Mathématiques Spécialité 2005 Scientifique Baccalauréat général

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Examen du Secondaire Baccalauréat général. Sujet de Mathématiques Spécialité 2005. Retrouvez le corrigé Mathématiques Spécialité 2005 sur Bankexam.fr.

Sujets

• 2005
• Baccalauréat général

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• Publié par: bankexam
• Publié le: 03 janvier 2008
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• Langue: Français

Extrait

Baccalauréat S Centres étrangers juin 2005

E X E R C IC E 1 3points Commun à tous les candidats Une entreprise confie à une société de sondage par téléphone une enquête sur la qualité de ses produits. On admet que lors du premier appel téléphonique, la probabilité que le correspon dant ne décroche pas est 0,4 et que s’il décroche, la probabilité pour qu’il réponde au questionnaire est 0,3. On pourra construire un arbre pondéré. 1.On note : D 1 l’évènement : « la personne décroche au premier appel » ; R 1 la personne répond au questionnaire lors du premier apl’évènement « pel ». Calculer la probabilité de l’évènement R 1 . 2.ontacte uneLorsqu’une personne ne décroche pas au premier appel, on la c seconde fois. La probabilité pour que le correspondant ne décroche pas la se conde fois est 0,3 et la probabilité pour qu’il réponde au questionnaire sachant qu’il décroche est 0,2. Si une personne ne décroche pas lors du second appel, on ne tente plus de la contacter. On note : D 2 l’évènement : « la personne décroche au second appel ». R 2 l’évènement : « la personne répond au questionnaire lors du second ap pel ». R l’évènement : « la personne répond au questionnaire ». Montrer que la probabilité de l’évènement R est 0,236. 3.Sachant qu’une personne a répondu au questionnaire, calculer la probabilité pour que la réponse ait été donnée lors du premier appel. (on donnera la ré ponse arrondie au millième) 4.Un enquêteur a une liste de 25 personnes à contacter. Les sondages auprès des personnes d’une même liste sont indépendants. Quelle est la probabilité pour que 20 % des personnes répondent au questionnaire ? (on donnera la réponse arrondie au millième)

E X E R C IC E points2 5 Réservé aux candidats n’ayant pas choisi l’enseignement de spécialité ³ ´ −→−→ Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal directO,u,vunité gra phique 8 cm. On appelle A le point d’affixe−1 et B le point d’affixe 1. On appelleEl’ensemble des points du plan distincts de A, O et B. À tout pointMd’affixezappartenant à l’ensembleE, on associe le pointNd’affixe 2 3 zet le pointPd’affixez. 1.Prouver que les pointsM,NetPsont deux à deux distincts. 2.On se propose dans cette question de déterminer l’ensembleCdes pointsM appartenant àEtels que le triangleM N Psoit rectangle enP. a.En utilisant le théorème de Pythagore, démontrer queM N Pest rectangle 2 2 enPsi et seulement si|z+1| +|z| =1. Ã ! µ ¶ 1 11 2 2 b.Démontrer que|z+1| +|z| =1 équivaut àz+z+ =. 2 24 c.En déduire l’ensembleCcherché.

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3.SoitMun point deEetzson affixe, On désigne parrle module dezetα l’argument dez,α∈]−π;π]. a.Démontrer que l’ensembleFdes pointsMdeEtels que l’affixe dePsoit un réel strictement positif est la réunion de trois demidroites (éventuel lement privées de points). ³ ´ −→−→ b.Représenter les ensemblesCetFO,dans le repèreu,v. c.Déterminer les affixes des pointsMdeEtels que le triangleM N Psoit rectangle enP, l’affixe dePétant un réel strictement positif.

E X E R C IC E 2 5points Réservé aux candidats ayant choisi l’enseignement de spécialité Partie A SoitNun entier naturel, impair non premier. 2 2 On suppose queN=a−boùaetbsont deux entiers naturels. 1.Montrer queaetbn’ont pas la même parité. 2.Montrer queNpeut s’écrire comme produit de deux entiers naturelspetq. 3.Quelle est la parité depet deq?

