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Sujets de baccalauréat, Suites numériques Année 2006

63 pages
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[BaccalauréatS2006\
L’intégraledeseptembre2005
àjuin2006
Pourunaccèsdirectcliquezsurlesliensbleus
Antilles-Guyaneseptembre2005 ........................3
Métropoleseptembre2005 ..............................6
Polynésiespécialitéseptembre2005 ...................10
Nouvelle-Calédonienovembre2005 ................... 14
AmériqueduSudnovembre2005 ......................18
Pondichéryavril2006 ...................................24
AmériqueduNordjuin2006 ........................... 28
Antilles-Guyanejuin2006 ..............................33
Asiejuin2006 ...........................................37
Centresétrangersjuin2006 .............................42
Métropolejuin2006 ....................................47
LaRéunionjuin2006 ...................................50
Libanmai2006 .........................................56
Polynésiejuin2006 .....................................60BaccalauréatS:l’intégrale2006 A.P.M.E.P.
2[BaccalauréatSAntilles-Guyaneseptembre2005\
EXERCICE 1 5points
1
Lasuite(u )estdéfinieparu =1et∀n∈N, u = u +n−1.n 0 n+1 n
2
1. a. Démontrerquepourtoutn>3, u >0.n
b. Endéduirequepourtoutn>4, u >n−2.n
c. Endéduirelalimitedelasuite(u ).n
2. Ondéfinitiasuite(v )par v =4u −8n+24.n n n
a. Démontrerque v estunesuitegéométriquedécroissantedontondon-( )n
neralaraisonetlepremierterme.
? ?n1
b. Démontrerque∀n∈N, u =7 +2n−6.n
2
c. Vérifier que∀n∈N, u = x +y où (x ) est une suite géométrique etn n n n? ?
y une suite arithmétique dont onprécisera pour chacune le premiern
termeetlaraison.
nX
d. Endéduirel’expressiondeS = u enfonctionden.n k
k=0
EXERCICE 2 4points
Soit f lafonctiondéfiniesur]0 ;+∞[par
2lnx
f(x)= .
2x +x
lnx lnx
1. Montrerquepourtoutx>1, 6 f(x)6 .
2x x
Z Z4 4lnx lnx
2. a. Calculer I= dx et J= dx (on pourra utiliser une intégra-
2x x2 2
tionparpartiespourcettedernière).
Z4
b. EndéduireunencadrementdeK= f(x)dx.
2
3. Lafigureci-dessousreprésentelacourbereprésentativede f (unitésgraphiques:
enabscisse1cmpour1unité,enordonnées4cmpour1unité).Onconsidère
l’ensembledespointsM(x ; y)telsque:
?
2 6 x 6 4
etonnoteA sonaire.
0 6 y 6 f(x)
y
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
x
-2 -1 -0,1 1 2 3 4
-0,2
-0,3
-0,4
-0,5BaccalauréatS:l’intégrale2006 A.P.M.E.P.
2Àl’aidedel’encadrementtrouvéau2b,donnerunencadrementdeA encm .
EXERCICE 3 4points
? ?→− →−
SoitP leplancomplexerapportéaurepère O, u , v (unitégraphique:4cm).Soit
Alepointd’affixe1.Onnote f l’applicationdeP privédeAdansP qui,àtoutpoint
′ ′M d’affixez,associelepoint M d’affixez telleque
1′z = .
z−1
p
1. a. Soit B le point d’affixeb=4+i 3. Déterminer la forme algébriqueet la
′ ′formeexponentielledel’affixeb deB .
b. Déterminerlesaffixesdespointsayantpourimagepar f leursymétrique
parrapportàO.
? ? ? ?
′ ′? ?2. a. Exprimer z etarg z enfonctionde|z−1|etarg(z−1).
b. SoitC lecercledecentreAetderayonr.OnsupposequeM estunpoint? ?
′? ?deC.Déterminer z .
′ ′Endéduireque M appartientàuncercleC dontonpréciseralecentre
etlerayon.
