TS Correction du bac blanc Année Exercice points a Si M

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Niveau: Secondaire, Lycée, Terminale
- 1 - TS 3 Correction du bac blanc Année 2010/2011 Exercice 1 : (5 points) 1. a. Si M ?, ?M? ?M | | | | | || | 1 z z 1 ?M,?M? 2 arg z z 2 b. Si M ?, vérifie (1) et (2) si, et seulement si, z z 1 et arg z z 2 ssi z z $% &ssi z $% &'z ( ssi z ) $% &'z ( Remarque : Si M ?, alors M? ?, donc . Or, si z , ) $% &'z ( , donc l'expression z ) $% &'z ( reste valable. Ainsi, pour tout point du plan, on a bien z ) $% &'z (. 2. Notons '*( l'équation + 4√3 ) 16 0. Le discriminant est : ∆ 4√3+ 4 2 1 2 16 16 3 0. L'équation '*( admet donc deux solutions complexes conjuguées : 4 4√3 ) 4i2 2√3 ) 25 et + 46 2√3 25 3. a. 7 2√3 2i 4√32 12 i 4e89 :; et < 7= 4e9:; b.

• correction du bac blanc


• lminverse limqywzlu'


• triangle oab


• réelles distinctes


• point de coordonnées e0


• v'z

Sujets

• bac blanc

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• Langue: Français

Extrait

TS 3 Correction du bac blanc Année 2010/2011 Exercice 1 : (5 points) 1. a.SiM  Ω,   |  | z   ′ M   |  |  |   1 M  |     1 |  | z    z     M,M′  2  2  arg   z   b.SiM  Ω,vérifie (1) et (2) si, et seulement si,   z   z      1 et arg    2 z   z    z   % &  % &  % & ssi  $ ssi z    $ 'z  ( ssi z   ) $ 'z  ( z   Remarque : ′ SiM  Ω, alorsM  Ω, donc  . % &  % & Or, siz  , 'z  (    ) $ , donc l’expression ) $ z  'z  ( reste valable.  % & Ainsi, pour tout pointdu plan, on a bien 'z  (  ) $ z  . + 2.Notons '*( l’équation4√3 ) 16  0  . + Le discriminant est :∆ 4√3  4  1  16  16  0. L’équation '*( admet donc deux solutions complexes conjuguées : 4√3 ) 4i    2√3 ) 2 et     +    2√3  2 2 3. a. : : √3 1   7  2√3  2i  4   i  4e et <  7=  4e   2 2 b.

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c. :   : : <  0 4e     e , donc <  0  e '7  0( > > : 7  0  4e  : Ainsi, B est l’image de A par la rotation de centre O et d’angle . > Le triangle OAB est donc équilatéral. +π 4.CommeDest l’image de C par la rotation de centreOet d’angle , > +: 1 √3  E  0  e 'F  0(, donc E   )   '8(  4√3 ) 4i > 2 2 5.E  4√3 ) 4i  22√3 ) 2, donc E  0  2'<  0( . Dest l’image du pointBpar l’homothétie de centreOet de rapport 2. 6. 0  7 2√3 ) 2i 16√3 π   IJ, IK  arg L   arg    arg    2π E  7 48 2 2√3 ) 6i Le triangleOADest un triangle rectangle en A. Exercice 2 : (3 points) R Q  16  8 1.Pour tout entier naturelP, R , R R  ln' '16( ) ln'8 (  ln'16( ) P ln'8( doncS R Q ( (  ln ln'16  8 . R S S ) P  V S  ln'16( et V  ln'8( , e suite arithmétique. R est de la forme U avec U donc 'S R ( est un Réponse a).  Q  'S ( 2.Si R , alorsS  2'P ) 1( et R diverge. R RW + Q  S  'S ( Si R P ) 1, alors, R et R converge vers 0. RW

