)etdesdroitesD
0
, D
1
, D
2
.
Antilles–Guyane 3BaccalauréatSjuin2000
51 01 5 −5
5
10
15
20
−5
D
0
D
1
(C)
D
2
a. Déterminerlescoordonnéesdupoint I
n
,d’abscissestrictementpositive,
intersectionde(C)etdeD
n
.
On appelle P
n
le point de l’axe des abscisses de même abscisse que I
n
.
Placerlespoints I
0
, I
1
, I
2
, P
0
,P
1
,P
2
surlafiguredonnéeenannexe.
b. Déterminerlapositionrelativede(C)etdeD
n
pourlesabscissesappar-
tenantà]0;+∞[.
3. Pourtoutn1,onconsidèreledomaine A
n
situédanslequartdeplandéfini
par x0ety0,délimitépar(C), D
n−1
et D
n
.
Onnote a
n
sonaire,expriméeenunitésd’aire.
a. Faireapparaîtrelesdomaines A
1
et A
2
surlafigure.
b. Calculer l’aire t
n
dutriangleOP
n
I
n
,enunitésd’aire.
c. Calculer l’aire u
n
, en unités d’aire, du domaine situé dans le quart de
plandéfinipar x0ety0,délimitépar(C),l’axedesabscisses, etles
parallèlesàl’axedesordonnéespassantpar P
0
et P
n
.
d. Vérifier que l’aire v
n
en unités d’aire,dudomainesitué danslequartde
plan défini par x0ety0,délimitépar(C) , l’axe des abscisses et
D
n
,estv
n
=t
n
−u
n
=e
2
(e
n
−1).
e. Calculer alors a
n
.
4. Montrerquelasuite(a
n
)estunesuitegéométrique.
Enpréciserlaraisonetlepremierterme.
Antilles–Guyane 4