Partie B On admet que 250 507 n’est pas premier. On se propose de chercher des couples d’entiers naturels (a;b) vérifiant la relation 2 2 (E) :a−250 507=b. 1.SoitXun entier naturel. a.Donner dans un tableau, les restes possibles deX; puis ceuxmodulo 9 2 deXmodulo 9. 2 2 b.Sachant quea−250 507=b, déterminer les restes possibles modulo 9 2 2 dea−250 507 ;en déduire les restes possibles module 9 dea. c.Montrer que les restes possibles modulo 9 deasont 1 et 8. 2.Justifier que si le couple (a;b) vérifie la relation (E), alorsa > 501. Montrer qu’il n’existe pas de solution du type (501 ;b). 3.On suppose que le couple (a;b) vérifie la relation (E). a.Démontrer queaest congru à 503 ou à 505 modulo 9. b.Déterminer le plus petit entier naturelktel que le couple (505+9k;b) soit solution de (E), puis donner le couple solution correspondant.

Partie C 1.507 en un produit deuxDéduire des parties précédentes une écriture de 250 facteurs. 2.Les deux facteurs sontils premiers entre eux ? 3.Cette écriture estelle unique ?

E X E R C IC E 3 5points Commun à tous les candidats Soit ABCD un tétraèdre tel que ABC, ABD et ACD soient trois triangles isocèles rec tangles en A avec AB = AC = AD =a. On appelle A 1 le centre de gravité du triangle BCD.

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1.Montrer que la droite (AA 1 ) est orthogonale au plan (BCD). ³ ´ −−→ −−→−−→−→ On pourra par exemple calculer AA 1 ∙AACD et 1 ∙BC . 2.En exprimant de deux façons différentes le volume du tétraèdre ABCD, calcu ler la longueur du segment [AA 1 ]. 3.On appelle G l’isobarycentre du tétraèdre ABCD et I le milieu de [BC]. a.Montrer que G appartient au segment [AA 1 ] et déterminer la longueur AG. b.Déterminer l’ensemble des pointsMde l’espace tels que −−→−−→−−→−−→ −−→−−→ ° MA+MB+MC+MD ° =2 ° MB+MC ° . 4.Soit H le symétrique de A par rapport à G. −→−→−→−→ a.Démontrer que 4GA+AC+AD=BA . −→−→ 2 2 b.Démontrer l’égalité HC−HD=DC∙BA . c.En déduire que HC = HD. On rappelle que le volume d’une pyramide de hauteur h et d’aire de base associée b est 1 V=bh. 3

E X E R C IC E 4 7points Commun à tous les candidats I. Première partie On appellefetgles deux fonctions définies sur l’intervalle [0 ;+∞[ par 2 x f(x)=ln(1+x)−xetg(x)=ln(1+x)−x+. 2 1.Étudier les variations defet degsur [0 ;+∞[. 2 x 2.En déduire que pour toutx > 0,x− 6 ln(1+x) 6 x. 2 II. Deuxième partie On se propose d’étudier la suite (u n ) de nombres réels définie par : µ ¶ 3 1 u 1 =etu n+1 =u n 1+. n+1 2 2 1.Montrer par récurrence queu n >0 pour tout entier natureln > 1. 2.Montrer par récurrence que pour tout entier natureln > 1 : µ ¶µ ¶µ ¶ 1 11 lnu n =ln 1+ +ln 1∙ ∙ ∙ ++ +ln 1+. 2n 2 22 1 11 11 11 1 3.On poseS n + += +∙ ∙ ∙ +etT n = ++ +∙ ∙ ∙ +. 2 3n2 3n 2 22 24 44 4 À l’aide de la première partie, montrer que : 1 S n −T n 6 lnu n 6 S n . 2 4.CaiculerS n etT n en fonction denlim. En déduireS n et limT n . n→+∞n→+∞ 5.Étude de la convergence de la suite (u n ). a.Montrer que la suite (u n ) est strictement croissante.

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b.En déduire que (u n ) est convergente. Soitℓsa limite. c.On admet le résultat suivant : si deux suites (v n ) et (w n ) sont conver gentes et telles quev n 6 w n pour toutnentier naturel, alors limv n 6 limw n . n→+∞n→+∞ 5 Montrer alors que 6 lnℓ 6 1 et en déduire, un encadrement deℓ. 6

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