Mathématiques Spécialité 2001 Scientifique Baccalauréat général

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Examen du Secondaire Baccalauréat général. Sujet de Mathématiques Spécialité 2001. Retrouvez le corrigé Mathématiques Spécialité 2001 sur Bankexam.fr.

Sujets

• 2001
• Baccalauréat général

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• Publié par: bankexam
• Publié le: 22 novembre 2007
• Nombre de lectures: 51
• Langue: Français

Extrait

Baccalauréat S Liban juin 2001

E XERCICE 14 points Commun à tous les candidats Dans un village de montagne deux familles A et B disposent de cinq circuits balisés de promenadesc 1 ,c 1 ,c 2 ,c 3 ,c 4 ,c 5 . Partie A

Chaque matin, chacune des familles tire au hasard, indépendamment l’une de l’autre, un des cinq circuits.

1.Combien yatil de tirages possibles pour l’ensemble des deux familles ?

2.Quelle est la probabilité pour qu’elles fassent le même jour, le même circuit ?

3.Quelle est la probabilité pour que pendantnjours consécutifs, elles ne se trouvent janais sur le même circuit ?

4.Déterminer la plus petite valeur denpour laquelle la probabilité de se trouver au moins une fois sur le même circuit est supérieure ou égale à 0,9.

Partie B

On considère dans cette partie deux jours consécutifs. Le deuxième jour chaque fa mille élimine de son tirage le circuit qu’elle a fait la veille. Il reste donc quatre circuits pour ciacune des deux familles. On note : E l’évènement « les deux familles font le même circuit le premier jour ». F l’évènement « les deux familles font le même circuit le deuxième jour ». Calculer les probabilités suivantes : P(E) , P(F/E) , P(F/E) puis P(F∩E) et P(F∩E). En déduire P(F).

E XERCICE 25 points Enseignement obligatoire Les deux parties sont indépendantes. Partie A   −→−→ Dans le plan complexe P rapporté au repère orthonormal directO,u,v, on consi dère les points A et B d’affixes respectivesz A =3 + i etz B =1+2i.

z B 1.Exprimer le complexesous forme algébrique puis sous forme trigonomé z A trique.   −→−→ 2.En déduire une mesure en radians de l’angleOA ,OB .

Partie B −→−→−→ Désormais on considère l’espace muni du repère orthonormal direct (O,u,v,w)

Baccalauréat S juin 2001

−→−→−→ oùw=u∧v. On considère les points A(3, 1, 0), B(1, 2, 0), C(3, 2, 1) etD(0, 0,d) oùddésigne un réel positif ou nul. On a ainsi un tétraèdre ABCD.

−→−→−→ 1.On pose N=AB∧AC .

a.Calculer les coordonnées de N .

b.En déduire l’aire du triangle ABC. 2.Déterminer une équation cartésienne du plan (ABC).

3.On noteHle projeté orthogonal du pointDsur le plan (ABC).

−−→−→ a.On poseD H=λN . Calculerλen fonction ded.

b.En déduire l’expression de la distanceD H. 2d+5 Montrer que le volume du tétraèdre ABCDest V d =. 6 4.Déterminer pour quelle valeur dedla droite (DB) est perpendiculaire au plan (ABC).

5.On suppose qued=0 . Calculer la distance de A au plan (OBC).

E XERCICE 25 points Enseignement de spécialité   −→−→ On suppose le plan rapporté au repère orthonormal directΩ;u,v, unité gra phique 3 cm. Partie A

Soit trois droites D 1 , D 2 et D 3 , sécantes enΩet de vecteurs directeurs respectifs     π2π −→ −→ −→−→−→−→−→−→ d 1 =u, etd 2 etd 3 supposés unitaires et tels qued 1 ,d 2 =etd 1 ,d 3 = −. 4 3 On note S 1 , S 2 et S 3 les réflexions d’axes respectifs D 1 , D 2 et D 3 , etfla composée S 3 ◦ S 2 ◦S 1 , de ces trois réflexions.

1.Tracer ces trois droites.

2. a.Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de la transforma tionr=S 2 ◦S 1 .

b.Caractériser la réflexion S telle quer=S 3 ◦S . On notera D l’axe de S et −→ on en déterminera un point et un vecteur directeurd. Tracer la droite D.

c.En déduire la nature defet ses éléments caractéristiques. iπ 12 3.Justifier que le point E d’affixez E =e estun point de la droite D. Déterminer les nombres complexesaetbtels que la forme complexe defsoit l’applicationf 1 définie surCparf 1 (z)=a z+b.

Partie B

Liban

2

Baccalauréat S juin 2001

1.Choisir un point A sur D. On note B l’image de A par S 1 et C l’image de B par S 2 . Placer les points B et C .

2.Démontrer que A est l’image de C par S 3 .

3.Que peuton dire du pointΩpour le triangle ABC ?

P ROBLÈME Partie A  Lectures graphiques

−1

2 1

0

1 2 F

C

3

5 points

4

On donne dans un repère orthogonal les courbes C et F représentatives de deux fonctions définies et dérivables surR. On sait que l’une de ces fonctions est la fonc  tion dérivée de l’autre, on peut donc les notergetg.

 1.Associer à chacune des fonctionsgetgsa représentation graphique. On jus   3 tifiera le résultat en donnant un tableau où figurera sur l’intervalle−; 5 2  le signe deg(x) et les variations deg.

2.Quel est le coefficient directeur de la tangente à C au point d’abscisse 0 ?

Partie B

 −x Soit l’équation différentielle (E) :y+y=2(x+1)e .

2−x 1.Montrer que la fonctionf 0 définie surRparf 0 (x)=(x+2x)e estune solu tion de l’équation (E) .

Liban

3

 2.Résoudre l’équation différentielle (E’) :y+y=0

Baccalauréat S juin 2001

3.Soituune solution de (E’) . Montrer que la fonctionf 0 +uest une solution de (E). On admettra que, réciproquement, toute solutionfde (E) est de la forme f=f 0 +uoùuest une solution de (E’). En déduire, pourx∈R, l’expression def(x) lorsquefest solution de (E).

4.Sachant que la fonctiongde la partie A est solution de (E) , déterminerg(x) pourx∈R.

5.Déterminer la solutionhde l’équation (E) dont la représentation graphique admet au point d’abscisse 0 une tangente de coefficient directeur 0.

Partie C

2−x Soitfla fonction numérique définie surRpar :f(x)=(x+2x+2)e .

1.Déterminer les limites defen +∞et en ∞.

2.On sait quefest dérivable surR: déterminer sa fonction dérivée et étudier son signe. Donner le tableau de variation def.   −→−→  3.O,Dans un repère orthonormalı,la, unité graphique 2 cm, on note C représentation graphique def.

a.Déterminer une équation cartésienne de la tangente T à C’ au pointΩ d’abscisse  1 .   −→−→ b.O,Tracer avec soin la courbe C’ et la tangente T dans le repèreı,. 4. a.Déterminer trois réelsa,betctels que la fonctionFdéfinie parF(x)= 2−x (a x+b x+cune primitive de la fonction)e soitf.

Liban

2 b.Soitαl’aire notéeun réel positif. Calculer en cmA(α) de la zone du  plan comprise entre l’axe des abscisses, la courbe Cet les droites d’équa tions respectivesx=0 etx=α.

4