1
c. Placerunpoint M quelconque sur lecercledecentreAetderayon et
2
′construiresonimageM .(Onlaisseralestraitsdeconstruction,)
EXERCICE 4 4points
Onmodéliseletempsd’attenteentredeuxclientsàunguichetcommeunevariable
aléatoire X suivant une loi exponentielle de paramètre λ. La probabilité pour un
clientd’attendremoinsdet minestdéfiniepar:
Zt
−λxp(X6t)= λe dx.
0
Letempsmoyend’attenteestdonnépar:
Zt
−λxlim λxe dx.
t→+∞ 0
Zt
−λx1. a. Àl’aided’uneintégrationparparties,calculer λxe dx enfonction
0
det.
1
b. Endéduirequeletempsmoyenest .
λ
2. Letempsmoyend’attenteétantde5 min,quelleestlaprobabilitéd’attendre
plusde10min?plusde5min?
3. Quelle est la probabilité d’attendre encore au moins 5 min, sachant qu’on a
déjàattendu10min?Commentexpliquez-vouscerésultat?
EXERCICE 5 4points
Pourcetexercice,vousrecopierezpourchaquequestion,votreréponse.
Chaqueréponsejusterapporte1point.Uneabsencederéponsen’estpassanctionnée.
Ilseraretiré0,5pointparréponsefausse.
Lanotefinaledel’exercicenepourrapasêtreinférieureàzéro.
? ?→− →− →−
Soit O, ı ,  , k unrepèreorthonormal.
Antilles-Guyane 4 septembre2005BaccalauréatS:l’intégrale2006 A.P.M.E.P.
1. La droitepassant par A(1; 2 ; −4) et B(−3 ; 4 ; 1) et la droitereprésentée par
x = −11−4t
y = 8+2t t∈R sont:

z = 11+5t
sécantes strictementparallèles confondues noncoplanaires
2. Soient le planP d’équation 2x+3y−z+4=0 et la droiteD représentée par
x = t
y = t t∈R

z = 8+t
P etD sontsécants. P etD sontstrictementparallèles.
D estinclusedansP. Aucunedecespossibilitésn’estvraie.
3. LadistancedupointA(1; 2;−4)aupland’équation2x+3y−z+4=0est:
p
p8 14 8
16 8 14
7 7
2 2 24. SoientlepointB(−3; 4; 1)etlasphèreS d’équation x +y +z =16;
Bestàl’intérieurdeS Bestàl’extérieurdeS
BestsurS Onnesaitpas.
Antilles-Guyane 5 septembre2005Durée:4heures
[BaccalauréatSMétropoleseptembre2005\
EXERCICE 1 7points
Communàtouslescandidats
PartieA
Lafonction f estdéfiniesurl’intervalle[0;+∞[par
1− x2f(x)=(20x+10)e .
On noteC la courbe représentative de la fonction f dans un repère orthonormal? ?→− →−
O, ı ,  (unitégraphique1cm).
1. Étudierlalimitedelafonction f en+∞.
2. Étudierlesvariationsdelafonction f etdressersontableaudevariations.
3. Établir que l’équation f(x)=10 admet une unique solution strictement po-
sitive α dans l’intervalle ]0 ; +∞[. Donner une valeur décimale approchée à
−310 prèsdeα.
4. TracerlacourbeC.
Z3
5. Calculerl’intégraleI= f(x)dx.
0
PartieB
Onnote y(t)lavaleur,endegrésCelsius,delatempératured’uneréactionchimique
àl’instant t, t étantexpriméenheures.Lavaleurinitiale,àl’instant t=0,est
y(0)=10.
Onadmetquelafonctionqui,àtoutréelt appartenantàl’intervalle[0;+∞[associe
1 1′ − t
2y(t),estsolutiondel’équationdifférentielle(E): y + y=20e .
2
1. Vérifier que la fonction f étudiée dans la partieA est solution de l’équation
différentielle(E)surl’intervalle[0;+∞[.