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On ne peut donc pas conclure.Réponse c).  Q X 0 S  2'P ) 1( 'S ( 3.Si R , alorsQ R et R . R diverge vers)∞. RW + Q  P ) 1 X 0  'S ( Si R , alorsQ R etS R . R converge vers 0. RW On ne peut donc pas conclure.Réponse c). + 4. '*(4Z(  ln'2  3Z( ln'Z  + + On doit avoirZ  4Z X 0et2  3Z X 0, soit Z'Z  4( X 0 etZ . > Or Z'Z  4( X 0  Z  0 ou Z X 4 . L’ensemble de validité de l’équation est donc ∞; 0 . + + '*(  Z  4Z  2  3Z avec Z  0  Z  Z  2  0 avec Z  0 + ( Z  Z  2  0 Résolvons '*  : . + Le discriminant est ∆ '1(  4  1  '2(  9 X 0 . > W> '* ( Z   1 Z  admet deux solutions réelles distinctes :  et +   2. + + '*( admet donc une unique solution :1.Réponse b). Exercice 3 : (5 points) Partie A :   1._  '*(  _ +  Les solutions de '*( sur`sont les fonctions du typeexp é ZfZ â b , oùbest un réel quelconque. + + 2.a.) hZZ â GZ est dérivable sur`comme fonction polynôme.  Z â  Zest dérivable sur`(comme fonction linéaire) est à valeurs de`. Or sur`, exp est dérivable. Par + îj conposée,Z â $est dérivable sur`. Et par produit,est dérivable sur`. k îj +   QSavec Q'Z(  $ et) hZ S'Z(  GZ . k îj      DoncQSQ S )   avec$ Q 'Z(   et) h S 'Z(  2GZ . k + îj îj îj   ô  + + Pour tout réelZ,N GZ ) é2G  f Z ) h $ 'GZ  'Z(   '2GZ ) h(  $ ) hZ( ) $ k k k + + +  est solution, sur`, de '* ( ssi pour tout réelZ, q q q 1 h + + + + + 2$  GZ ) é2G  f Z ) hŝ ) $ 'GZ ) hZ(  $ 'Z ) 1( 2 2 q q q  soit, $ 4GZ ) 2h  $ 'Z ) 1(, c est  à  dire, 4GZ ) 2h  Z ) 1, car $  0 + + +   Par identification des termes de même degré, on obtient :4G  1et2h  1, soitG eth . û + est la fonction définie sur`par : 1 1 q + + 'Z(  $ L Z ) Z 4 2 b.Soit une fonctiondéfinie et dérivable sur`. îj  est solution de l’équation (E’) si, et seulement si, pour tout réel 'Z ) 1('Z( ) 'Z(  $ Z, 2 , ssi, pour k    tout réelZ, 'Z(  2 'Z( ) 'Z(2 'Z( ) ssi, pour tout réelZ, 2'  ( 'Z( ) '  ('Z(  0 ssi   est solution de '*( .  Ainsi,est solution de '* ( ssi il existe un réelb, tel que pour tout réelZ, 1 1 1 1 q q q q + + 'Z(  'Z(  b$  'Z(  $ L Z ) Z ) b$  'Z(  $ L Z ) Z ) b + + + + 4 2 4 2 Partie B :  1.Qest la composée deZZ â  , strictement décroissante sur`et à valeurs dans`, suivie de la fonction + exponentielle, strictement croissante sur`.

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Qest donc strictement décroissante sur`.  En posantZw   , on a : + { { lim Q'Z(  lim $  )∞ et lim Q'Z(  lim $  0 qy {yW qyW {y 2.Pour tout réelZ, 1 1 1 q q q + + Q'Z(  'Z(  $  $ 'Z ) 2Z(  $ L Z  Z ) 1 + + + 4 4 2 îj   + Q'Z(  'Z( est donc du signe deé Z  Z ) 1f, car0$ X pour tout réelZ. k û +   + Etudions donc le signe de) 1fé Z  Z . û + +    } Le discriminant est4  é f  ) 1  f  1  ∆ é X 0. + û û û   + Le polynôme) 1 Z  Z admet donc deux racines réelles distinctes : û + 1 √5 1 √5  ) 2 2 2 2 Z   √5  1 et Z   +  √5  1 1 1   2 2   + Le signe deé Z  Z ) 1fest donc le suivant : û + Z ∞√5  1√5  1)∞   + Signe deé Z  Z ) 1f  0 + 0 û + Le signe de Q'Z(  'Z( est le même. Ainsi, sur∞; √5  1et sur√5  1; )∞,Γest en-dessous de, et sur√5  1; √5  1,Γest au- dessus de.

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3.

Exercice 4 : (7 points) Partie A :  P '0(  Pour tout entier , R . +  besar le point de c Ainsi toutes les cou R oordonnéespassent p é0; f. + Partie B :Étude de la fonction U . Z { 1. lim '1 ) $ (  lim '1 lim donc, par passage à linverse (  1, ) $ U 'Z(  1 . qyW {y qyW Z { ' ( li ' $ (  )∞, donc, par passage à linve ' lim 1 ) $  lim m 1 ) rse U Z(  0 . qy {yW qy  _  1 )∞ _  0 U admet donc une asymptote d’équation au voisinage de et une asymptote d’équation au voisinage de∞.  q  2. U avec S'Z(  1 ) $ .  q Comme composée deZ  Z, suivie de la fonction exponentielle, toutes deux dérivables sur`,Z  $ q est dérivable sur`. Par conséquent,Z  1 ) $est dérivable sur`. `. Comme cette fonction est strictement positive sur`, par passage à l’inverse, U est dérivable sur     q De plus  avec S 'Z(  $ . U k  îj    'Z(  X 0 Pour tout réelZ, U îj k . 'W (  ` Ainsi U .est strictement croissante sur  e: _   '0('Z  0( ) '0( , soit : 3. a.Comme U est dérivable en 0, la tangent a pour équation 1 1 _  Z ) 4 2 b.Pour tout réelZ, q q q q 1 1 1 1 1 4  Z'1 ) $ (  2'1 ) $ ( Z  Z$  2$ ) 2  U    Z   Z ) 'Z(  L q q q 4 2 1 ) $ 4 2 4'1 ) $ ( 4'1 ) $ (   q Z(  é Z ) f Comme, pour tout réelZ, 4'1 ) $ ( X 0 , la signe de U ' est le même que celui de û + q q q 'Z(  Z  Z$  2$ ) 2  Z ) 2  'Z ) 2($ c.Comme somme et produit de fonctions dérivables sur`,est dérivable sur`, et pour tout réelZ,  q q  'Z(  1  $ ) 'Z ) 2($ De mêmeest dérivable sur`, et pour tout réelZ, - 5 -