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Sujets de baccalauréat, Dérivation Année 2008

70 pages
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[BaccalauréatS2008\
L’intégraledeseptembre2007à
juin2008
Pourunaccèsdirectcliquezsurlesliensbleus
Antilles–Guyaneseptembre2007 ........................3
FranceetRéunionseptembre2007 ......................8
Polynésieobligatoireseptembre2007 ..................13
AmériqueduSudnovembre2007 ......................18
Nouvelle-Calédonienovembre2007 ................... 21
Nouvelle-Calédoniemars2008 .........................26
Pondichéryavril2008 ...................................30
Libanmai2008 .........................................35
AmériqueduNordmai2008 ............................40
Antilles-Guyanejuin2008 ..............................44
Asiejuin2008 ...........................................49
Centresétrangersjuin2008 .............................55
Francejuin2008 ........................................59
LaRéunionjuin2008 ...................................63
Polynésiejuin2008 .....................................67BaccalauréatS:l’intégrale2008 A.P.M.E.P.
2[BaccalauréatSAntilles-Guyane\
septembre2007
EXERCICE 1 6points
Communàtouslescandidats
Lestroispartiesdecetexercicesontindépendantes.
Uneurnecontient15boulesidentiquesindiscernablesautoucherdecouleurnoire,
blanche,ourouge.
Onsaitdeplusqu’ilyaaumoinsdeuxboulesdechaquecouleurdansl’urne.
Ontireauhasardsimultanément 2boulesdansl’urneetonnoteleurcouleur.
Soitl’évènement G:«obtenirdeuxboulesdemêmecouleur».
PartieA
Onsupposequel’urnecontient3boulesnoireset7boulesbanches.
Calculerlaprobabilitédel’évènement G.
PartieB
On note n, b et r le nombre de boules respectivement noires, blanches et rouges
figurantdansl’urne.
1. Onnote g(n, b, r)laprobabilitéenfonctionden, b etr del’évènement G.
1
Démontrerqueg(n, b, r)= [n(n−1)+b(b−1)+r(r−1)].
210
2. Le but de cette question est de déterminer n, b et r afin que la probabilité
g(n, b, r)soitminimale.
? ?→− →− →−
L’espaceestmunid’unrepère O, ı ,  , k orthonormal.
Soient les points N,BetRdecoordonnéesrespectives (15; 0; 0),(0;15; 0)et
(0;0; 15)etsoit M lepoint decoordonnées(n, b, r).Onpourraserapporter
àlafigureci-dessous.
a. Justifierqu’uneéquationcartésienneduplan(NBR)estx+y+z−15=0.
b. EndéduirequelepointM estunpointduplan(NBR).
? ?1 2c. Démontrerqueg(n, b, r)= OM −15 .
210
d. SoitHleprojetéorthogonaldupointOsurleplan(NBR).Déterminerles
coordonnéesdupointH.
e. Endéduiretesvaleurs den, b etr afinque laprobabilité g(n, b, r)soit
2
minimale.Justifierquecetteprobabilitéminimaleestégaleà .
7
PartieC
On suppose que les nombres de boules de chaque couleur ont été choisis par l’or-
2
ganisateurd’unjeu,detellesortequelaprobabilitédel’évènement Gsoit .
7
Un joueur mise x euros, avec x entier naturel non nul, puis tire simultanément au
hasarddeuxboulesdel’urne.Danstouslescas,ilperdsamisededépart.
S’il obtient deux boules de la même couleur, il reçoit k fois le montant de sa mise,
aveck nombredécimalstrictementsupérieurà1.Sinon,ilnereçoitrien.
Onnote X lavariablealéatoireégaleaugainalgébriquedujoueur.
1. Calculerl’espéranceE(X)delavariableX enfonctiondex etdek.
2. Déterminerlavaleurdek pourlaquellelejeuestéquitable.BaccalauréatS:l’intégrale2008 A.P.M.E.P.
z
R
→−→−
k 
→− O Byı
N
x
EXERCICE 2 5points
Pourlescandidatsn’ayantpassuivil’enseignementdespécialité
PartieA
?
α(1+i) = 1+3i
1. Déterminerlenombrecomplexeαtelque 2iα = −4+3i
22. Pourtoutnombrecomplexe z,onpose f(z)=z −(1+3i)z+(−4+3i).
Montrerque f(z)s’écritsouslaforme(z−α)(z−iα).