2. On se propose de démontrer que cette fonction f est l’unique solution de
l’équation différentielle (E), définie sur l’intervalle [0 ; +∞[, qui prend la va-
leur10àl’instant0.
a. Onnote g unesolutionquelconquedel’équationdifférentielle(E),défi-
niesur [0; +∞[vérifiant g(0)=10.Démontrer quelafonction g−f est
solution,surl’intervalle[0;+∞[,del’équationdifférentielle:
1′ ′(E ) y + y=0.
2
′b. Résoudrel’équationdifférentielIe(E ).
c. Conclure.
3. Auboutdecombiendetempslatempératuredecetteréactionchimiqueredes-
cent-elleàsavaleurinitiale?Lerésultatseraarrondiàlaminute.
4. LavaleurθendegrésCelsiusdelatempératuremoyenneàcetteréactionchi-
mique durantlestroispremièresheuresestlavaleur moyennedelafonction
f surl’intervalle[0;3].
Calculerlavaleurexactedeθ,puisdonnerlavaleurapprochéedécimaledeθ
arrondieaudegré.BaccalauréatS:l’intégrale2006 A.P.M.E.P.
EXERCICE 2 5points
Candidatsn’ayantpaschoisil’enseignementdespécialité
Pourchaquequestion,uneseuledesquatreréponsesproposéesestexacte.Lecandidat
indiquerasurlacopielenumérodelaquestionetlalettrecorrespondantàlaréponse
choisie.
Chaqueréponseexacterapporte1point,chaqueréponsefausseenlève0,5point.Une
absence de réponse est comptée 0 point. Si le total est négatif, la note est ramenée à
zéro.
Aucunejustificationn’estdemandée.
p π
1. Soitz lenombrecomplexedemodule 2etd’argument .Onaalors:
3
p p
14 14A : z =−128 3−128i. C : z =−64+64i 3.p
14 14B : z =64−64i. D : z =−128+128i 3
2. On considère, dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormal, le
pointSd’affixe3etlepointTd’affixe4i.Soit(E)l’ensembledespointsM d’af-
fixez telsque|z−3|=|3−4i|.
A:(E)estlamédiatricedusegment[ST];
B:(E)estladroite(ST);
C:(E)estlecercledecentreΩd’affixe3−4i,etderayon3;
D:(E)estlecercledecentreSetderayon5.
3. On considère un hexagone régulier ABCDEF, dontles côtés sont delongueur
−→ −→
1.LeproduitscalaireAC·CF estégalà:
p p 3
A : 3 B : −3 C : − 3 D; .
2
p
2x −2x
4. Une fonction g est définiesur l’intervalle ]−∞; 0]par g(x)= ;soit
x−3
Γsacourbereprésentativedansunrepèreduplan.
A:Γadmetuneasymptoted’équation y=−1.
B:Γn’admetpasd’asymptote.
C:Γadmetuneasymptoted’équation y=x.
D:Γadmetuneasymptoted’équation y=1.
Zx
2−t ′′5. Soit la fonction f définie surR par f(x)= e dt. La fonction f ,dérivée
0
secondedelafonction f surR,estdéfiniepar:
Zx
2 2′′ −t ′′ −xA : f (x)= −2te dt. C : f (x)=−2xe .
Z 0x
2 2′′ −x ′′ −xB : f (x)= −2xe dx. D : f (x)=e .
0
EXERCICE 2 5points
Candidatsayantchoisil’enseignementdespécialité
Pourchaquequestion,uneseuledesquatreréponsesproposéesestexacte.Lecandidat
indiquerasurlacopielenumérodelaquestionetlalettrecorrespondantàlaréponse
choisie.
Chaqueréponseexacterapporte1point.Chaqueréponsefausseenlève0,5point.Une
absence de réponse est comptée 0 point. Si le total est négatif, la note est ramenée à
zéro.Aucunejustificationn’estdemandée.
Métropole 7 septembre2005BaccalauréatS:l’intégrale2006 A.P.M.E.P.
