Mathématiques Spécialité 2003 Scientifique Baccalauréat général

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Examen du Secondaire Baccalauréat général. Sujet de Mathématiques Spécialité 2003. Retrouvez le corrigé Mathématiques Spécialité 2003 sur Bankexam.fr.

Sujets

• 2003
• Baccalauréat général

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• Publié par: bankexam
• Publié le: 22 novembre 2007
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• Langue: Français

Extrait

Baccalauréat série S Pondichéry mars 2003

E XERCICE 1 On considère la suite numérique (u n ) définie surNpar :

u 0 =a, et,pour tout entiern,u n+1 =u n (2−u n ). oùaest un réel donné tel que 0<a<1.

4 points

1 1.On suppose dans cette question quea= 8 a.Calculeru 1 etu 2 . b.Dans un repère orthonormal (unité graphique 8 cm), tracer, sur l’inter valle [0; 2], la droite (d) d’équationy=xet la courbe (Γ) représentative de la fonction :f:x→x(2−x). c.Utiliser (d) et (Γ) pour construire sur l’axe des abscisses les points A 1 , A 2 , A 3 d’abscisses respectivesu 1 ,u 2 ,u 3 .

2.On suppose dans cette question queaest un réel quelconque de l’intervalle ]0 ; 1[.

a.Montrer par récurrence que, pour tout entiern, 0<u n <1. b.Montrer que la suite (u n ) est croissante. c.?Que peuton en déduire

1 3.On suppose à nouveau dans cette question quea=. On considère la suite 8 numérique (v n ) définie surNpar :

v n =1−u n . a.Exprimer, pour tout entiern,v n+1 en fonction dev n . b.En déduire l’expression dev n en fonction den. c.Déterminer la limite de la suite (v n ), puis celle de la suite (u n ).

E XERCICE 25 points Enseignement obligatoire Première partie On considère dans l’ensemble des nombres complexes, l’équation suivante : 3 2 (E)z+2z−16=0. 1.Montrer que 2 est solution de (E), puis que (E) peut s’écrire sous la forme: 2 (z−2)(a z+b z+c)=0, oùa,betcsont trois réels que l’on déterminera. 2.En déduire les solutions de l’équation (E) sous forme algébrique, puis sous forme exponentielle. Deuxième partie   −→−→ Le plan complexe est muni d’un repère orthonormalO,ı,. 1.Placer les points A, B et D d’affixes respectives

z A = −2−2i,z B =2 etz D = −2+2i.

Baccalauréat S mars 2003

2.Calculer l’affixez C du point C tel que ABCD soit un parallélogramme. Placer C. π 3.Soit E l’image de C par la rotation de centre B et d’angle−et F l’image de C 2 π par la rotation de centre D et d’angle. 2 a.Calculer les affixes des points E et F, notéesz E etz F . b.Placer les points E et F.

z F −z A 4. a.Vérifier que :=i. z E −z A b.En déduire la nature du triangle AEF. 5.Soit I le milieu de [EF]. Déterminer l’image du triangle EBA par la rotation de π centre I et d’angle−. 2

E XERCICE 2 Enseignement de spécialité Les deux parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante

5 points

Première partie ABC est un triangle direct du plan orienté. On désigne respectivement par I, J et K les milieux de [AB], [BC] et [CA]. Soitαun réel qui conduit à la réalisation de la figure jointe sur laquelle on raison nera. Cette figure sera jointe à la copie. d 1 est l’image de la droite (AB) par la rotation de centre I et d’angleα. d 2 est l’image de la droite (BC) par la rotation de centre J et d’angleα. d 3 est l’image de la droite (CA) par la rotation de centre K et d’angleα. A 1 est le point d’intersection de d 1 et d 3 , B 1 celui de d 1 et d 2 et C 1 celui de d 2 et d 3 .

1.On appelle H le point d’intersection de (BC) et d 1 . Montrer que les triangles HIB et HB 1 J sont semblables. 2.En déduire que les triangles ABC et A 1 B 1 C 1 sont semblables.

Deuxième partie   −→−→ Le plan complexe est muni du repère orthonormal directO,u,v.