Endéduirelessolutionssousformealgébriquedel’équation f(z)=0.
PartieB
? ?→− →−
Leplancomplexeestrapportéàunrepèreorthonormé O, u , v ,unitégraphique:
5cm.
1. OnconsidèrelespointsAetBd’affixesrespectives a=2+ietb=−1+2i.
PlacerAetBdanslerepèreetcompléterlafigureaufuretàmesure.
Montrerqueb=iα,endéduirequeletriangleOABestuntriangleisocèlerec-? ? π−→ −→
tangletelque OA, OB = .
2
1
2. OnconsidèrelepointCd’affixec=−1+ i.Déterminerl’affixedupointDtel
2 ? ?−→ −−→ π
queletriangleOCDsoituntriangleisocèlerectangletelque OC, OD = .
2
Onpourraconjecturerl’affixedeDàl’aidedelafigurepourtraiterlaquestion
suivante.
3. Soit M le milieu de [CB]. On appelle z−−→ et z−→ les affixes respectives des
OM DA
−−→z−−→ −−→ 1OM
vecteursOM etDA.Prouverque: = i.
z−−→ 2
DA
? ?−→ −−→
4. Donnerunemesureenradiansdel’angle DA, OM .
1
5. ProuverqueOM= DA.
2
6. OnappelleJ,KetLlesmilieuxrespectifsdessegments[CD],[DA]et[AB].
On admet que le quadrilatère JKLM est un parallélogramme. Démontrerque
c’estuncarré.
Antilles-Guyane 4 septembre2007BaccalauréatS:l’intégrale2008 A.P.M.E.P.
EXERCICE 2 5points
Pourlescandidatsayantsuivil’enseignementdespécialité
? ? π−→ −−→
ABCestuntriangleéquilatéraltelque AB, AC = +2kπ, k∈Z.
3
Soitt unnombreréelfixeetsoientlespointsM, N etP,deuxàdeuxdistincts,définis
par
−−→ −→ −−→ −→ −→ −→
AM =tAB, BN =tBC etCP =tCA.
Le but de l’exercice est de démontrer l’existence d’une unique similitude directeσ
quitransformelespointsA,BetCenrespectivement M, N etP,etd’enpréciserles
élémentscaractéristiques. ? ?→− →−
Onmunitlepland’unrepèreorthonormal O, u , v direct.
Onnotea, b, c, m, n etp,lesaffixesrespectivesdespointsA,B,C,M, N etP.
1. Onrappellequetoutesimilitudeconservelebarycentre.
a. Exprimerm, n etp enfonctiondea, b, c ett.
b. EndéduirequelesdeuxtrianglesABCetMNP ontmêmecentredegra-
vité.
OunoteraGcecentredegravité.
c. Onsupposequeσexiste.Déterminerl’imagedeGparσ.

2. Onconsidèrelarotationr decentreGetd’angle .
3
a. Vérifierque M estlebarycentredusystèmedepoints{A(1−t); B(t)},et
endéduirequer(M)=N.
Onadmetdemêmequer(N)=P etr(P)=M.
? ?GM −−→ −−−→
b. Soitσ ,lasimilitudedirectedecentreGderapport etd’angle GA, GM .1
GA
Montrerqu’elle transformelespoints A,BetCenrespectivement M, N
etP.
c. Concluresurl’existenceetl’unicitédeσ.
EXERCICE 3 5points
Communàtouslescandidats
Questiondecours
SoitIunintervalledeR.
′ ′Soient u et v deux fonctions continues, dérivables sur I telles que u et v soient
continuessurI.
Rappeler et démontrer la formule d’intégration par parties sur un intervalle [a ; b]
deI.
PartieA
Soit f unefonctiondéfinieetdérivablesurl’intervalle[0;1].
′Onnote f lafonctiondérivéede f.
′Onsupposeque f estcontinuesurl’intervalle[0;1].
1. Utiliserlaquestiondecourspourmontrerque:
Z Z1 1
′f(x)dx= f(1)− xf (x)dx.
0 0
Z Z1 1
′2. Endéduireque (f(x)−f(1))dx=− xf (x)dx.
0 0
Antilles-Guyane 5 septembre2007BaccalauréatS:l’intégrale2008 A.P.M.E.P.
PartieB
Ondésigneparlnlafonctionlogarithmenepérien.
