Sujet du bac ES 2007: Mathématique Obligatoire

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Description

Vrai-Faux étude de fonction, arbre et loi de probabilité, série statistique, étude de fonction détaillée
Sujet du bac 2007, Terminale ES, Amérique du Sud, seconde session

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Informations

• Publié par: le_bachelier
• Publié le: 01 janvier 2007
• Nombre de lectures: 19
• Langue: Français

Extrait

[BaccalauréatESAmériqueduSudnovembre2007\
EXERCICE 1 4points
Communàtouslescandidats
Onconsidèrelafonction f définieetdérivablesurR.
La figure ci-dessous montre une partie de sa courbe représentative (C ) dans unf³ ´
→− →−
repèreorthonormal O, ı ,  .
Ondisposedesrenseignementssuivantssurlafonction f etlacourbe(C ):f
• la fonction f est strictement croissante sur l’intervalle [0; 2], elle est stricte-
mentdécroissantesurl’intervalle]−∞; 0]etsurl’intervalle[2;+∞[;
• lacourbe(C )passeparl’originedurepèreetparlespointsA(1;e)etB(2;4);f
• la droite (OA) est tangente en A à la courbe (C ) et l’axe des abscisses estf
asymptoteà(C )en+∞.f
′Onnote f la fonctiondérivéede f etonappelle F laprimitive de f surRtelle que
F(0)=0.
5
4 B
4
3
3 A
(C )f
2
2
1
1
→−