1. Onconsidèredansl’ensembledesentiersrelatifsl’équation:
2x −x+4≡0 (modulo6).
A:touteslessolutionssontdesentierspairs.
B:iln’yaaucunesolution.
C:lessolutionsvérifientx≡2 (modulo6).
D:lessolutionsvérifientx≡2 (modulo6)oux≡5 (modulo6).
2. On se propose de résoudre l’équation (E) : 24x+34y =2, où x et y sont des
entiersrelatifs.
A:Lessolutionsde(E)sonttoutesdelaforme:(x ;y)=(34k−7; 5−24k), k∈Z.
B:L’équation(E)n’aaucunesolution.
C:Lessolutionsde(E)sonttoutesdelaforme:(x ; y)=(17k−7; 5−12k),
k∈Z.
D:Lessolutionsde(E)sonttoutesdelaforme:(x ; y)=(−7k ; 5k), k∈Z.
20053. Onconsidèrelesdeuxnombresn=1789etp=1789 .Onaalors:
A:n≡4 (modulo17)etp≡0 (modulo17).
B:p estunnombrepremier.
C:p≡4 (modulo17).
D:p≡1 (modulo17).
4. On considère, dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormal, les
pointsAetBd’affixesrespectives a etb.LetriangleMABestrectangleisocèle
directd’hypoténuse[AB]sietseulementsilepointM d’affixez esttelque:
b−ia
A:z= . C:a−z=i(b−z).
1−i
π πi
4B:z−a=e (b−a). D:b−z= (a−z).
2
5. On considère dans le plan orienté deux points distincts A et B; on note I le
milieu dusegment [AB]. Soit f lasimilitude directede centreA,de rapport2
2π 1
etd’angle ;soit g lasimilitude directedecentreA,derapport etd’angle
3 2
π
;soith lasymétriecentraledecentre1.
3
A:h◦g◦f transformeAenBetc’estunerotation.
B:h◦g◦f estlaréflexionayantpouraxelamédiatricedusegment[AB].
C:h◦g◦f n’estpasunesimilitude.
−→
D:h◦g◦f estlatranslationdevecteurAB.
EXERCICE 3 5points
Communàtouslescandidats
? ?→− →− →−
L’espaceestmunid’unrepèreorthonormal O, ı ,  , k .
1. OnconsidèreleplanP passantparlepointB(1;−2; 1)etdevecteurnormal
→−
n (−2; 1; 5)etleplanR d’équationcartésienne x+2y−7=0.
a. DémontrerquelesplansP etR sontperpendiculaires.
b. Démontrer que l’intersection des plansP etR est la droiteΔ passant
→−
parlepointC(−1; 4;−1)etdevecteurdirecteur u (2;−1; 1).
c. Soit le point A(5 ; −2 ; −1). Calculer la distance du point A au planP,
puisladistancedupointAauplanR.
d. DéterminerladistancedupointAàladroiteΔ.
Métropole 8 septembre2005BaccalauréatS:l’intégrale2006 A.P.M.E.P.
2. a. Soit,pourtoutnombreréelt,lepoint M decoordonnéest
(1+2t ; 3−t ; t).
Déterminer en fonction de t la longueur AM . On note ϕ(t) cette lon-t
gueur.OndéfinitainsiunefonctionϕdeRdansR.
b. Étudier le sens de variations de la fonction ϕ surR; préciser son mini-
mum.
c. Interprétergéométriquementlavaleurdeceminimum.
EXERCICE 4 3points
Communàtouslescandidats
PartieA
Ondispose d’un dé en forme detétraèdre régulier, possédant une facebleue, deux
facesrougesetunefaceverte;onsupposeledéparfaitementéquilibré.
Une partie consiste à effectuer deux lancers sucessifs et indépendants de ce dé. À
chaquelanceronnotelacouleurdelafacecachée.