Soit f lafonctiondéfiniesurl’intervalle]−2; 2[par
? ?
2+x
f(x)=ln .
2−x
SoitC la courbe représentative de f sur l’intervalle ]−2 ; 2[ dans un repèreortho-
norméd’unitégraphique2cm.
1. Déterminerleslimitesde f auxbornesdesonensemblededéfinition.
4′2. a. Montrerquepourtoutréelx del’intervalle]−2; 2[ona f (x)= .
24−x
b. Endéduirelesvariationsde f surl’intervalle]−2; 2[.
PartieC
LacourbeC esttracéesurlafeuilleannexe.
HachurersurcettefeuillelapartieP duplanconstituéedespointsM(x ; y)telsque
06x61 et f(x)6y6ln3.
2EnutilisantlapartieA,calculerencm l’airedeP.
4
3
2
1
→−

0
→−
−2 −1 0 1 2 3ı
−1
−2
EXERCICE 4 4points
Antilles-Guyane 6 septembre2007BaccalauréatS:l’intégrale2008 A.P.M.E.P.
Communàtouslescandidats
Soitv=(v ) unesuite.n n>0
−vnOnconsidèrelasuiteu définiepourtoutentiernatureln paru =e +1.n
PartieA
Pour chacune des questions, quatre propositions sont proposées dont une seule est
exacte.
Pourchacunedesquestionsdonner,sansjustification,labonneréponsesurvotreco-
pie.
Unebonneréponsedonne0,75point,unemauvaiseréponseenlève0,25pointetl’ab-
sencederéponseestcomptée0point.
Touttotalnégatifestramenéàzéro.
1. a estunréelstrictementpositifetlndésignelafonctionlogarithmenépérien.
Siv =lna alors:0
1 1 −aa. u = +1 b. u = c. u =−a+1 d. u =e +10 0 0 0
a 1+a
2. Siv eststrictementcroissante,alors:
a. u eststrictementdécroissanteetmajoréepar2
b. u eststrictementcroissanteetminoréepar1
c. u eststrictementcroissanteetmajoréepar2
d. u eststrictementdécroissanteetminoréepar1
3. Siv divergevers+∞,alors:
a. u convergevers2
b. u divergevers+∞
c. u convergevers1
d. u convergeversunréelℓtelqueℓ>1
4. Siv estmajoréepar2,alors:
−2a. u estmajoréepar1+e
−2b. u estminoréepar1+e
2c. u estmajoréepar1+e
2d. u estminoréepar1+e
PartieB(1point)
Démontrerquepourtoutentiernaturelnonnul,onaln(u )+v >0.n n
Antilles-Guyane 7 septembre2007Durée:4heures
[BaccalauréatSMétropole&LaRéunion\
septembre2007
EXERCICE 1 5points
Communàtouslescandidats
Les parties 1 et 2 portent sur un même thème, la dérivation, mais sont indépen-
dantes.
1. Restitutionorganiséedeconnaissances
La formule donnant la dérivée du produit de deux fonctions dérivables est
supposéeconnue.Onaénoncéci-dessousdeuxpropositionsdésignéesparP
etQ.Direpourchacuned’ellessivraieoufausseetjustifier.
Danscetexercicen désigneunentiernaturelstrictementsupérieurà1.
n– P:Soit f lafonctiondéfiniesurRpar f(x)=x ;alors f estdérivablesur
′ ′ n−1R,dedérivée f donnéesurRpar: f (x)=nx .
– Q : Soit u une fonction dérivable surR et soit f la fonction définie sur
n ′ ′Rpar f =u ;alors f estdérivablesurR,dedérivée f donnéepar f =
n−1nu .
1′2. Ondésigneparg lafonctiondéfiniesur]−1; 1[parg(0)=0etg (x)=p
21−x
′où g désigne la dérivée de la fonction g sur ]−1 ; 1[; on ne cherchera pas à
expliciter g(x).
Onconsidèrealorslafonctioncomposéeh définiesur]−π; 0[par
h(x)=g(cosx).
′ ′a. Démontrer que pour tout x de ]−π ; 0[ on a h (x)=1, où h désigne la
dérivéedeh.
? ?π
b. Calculerh − puisdonnerl’expressiondeh(x).