0
→−O
−2 −1 1 2 3 4 5 6 7ı
-1
−1
-2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8
Pour chacune des affirmations suivantes, en utilisant les informations données par
l’énoncé,cocherlacasV (l’affirmationestvraie)oulacaseF(l’affirmation estfausse)
sur l’annexe1 àrendreavecvotre copie.Il n’estpas demandéde justifier les réponses.
Uneréponse exacte rapporte0,5 point; une réponseinexacte enlève0,25 point; l’ab-
sencederéponsen’enlèveaucunpointetn’enrapporteaucun.Siletotaldespointsest
négatif,lanoteattribuéeàl’exerciceest0.
1. lim f(x)=−−∞.
x→+∞
2. L’équation f(x)=0,1admetexactementdeuxsolutionsdansR.
′3. f (1)= f(1).Z2
4. f(x)dx<5.
0Z3
5. f(x)dx<1.
1
6. LafonctionF estcroissantesurR.
7. F(5)>F(6).
′8. Lafonction f estcroissantesurl’intervalle[0;2].
+
+BaccalauréatES
EXERCICE 2 5points
Candidatn’ayantpaschoisil’enseignementdespécialité
Unerevueprofessionnelleestproposéeendeuxversions:uneéditionpapieretune
éditionélectroniqueconsultableviainternet.Ilestpossibledes’abonneràuneseule
desdeuxéditionsoudes’abonneràl’éditionpapieretàl’éditionélectronique.
L’éditeurdelarevueachargéuncentred’appeldedémarcherlespersonnesfigurant
surunelistedelecteurspotentiels.
On admet que lorsqu’un lecteur potentiel est contatcté par un employé du centre
d’appel, laprobabilitéqu’ils’abonneàl’édition papier estégaleà0,2; s’ils’abonne
àl’éditionpapier,laprobabilitéqu’ils’abonneaussiàl’éditionélectroniqueestégale
à0,4; s’ilnes’abonnepasàl’éditionpapier, laprobabilitéqu’ils’abonneàl’édition
électroniqueestégaleà0,1.
PartieI
Une personne figurant sur la liste de lecteurs potentiels est contactée par un em-
ployéducentred’appel.
Onnote:
• Al’évènement «lapersonnes’abonneàl’éditionpapier»,
• Bl’évènement«lapersonnes’abonneàl’éditionélectronique»,
• Al’évènement contrairedeA,Bl’évènement contrairedeB.
1. a. Reproduireetcompléterl’arbresuivant:
B
A0,2
B
B
A
B
b. DonnerlaprobabilitédeBsachantAetlaprobabilitédeBsachantA.
2. a. Calculer la probabilité que la personne contactée s’abonne à l’édition
papieretàl’éditionélectronique.
b. Justifierquelaprobabilitédel’évènement Bestégaleà0,16.
c. LesévènementsAetBsont-ilsindépendants?
3. Onsupposequelapersonnecontactées’estabonnéeàl’éditionélectronique.
Quelleestalorslaprobabilitéqu’ellesoitaussiabonnéeàl’éditionpapier?
PartieII
Pour chacune des personnes contactée, le centre d’appel reçoit de l’éditeur de la
revue
• 2€silapersonnenes’abonneàaucunedesdeuxéditions;
• 10€silapersonnes’abonneuniquementàl’éditionélectronique;
• 15€silapersonnes’abonneuniquementàl’éditionpapier;
• 20€silapersonnes’abonneauxdeuxéditions.
1. Reproduire et compléter, sans donner de justification, le tableau ci-dessous
donnant la loi de probabilité de la somme reçue par le centre d’appel pour
unepersonnecontactée.
Sommereçueen€ 2 10 15 20
Probabilité
AmériqueduSud 2 novembre2007BaccalauréatES
2. Proposer, en expliquant votre démarche, une estimation de la somme que le
centre d’appel recevra de l’éditeur s’il parvient à contacter 5000 lecteurs po-
tentiels.
EXERCICE 3 5points
Candidatn’ayantpaschoisil’enseignementdespécialité
Unebanqueproposeàsesclientsdes’abonnerauservice«bank.net»quipermetde
consultersoncompteetd’effectuerdestransactionsviauneconnexioninternet.
Le tableau ci-dessous donne l’évolution du nombre de clients de la banque et du
nombredeclientsabonnésà«bank.net»del’année2001àl’année2006.
ery estlenombredemilliersdeclientsdelabanqueau1 janvierdel’annéederangi
x ,i
erq est le nombre de milliers de clients de la banque abonnés à «bank.net» au 1i
janvierdel’annéederang x .i
Année 2001 2002 2003 2004 2005 2006
Rangdel’année: x 1 2 3 4 5 6i
Nombredeclients: y (enmilliers) 298 310 321 330 339 348i
Nombred’abonnésà«bank.net»:q (enmilliers) 45 53 63 74 87 103i
Lessériesstatistiques (x ; y )et(x ; q )sontreprésentéessurlafiguredel’annexei i i i
2.
1. a. Calculer le pourcentage de clients de la banque abonnés à «bank.net»
erau1 janvierdel’année2001(donnerlerésultatarrondiàl’unité).
b. Calculerletauxd’accroissementdunombredeclientsdelabanqueabon-
er ernés à «bank.net» entre le 1 janvier 2001 et le 1 janvier 2006 (ce taux
seraexpriméenpourcentageetarrondiàl’unité).
2. Modélisationdel’évolutiondunombredeclientsdelabanqueparunajuste-
mentaffine.
a. Donner, à l’aide de la calculatrice, l’équation de la droite d’ajustement
de y en x obtenue par la méthode des moindres carrés. Le coefficient
directeurseraarrondiaudixièmeetl’ordonnéeàl’origine sera arrondie
àl’unité.
b. Ensupposantquel’évolutionsepoursuiveseloncemodèle,donnerune
estimationdunombredeclientsdelabanqueaupremierjanvier2010.
3. La formedunuagedepointsdecoordonnées(x ; q )permetd’envisager uni i
ajustementexponentiel. ¡ ¢
Eneffectuantlechangementdevariablez =ln q ,onobtientladroited’ajus-i i
tementde z en x parlaméthodedesmoindrescarrésd’équation
z=0,165x+3,642.
xa. Endéduireuneexpressionde q enfonctionde x delaforme q=kA et
donner les valeurs approchées arrondies au centième des constantes k
et A.
b. On admet que l’évolution du nombre de clients abonnés à «bank.net»
entrelesannées2001et2006peutêtremodéliséeparlarelation
xq=38,17×(1,18) . En supposant que l’évolution se poursuive selon ce
modèle,donneruneestimationdunombredeclientsabonnésà«bank.net»
erau1 janvier2010.
c. Quelserait, selonl’estimation obtenueàlaquestion 2.b.etl’estimation
précédente,lepourcentagedeclientsdelabanqueabonnésà«bank.net»
erau1 janvier2010?
er4. Onsupposeque,jusqu’au1 janvier 2016, lenombredeclientsdelabanque
évolue selon le modèle obtenu à la question 2. a. et le nombre de clients de
la banqueabonnésà «bank.net»évolueselon lemodèledonnéàlaquestion
AmériqueduSud 3 novembre2007BaccalauréatES
3.b.
Àl’aidedecesdeuxmodèles,quellesprévisionsobtient-onpour2016?
Qu’enpensez-vous?
EXERCICE 4 6points
Onadmettraquelesfonctionsconsidéréesdanscetexercicesontdérivablessurl’in-
tervalle]0;+∞[.
Soitlafonction f définiesurl’intervalle]0;+∞[par:
f(x)=(2−lnx)lnx.
¡ ¢
La figureci-dessous donne la courbe représentative C de la fonction f dans unf³ ´
→− →−
repèreorthonormal O, ı ,  .¡ ¢
Lacourbe C coupel’axedesabscissesenA(1;0)etenB.f ¡ ¢
LatangenteenCàlacourbe C estparallèleàl’axedesabscissesetlatangenteenf¡ ¢
Aàlacourbe C coupel’axedesordonnéesenD.f
2
C1 ¡ ¢1 Cf
→−

A B0
→−-1 O 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
−1 1 2 3 4 5 6 7 8ı
-1
−1
-2D
−2
-3
−3
1. Déterminerl’abscissedupointB(lavaleurexacteestdemandée).
2. Calculerlalimitede f en0etlalimitede f en+∞.
′3. Onnote f lafonctiondérivéede f sur]0;+∞[.
a. Démontrerquepourtoutréel x del’intervalle]0;+∞[,
2(1−lnx)
′f (x)=
x
b. Déterminer les coordonnées du point C et l’ordonnée du point D (les
valeursexactessontdemandées).
4. a. Soitlafonction g définiesurl’intervalle]0;+∞[par
g(x)=x[f (x)+2lnx−4].
Démontrerque g estuneprimitivede f surl’intervalle]0;+∞[.
Z 2e
b. Calculer f(x)dx et donner une interprétation géométrique decette
1
intégrale.
AmériqueduSud 4 novembre2007
+BaccalauréatES
Annexe1(àrendreavecsacopie)