Sujet du bac S 2010: Mathématique Spécialité

Education Nationale

Description

Equations différentielles et calcul d'intégrale, ROC sur les suites, QCM de probabilité et similitudes complexes.
Sujet du bac 2010, Terminale S, Métropole

Sujets

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Informations

• Publié par: le_bachelier
• Publié le: 01 janvier 2010
• Nombre de lectures: 90
• Langue: Français

Extrait

BACCALAURÉAT GÉNÉRAL Session 2010 MATHÉMATIQUES Série S ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ Durée de lépreuve : 4 heures Coefficient : 9 Les calculatrices électroniques de poche sont autorisées, conformément à la réglementation en vigueur . Le sujet est composé de 4 exercices indépendants. Le candidat doit traiter tous les exercices. Dans chaque exercice, le candidat peut admettre un résultat précédemment donné dans le texte pour aborder les questions suivantes, à condition de lindiquer clairement sur la copie. Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, quil aura développée. Il est rappelé que la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans lappréciation des copies. Le sujet comporte une annexe à rendre avec la copie. Ce sujet nécessite une feuille de papier millimétré. Avant de composer, le candidat sassurera que le sujet comporte bien 6 pages numérotées de 1/6 à 6/6. 10 MASSME 1page 1/6

EXERCICE 1 :(6 points) Commun à tous les candidats Les deux parties de cet exercice sont indépendantes. Partie A : On considère léquation différentielle (E) :. 1)que la fonction Montrerusur lensemble des nombres réels définieunepar est solution de léquation différentielle (E). 2)On considère léquation différentielle (E') :. Résoudre léquation différentielle (E'). 3) Soitv une. Montrer que la fonctionfonction définie et dérivable surv estune solution de léquation différentielle (E) si et seulement si la fonctionest solution de léquation différentielle (E'). 4)déduire toutes les solutions de léquation différentielle (E). En 5)lunique solution Déterminerg.de léquation différentielle (E) telle que Partie B : On considère la fonction définie sur lensembledes nombres réels paroùkest un nombre réel donné. On notela courbe représentative de la fonctiondans un repère orthogonal. 1). Montrerque la fonctionadmet un maximum en 2)point de la courbedabscisse .Montrer que le pointappartient à la Onnote le courbe déquation. 3) Surle graphique donné en annexe 1 (à rendre avec la copie), le repère est orthogonal mais lunité sur laxe des abscisses et sur laxe des ordonnées ainsi que les noms des courbes napparaissent pas.  Surce graphique, on a tracé deux courbes : déquation ;la courbe un certain nombre réeldéquation pourla courbekdonné. a) Identifierles courbes et les nommer sur lannexe 1 (à rendre avec la copie). b)En expliquant la démarche utilisée, déterminer la valeur du nombre réelk correspondanteainsi que lunité graphique sur chacun des axes.  4)Donner une interprétation graphiqueÀ laide dune intégration par parties, calculer de cette intégrale.

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EXERCICE 2 :(5 points) Commun à tous les candidats  1)Restitution organisée de connaissances.  Démontrerà laide de la définition et des deux propriétés cidessous que si (u) et (v) sont deux suites adjacentes, alors elles sont convergentes et elles ont la même limite. Définition :deux suites sont adjacentes lorsque lune est croissante, lautre est décroissante et la différence des deux converge vers 0. Propriété 1 :si deux suites (u) et (v) sont adjacentes avec (u) croissante et (v) décroissante alors, pour tout entier natureln,v>u. Propriété 2 :toute suite croissante et majorée converge ; toute suite décroissante et minorée converge. Dans la suite de cet exercice, toute trace de recherche, même incomplète, ou dinitiative même non fructueuse, sera prise en compte dans lévaluation.  2)les cas suivants, les suites ( Dansu) et (v) ontelles la même limite ? Sontelles adjacentes ?  Justifierles réponses. nn a)uet= 1  10v= 1 + 10; b)u= ln (net+ 1)v= ln (n+ 1) +;  c)u= 1 etv.= 1 +  3) Onconsidère un nombre réelaet les suites ( positifu) et (v) définies pour tout nombre entier naturelnnon nul par :u= 1 et .  Existetilune valeur deatelle que les suites soient adjacentes ?

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EXERCICE 3 : (4 points) Commun à tous les candidats Cet exercice est un questionnaire à choix multiple (QCM). Pour chaque question, trois réponses sont proposées, une seule est exacte. Le candidat portera sur la copie, sans justification, le numéro de la question suivi de la réponse choisie. Il est attribué un point si la réponse est exacte, aucun point nest enlevé pour une réponse inexacte ou une absence de réponse. 1): 7 sont blanches et 3 sont noires. On tireUne urne contient 10 boules indiscernables au toucher simultanément 3 boules de lurne. La probabilité de tirer 2 boules blanches et 1 boule noire est égale à :   2)la même urne, on tire une boule, on note sa couleur, on la remet dans lurne ; on procède ainsi à De 5 tirages successifs avec remise. La probabilité davoir obtenu 3 boules noires et 2 boules blanches est égale à:  3)urne, on tire une seule boule. Si elle est blanche, on lance un dé cubique (dont les facesDe la même sont numérotées de 1 à 6). Si la boule est noire, on lance un dé tétraédrique (dont les faces sont numérotées de 1 à 4). On suppose les dés bien équilibrés. Le joueur gagne sil obtient le numéro 1. Sachant que le joueur a gagné, la probabilité quil ait tiré une boule blanche est égale à:



4)On note X une variable aléatoire qui suit une loi exponentielle de paramètre( étantun nombre réel strictement positif). La probabilité de lévénement [] est égale à : 

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EXERCICE 4 :(5 points) Candidats ayant suivi lenseignement de spécialité Dans tout lexercice,est un repère orthonormal direct du plan complexe (unité graphique : 4 cm). On désigne parAle point daffixez A = 1.  1)considère la transformation OnTplan qui, à tout point duM daffixez, associe le point daffixe . a) Déterminerles images respectives par la transformationTdu pointAet du pointΩ daffixe . b)En déduire la nature et les éléments caractéristiques de la transformationT. c) Déterminerlimage par la transformationTdu cercle (c) de centreOet de rayon 1.  2)(c') désigne le cercle de centredaffixe 2 et de rayon 1.  a)Construire le pointappartenant au cercle (c') tel que :[modulo 2π].  b)À tout pointMdu cercle (c) daffixezdu cercle (c') daffixetel que :, on associe le point [modulo 2π].

 Déterminerle module et un argument de. En déduire que.  c)la nature et les éléments caractéristiques de la transformation Préciserrà tout point quiM du plan daffixezdaffixe telleque .associe le point 3)Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou dinitiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans lévaluation.  Àtout pointMdu plan, on associe le pointM 1 .milieu du segment  Quelest le lieu géométrique du pointM 1 lorsqueMdécrit le cercle (c) ?

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ANNEXE 1 (Exercice 1) (à rendre avec la copie) O

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