2
EXERCICE 2 6points
Communàtouslescandidats
1 23
1. Lasuite u estdéfiniepar:u =2etu = u + pour toutentiernaturel0 n+1 n
3 27
n.
a. On a représenté dans un repère orthonormé direct du plan enannexe,
1 23
la droite d’équation y = x+ et le point A de coordonnées (2; 0).
3 27
Construire surl’axe des abscisses les quatrepremiers termes dela suite
u.
23
b. Démontrerquesilasuiteu estconvergentealorssalimiteestℓ= .
18
23
c. Démontrerquepourtoutentiernatureln ona:u > .n
18
d. Étudierlamonotoniedelasuiteu etdonnersalimite.
2. a. Soitn unentiernaturelsupérieurouégalà1.Démontrerque:
? ? ? ?n+1X 1 1 1 1 1 1 1 1
= 1− c’est-à-direque + +···+ = 1−
n 2 3 n+1 nk10 90 10 10 10 10 90 10k=2BaccalauréatS:l’intégrale2008 A.P.M.E.P.
b. Lasuite v estdéfinieparv =1,2777···7avecn décimalesconsécutivesn
égalesà7.
Ainsiv =1,2, v =1,27etv =1,277.0 1 2
Enutilisant lea démontrerque la limite de lasuite v est un nombrera-
tionnelr (c’est-à-direlequotientdedeuxentiers).
3. Lasuiteu définieau1etlasuite v sont-ellesadjacentes?Justifier.
EXERCICE 3 5points
Candidatsn’ayantpassuivil’enseignementdespécialité
Soitlesnombrescomplexes:
p p z1
z = 2+i 6, z =2+2i et Z= .1 2
z2
1. ÉcrireZ sousformealgébrique.
2. Donnerlesmodulesetargumentsdez , z etZ.1 2
π π
3. Endéduirecos etsin .
12 12
4. Le plan est muni d’un repère orthonormal; on prendra 2 cm comme unité
graphique.
On désigne par A, B et C les points d’affixes respectives z , z et Z. Placer1 2
le point B, puis placer les points A et C en utilisant la règle et le compas (on
laisseralestraitsdeconstructionapparents).
20075. Écriresousformealgébriquelenombrecomplexe Z .
EXERCICE 3 5points
Candidatsayantsuivil’enseignementdespécialité
1. Onconsidèrel’ensembleA ={1; 2; 3; 4; 5; 6}7
a. Pour tout élément a de A écrire dans le tableau figurant en annexe 27
l’uniqueélément y deA telqueay≡1 (modulo7).7
b. Pourx entierrelatif,démontrerquel’équation3x≡5 (modulo7)équi-
vautàx≡4 (modulo7).
c. Si a est un élément de A , montrer que les seuls entiers relatifs x solu-7
tionsdel’équation ax≡0 (modulo7)sontlesmultiples de7.
2. Danstoutecettequestion, p estunnombrepremiersupérieurouégalà3.On
considère l’ensemble A ={l ; 2 ; ... ; p−1} des entiers naturels non nuls etp
strictementinférieursàp.Soita unélémentdeA .p
p−2a. Vérifierquea estunesolutiondel’équation ax≡1 (modulop).
p−2b. Onnoter lerestedansladivisioneuclidiennedea parp.Démontrer
quer estl’uniquesolutionx dansA ,del’équation ax≡1 (modulop).p
c. Soient x et y deuxentiersrelatifs.Démontrerquexy≡0 (modulop)si
etseulementsix estunmultipledep où y estunmultipledep.
d. Application:p=31.RésoudredansA leséquations:2x≡1(modulo31)31
et 3x≡1 (modulo31). À l’aide des résultats précédents, résoudre dans
2Zl’équation6x −5x+1≡0 (modulo31).
EXERCICE 4 4points
Communàtouslescandidats
i hπ π
On considère les deux équations différentielles suivantes définies sur − ; :
2 2
′(E) : y +(1+tanx)y=cosx
′(E ) : y +y=1.0
Métropole&LaRéunion 9 septembre2007BaccalauréatS:l’intégrale2008 A.P.M.E.P.
1. Donnerl’ensembledessolutionsdel’équation(E ).0
i hπ π
2. Soient f etg deuxfonctionsdérivablessur − ; ettellesque f (x)=g(x)cosx.
2 2
Démontrerquelafonction f estsolution de(E)sietseulement silafonction
g estsolutionde(E ).0
3. Déterminerlasolution f de(E)telleque f(0)=0.
Métropole&LaRéunion 10 septembre2007