Mathématiques Spécialité 2002 Scientifique Baccalauréat général

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Examen du Secondaire Baccalauréat général. Sujet de Mathématiques Spécialité 2002. Retrouvez le corrigé Mathématiques Spécialité 2002 sur Bankexam.fr.

Sujets

• 2002
• Baccalauréat général

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• Publié par: bankexam
• Publié le: 22 novembre 2007
• Nombre de lectures: 49
• Langue: Français

Extrait

Baccalauréat S Pondichéry juin 2002

E XERCICE 14 points   −→−→ Le plan complexe est muni d’un repère orthonormal directO,u,v; unité gra phique 2 cm. On désigne par A le point d’affixez A =1, et par (C) le cercle de centre A et de rayon 1.

Partie A π i 2 Soit F le point d’affixe 2, B le point d’affixez B =1+e etE le point d’affixe (1+z). 3 B 1. a.Montrer que le point B appartient au cercle (C).   −→−→ b.AF ; AB. PlaDéterminer une mesure en radians de l’angle de vecteurs cer le point B. 2. a.Déterminer la forme exponentielle des nombres complexes (z B −z A ) et (z E −z A ). b.En déduire que les points A , B et E sont alignés. 3.Placer le point E.

Partie B  Pour tout nombre complexeztel quez=1, on considère les pointsMetM  2 d’affixes respectiveszetzoùz=1+z.  1.Pourz=0 etz=1, donner, à l’aide des points A,MetM, une interprétation  z−1 géométrique d’un argument du nombre complexe. z−1 2 z  2.En déduire que A,MetMsont alignés si et seulement siest un réel. z−1

E XERCICE 2 Candidats ayant suivi l’enseignement obligatoire

5 points

Partie A Une urne contientnboules blanches (n∈Netn  2), 5 boules rouges et 3 boules vertes. On tire simultanément et au hasard deux boules de l’urne . 1.Quelle est la probabilité de tirer deux boules blanches ? 2.On notep(n) la probabilité de tirer deux boules de même couleur. 2 n−n+26 a.Montrer quep(n)= (n+8)(n+7) b.Calculer limp(n). Interpréter ce résultat. n→+∞

Partie B Pour les questions suivantesn=4. 1.Calculerp(4). 2.Un tirage consiste à tirer simultanément et au hasard deux boules de l’urne. Un joueur effectue deux tirages indépendants, en remettant dans l’urne avant le second tirage les deux boules tirées la première fois. Il mise au départ la somme de 30 euros.

Baccalauréat S juin 2002

Pour chaque tirage :  si les deux boules sont de même couleur, il reçoit alors 40 euros,  si elles sont de couleurs différentes, il reçoit alors 5 euros. On appelle gain du joueur la différence, à l’issue des deux tirages, entre la somme reçue par le joueur et sa mise initiale (ce gain peut être positif ou né gatif ). On désigne parXla variable aléatoire égale au gain du joueur. a.Quelles sont les valeurs prises parX? b.Déterminer la loi de probabilité deX. c.Calculer l’espérance deX.

E XERCICE 2 Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité 5 6 1.Calculer le P.G.C.D. de 4−1 et de 4−1.

Soitula suite numérique définie par : u 0 =0,u 1 =1 et, pour tout entier natureln,

u n+2 =5u n+1 −4u n .

5 points

2.Calculer les termesu 2 ,u 3 etu 4 de la suiteu. 3. a.Montrer que la suiteuvérifie, pour tout entier natureln,u n+1 =4u n +1. b.Montrer que, pour tout entier natureln,u n est un entier naturel. c.En déduire, pour tout entier natureln, le P.G.C.D. deu n etu n+1 . 1 4.Soitvla suite définie pour tout entier naturelnparv n =u n +. 3 a.Montrer quevest une suite géométrique dont on déterminera la raison et le premier termev 0 . b.Exprimerv n puisu n en fonction den. n+1n c.Déterminer, pour tout entier natureln, le P.G.C.D. de 4−1 et de 4−1.

P ROBLÈME 11 points La partieBpeut être traitée indépendamment de la partieA.   −→−→ Le plan est muni d’un repère orthonormalO,ı,; unité graphique : 2 cm. Pour tout entier natureln, on considère la fonctionf n définie surRpar : x e f n (x)=. nx x e (1+e )   −→−→ On désigne parC \ la courbe représentative def n dans le repèreO,ı,.

Partie A Dans cette partie, on s’intéresse seulement aux fonctionsf 0 etf 1 correspondant respectivement àn=0 etn=1. x e On considère d’abord la fonctionf 0 définie surRparf 0 (x)=. x 1+e

Pondichéry

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Baccalauréat S juin 2002

1. a.Déterminer la limite def 0 (x) quandxtend vers−∞. b.Déterminer la limite def 0 (x) quandxtend vers+∞. c.En déduire les asymptotes deC 0 .   1 2.est un centre de symétrie de0 ;Montrer que le point KC 0 2 3.Étudier les variations def 0 . 4. a.Déterminer une équation de la tangente T à la courbeC 0 au point K. b.Justifier que, pour étudier la position de la tangente T par rapport à la courbeC 0 , il suffit d’étudier surRle signe deg(x), où x x g(x)=2e−xe−2−x.   c.Calculerg(x) etg(x).   d.Déterminer, en les justifiant, les signes deg(x),g(x) etg(x) suivant les valeurs dex. e.En déduire la position de la tangente T par rapport à la courbeC 0 .   −→−→ 5.TracerC 0 et T dans le repèreO,ı,.    6. a.Montrer que pour tout réelx, les pointsM(x;f 0 (x)) etM x;f 1 (x) sont 1 symétriques par rapport à la droite (d) d’équationy=. 2 b.Comment obtientonC 1 à partir deC 0 ? TracerC 1 .

Partie B Étude de la suiteudéfinie pour tout entier naturelnpar :  1 u n =f n (x) dx. 0   1+e 1.Montrer queu 0 =ln . 2 2.Montrer queu 0 +u 1 =1. En déduireu 1 . 3.Montrer que la suiteuest positive. 4.On posek(x)=f n+1 (x)−f n (x), x 1−e a.Montrer que, pour toutxréel,k(x)=. nx x e (1+e ) b.Etudier le signe dek(x) pourx∈[0 ; 1]. c.En déduire que la suiteuest décroissante. 5. a.Montrer que, pour tout entiernsupérieur ou égal à 2, on a : −(n−1) 1−e u n−1 +u n =. n−1 b.Calculeru 2 . 6.Soitvla suite définie pour tout entiernsupérieur ou égal à 2 par : u n−1 +u n v n =. 2 a.Calculer la limite dev n quandntend vers+∞. b.Montrer que, pour tout entiernsupérieur ou égal à 2, on a : 0  u n  v n . c.En déduire la limite deu n quandntend vers+∞.

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