Sujet du bac S 2011: Mathématique Spécialité

Education Nationale

Description

Vrai/Faux géométrie complexe, théorème de Fermat, calcule de suite et de primitive, distance et plan dans l'espace.
Sujet du bac 2011, Terminale S, Polynésie

Sujets

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Informations

• Publié par: le_bachelier
• Publié le: 01 janvier 2011
• Nombre de lectures: 91
• Langue: Français

Extrait

BACCALAURÉAT GÉNÉRAL

Session 2011 MATHÉMATIQUES Série S Enseignement de Spécialité Durée de l’épreuve : 4 heures – Coefficient : 9 Ce sujet comporte 6 pages numérotées de 1 à 6. Du papier millimétré est mis à la disposition des candidats. L’utilisation d’une calculatrice est autorisée. Le candidat doit traiter les quatre exercices. Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu’il aura développée. Il est rappelé que la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l’appréciation des copies. 11MASSPO1 Page1/6

EXERCICE 1(5 points) Pour chacune des propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et donner une démonstration de la réponse choisie. Une réponse non démontrée ne rapporte aucun point. Toutefois, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.   Le plan complexe est muni d’un repère orthonormal direct ( O ;u,v ! . 1.Soient A le point d'affixe 2 – 5i et B le point d'affixe 7 – 3i. Proposition 1 :Le triangle OAB est rectangle isocèle. 2.Soit ( D ! l’ensemble des points M d’affixeztelle quez%i1z#2 i.

Proposition 2 : ( D ! est une droite parallèle à l’axe des réels. 3.Soitz13#i 3.

3n Proposition 3 :Pour tout entier naturelnnon nul,est imaginaire pur. 4.Soitzun nombre complexe non nul. π Proposition 4est un argument de: Sizalorsi# 11#z. 2 5.Soitzun nombre complexe non nul. 2 1 Proposition 5 :Si le module dezest égal à 1 alorsz#est un nombre réel. 2 11MASSPO1 Page2/6

EXERCICE 2(5 points) On rappelle la propriété, connue sous le nom de petit théorème de Fermat : p%1 Sipest un nombre premier etaest un entier naturel non divisible parp, alorsaº1 (modulop). On considère la suite (u n ) d’entiers naturels définie par : u11et, pour tout entier natureln,u110u#21. 0n#1n 1. Calculeru,u, etu. 1 23 n#1 2. a) Démontrerpar récurrence que, pour tout entier natureln,3u110%7. n  b)En déduire, pour tout entier natureln, l’écriture décimale deu. n 3. Montrerque estun nombre premier. u 2 On se propose maintenant d’étudier la divisibilité des termes de la suite (u n ) par certains nombres premiers. 4. Démontrerque, pour tout entier natureln,un'est divisible ni par 2, ni par 3, ni par 5. n n o 11 5. a) Démontrerque, pour tout entier natureln,3u n º4% ( %1 ! ( modul !  b)En déduire que, pour tout entier natureln,un’est pas divisible par 11. n 16 6. a) Démontrerl’égalité :10º1 ( modulo 17 ! .  b)En déduire que, pour tout entier naturelk,uest divisible par 17. 16k#8 11MASSPO1 Page3/6

EXERCICE 3(5 points) Partie A : Restitution organisée de connaissances On supposera connus les résultats suivants : ·Soientuetvdeux fonctions continues sur un intervalle [ a,b ] . b bb  Pourtous réels a et, [ a u(x)# b v(x) ] dx1 a u(x) dx# b v(x) dx . ∫ a ∫ a ∫ a ·Siudésigne une fonction continue sur un intervalle [ a,b ] etU une primitive deusur [ a,b ] b b alors u(x) dx1 [ U(x) ] 1U(b)%U(a) . ∫ a a En utilisant la formule de dérivation d’un produit de deux fonctions dérivables, à dérivées continues sur un intervalle [ a,b ] , démontrer la formule d’intégration par parties.

Partie B 2 On considère la fonctiondéfinie sur ] 0,# ¥ [ par(x)1xlnx.   La courbe (C) représentative de la fonctiondans le plan muni d’un repère orthonormal ( O ;i,j ! est donnée en annexe, page 6.

1. a) Déterminerla limite de  b)Étudier les variations de

en # ¥ . sur ] 0,# ¥ [ .

2.Pour cette question, toute trace de recherche, même incomplète, sera prise en compte dans  l’évaluation.  Démontrerqu’il existe une tangente unique à la courbe (C) passant par O. Préciser une équation  decette tangente.

3. Onconsidère le solide obtenu par rotation autour de l’axe (Ox) de la région plane délimitée par 1 la courbe (C), l’axe (Ox) et les droites d’équationsx1et11. e  OnnoteVune mesure, exprimée en unités de volume, du volume de ce solide et on admet que : 1 2 V1π [ f(x) ] dx. ∫ 1 e 4  a)Montrer qu’une primitive de la fonction|xlnxsur ] 0,# ¥ [ est la fonction 5 x x| ( 5 lnx%1 ! . 25 π  37   b)En déduire, à l’aide d’une intégration par parties, que : V12% .  5  125  e  11MASSPO1 Page4/6

EXERCICE 4(5 points) On considère le cube ABCDEFGH de côté 1 représenté ci-dessous.    Dans tout l’exercice, l’espace est rapporté au repère orthonormalD ; DA, DC, DH. ( ! On note K le barycentre des points pondérés (D, 1) et (F, 2). Partie A  2 2 2  1. Montrer que le point K a pour coordonnées , , .    3 3 3  2. Montrer que les droites (EK) et (DF) sont orthogonales. 3. Calculer la distance EK. Partie B Soit M un point du segment [HG]. On notem= HM(mest donc un réel appartenant à [ 0,1 ] ). 1. Montrer que, pour tout réelmappartenant à l’intervalle [ 0,1 ] , le volume du tétraèdre EMFD, en 1 .  unitésde volume, est égal à 6 2. Montrer qu’une équation cartésienne du plan (MFD) est( 1#m)x#y mz10 . 3. On notedla distance du point E au plan (MFD). m 1 . d a. Montrer que, pour tout réelmappartenant à l’intervalle [ 0,1 ] , m 1 2m²%2m#2 b.Déterminer la position de M sur le segment [HG] pour laquelle la distancedest maximale. m c.En déduire que lorsque la distancedest maximale, le point K est le projeté orthogonal de E m  surle plan (MFD). 11MASSPO1 Page5/6

EXERCICE 3

ANNEXE

Cette page ne sera pas à rendre avec la copie.

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