Onconsidèrelesévènements suivants:
Eestl’évènement «àl’issued’unepartie,lesdeuxfacesnotéessontvertes»,
F est l’évènement «à l’issue d une partie, les deux faces notées sont de la même
couleur».
1. Calculer les probabilités des évènements E et F ainsi que la probabilité de E
sachantF.
2. Oneffectuedixpartiesidentiquesetindépendantes.
Calculerlaprobabilitéd’obteniraumoinsdeuxfoisl’évènementFaucoursde
−3cesdixparties(onendonneraunevaleurapprochéedécimaleà10 près).
PartieB
Onsouhaitesavoirsiledéutilisépeutêtreconsidérécommeparfaitementéquilibré.
Pourcelaonnumérotede1à4lesquatrefacesdecedé,puisonlance,cedé160fois
en notant le nombre n de fois où chaque face est cachée; on obtient les résultatsi
suivants:
facei 1 2 3 4
effectifn 30 48 46 32i
? ?24X 12Onnote f lafréquencerelativeàlafacen etd leréel f − .i i iobs 4i=1
Onsimule ensuite 1000 foisl’expérience consistant àtirer unchiffreauhasard160
foisparmil’ensemble(1;2;3;4)puis,pourchaquesimulation,oncalcule
? ?24X 1
2 ed = F − ,oùF estlafréquenced’apparitiondunombrei.Le9 déciledelai i
4i=1
2sériestatistiquedes1000valeursded estégalà0,0098.
Auvudel’expérienceréaliséeetaurisquede10%,peut-onconsidérerledécomme
parfaitementéquilibré?
Métropole 9 septembre2005Durée:4heures
[BaccalauréatSPolynésieseptembre2005\
EXERCICE 1 5points
Onétudielemouvementaléatoired’unepuce.Cettepucesedéplacesurtroiscases
notéesA,BetC.
Àl’instant0,lapuceestenA.
Pourtoutentiernatureln :
• siàl’instantn lapuceestenA,alorsàl’instant(n+1),elleest:
1
soitenBavecuneprobabilitéégaleà ;
3
2
soitenCavecuneprobabilitéégaleà .
3
• siàl’instantn lapuceestenB,alorsàl’instant(n+1),elleest:
soitenC,soitenAdefaçonéquiprobable
• siàl’instantn lapuceestenC,alorselleyreste.
On note A (respectivement B , C ) l’évènement «à l’instant n la puce est en A»n n n
(respectivementenB,enC).
On note a (respectivement b , c ) la probabilité de l’évènement A , (respective-n n n n
mentB , C ).n n
Onadonc:a =1, b =c =0.0 0 0
Pourtraiterl’exercice,onpourras’aiderd’arbrespondérés.
1. Calculer a , b etc pourk entiernatureltelque16k63.k k k
2. a. Montrerque,pourtoutentiernatureln,

1 a = bn+1 n
2a +b +c =1etn n n 1 b = = an+1 n
3
1
b. Montrerque,pourtoutentiernatureln, a = a .n+2 n
6
c. Endéduireque,pourtoutentiernaturelp, ? ?p1 a = et a =0 2p 2p+1
6 ? ? .p1 1 b =0 et b =2p 2p+1
3 6
3. Montrerque lim a =0.n
n→+∞
Onadmetque lim b =0.Quelleestlalimitedec lorsquentendvers+∞?n n
n→+∞
EXERCICE 2 7points? ?→− →−
Leplanestrapportéàunrepèreorthonormaldirect O, u , v (unitégraphique:1
cm).
PartieA ? ?→− →− 2 2Danslerepère O, u , v ,onconsidèrelacourbeH d’équation y −x =16.
′1. Montrer queH est la réunion de deux courbesC etC oùC est la courbep
′2représentative de la fonction f définie surR par f(x)= x +16 et oùC est
l’imagedeC parunetransformationsimplequel’onprécisera.
2. Étudier la fonction f (limites aux bornes de l’ensemble de définition et sens
devariation).
a. Montrerqueladroited’équation y=x estuneasymptotedeC.