A  Construction de la figure

1.Placer les points A(−4−6i), B(14), C(−4+6i), A 1 (3−7i), B 1 (9+5i) et C 1 (−3−i). 2.Calculer les affixes des milieux I, J et K des segments [AB], [BC] et [CA]. Placer ces points sur la figure. 3.Montrer que A 1 , I, B 1 sont alignés. On admettra queB 1 , J, C 1 d’une part etC 1 , K, A 1 d’autre part sont alignés.   −→−→ 4.IB , IBDéterminer une mesure en radians de l’angle 1 .    π π −→ −−→−→−→ On admettra queKA , KA 1 = et queJC , JC 1 = . 4 4 π 5.?Quelle est l’image de la droite (AB) par la rotation de centre I et d’angle 4

Pondichéry

2

Baccalauréat S mars 2003

B  Recherche d’une similitude directe transformant ABC en A 1 B 1 C 1 On admet qu’il existe une similitude directestransformant les points A, B et C en A 1 , B 1 et C 1 .   1 1   1.Montrer que l’écriture complexe desestz= +iz+2−2i, oùzetzdési 2 2 gnent respectivement les affixes d’un point et de son image pars. 2. a.Déterminer le rapport et l’angle des. b.Déterminer l’affixe du centreΩdes. 3.Que représente le pointΩ?pour ABC

d 2

A

Le candidat joindra cette figure à sa copie

C 1

K

α

A 1

d 3

C

α J

I

α

P ROBLÈME On considère la fonction numériquefdéfinie surRpar :

B 1

B

11 points

2 x 2x−1 f(x)=xe−. 2 Le graphique cidessous est la courbe représentative de cette fonction telle que l’af fiche une calculatrice dans un repère orthonormal.

Pondichéry

3

d 1

Baccalauréat S mars 2003

Conjectures À l’observation de cette courbe, quelles conjectures pensezvous pouvoir faire concernant a.le sens de variations defsur [−3 ;2] ? b.la position de la courbe par rapport à  l’axe (x x) ? Dans la suite de ce problème, on se propose de valider ou non ces conjectures et de les complèter.

Partie A : contrôle de la première conjecture

 1.Calculerf(x) pour tout réelx, et l’exprimer à l’aide de l’expressiong(x) oùg x−1 est la fonction définie surRparg(x)=(x+2)e−1. 2.Étude du signe deg(x) pourxréel.

a.Calculer les limites deg(x) quansxtend vers+∞, puis quandxtend vers −∞.  b.Calculerg(x) et étudier son signe suivant les valeurs dex. c.En déduire le sens de variations de la fonctiong, puis dresser son tableau de variations. d.Montrer que l’équationg(x)=0 possède une unique solution dansR. On noteαcette solution. Montrer que 0,20<α<0,21. e.Déterminer le signe deg(x) suivant les valeurs dex.

3.Sens de variations de la fonctionfsurR.

 a.Étudier, suivant les valeurs dex, le signe def(x). b.En déduire le sens de variations de la fonctionf. c.Que pensezvous de votre première conjoncture?

Partie B : contrôle de la deuxime conjoncture On noteCla courbe reprsentative de la fonctionfdans un repère orthonormal   −→−→ O,ı,à l’axe. On se propose de contrôler la position de la courbe par rapport  (x x). 3 −α 1.Montrer quef(α)=. 2(α+2) 3 −x 2.On considère la fonctionhdéfinie sur l’intervalle [0 ; 1] parh(x)=. 2(x+2)  a.Calculerh(x) pourxélément de [0 ; 1], puis déterminer le sens de varia tions dehsur [0 ; 1]. b.En déduire un encadrement def(α). 3. a.Déterminer les abscisses des points d’intersection de la courbeCavec  l’axe (x x). b.Préciser alors la position de la courbeCpar rapport à l’axe des abscisses. c.Que pensezvous de votre deuxième conjecture?

Partie C : tracé de la courbe Compte tenu des résultats précédents, on se propose de tracer la partieΓdeC   −→−→ correspondant à l’intervalle [−0,2 ; 0,4], dans le repère orthonormalO,ı,avec les unités suivantes :

Pondichéry

4

– sur l’axe des abscisses 1 cm représentera 0,05. – sur l’axe des ordonnées 1 cm représentera 0,001.

Baccalauréat S mars 2003

1.l’aide de la calculatrice enRecopier le tableau suivant et complèter celuici −4 indiquant les valeurs approchées sous la formen×10 (nentier relatif).

x−0,2−0,15−0,1−0,05 0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 0,35 0,4 f(x)

2.Tracer alorsΓdans le repère choisi.

Partie D : calcul d’aire On désire maintenant calculer l’aire du domaineDdélimité par la courbeΓ, l’axe des abscisses, l’axe des ordonnées et la droite d’équationx=1−ln 2.

1.À l’aide d’une double intégration par parties, déterminer une primitive surR de la fonction :

2x x→xe . 2.En déduire une primitiveFsurRde la fonctionf. 3.Calculer alors, en unités d’aire, l’aire du domaineDpuis en donner une valeur 2 approchée en cm.

Pondichéry

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