Correction du brevet des collèges Polynésie juin

Description

Niveau: Secondaire, Collège, Troisième
[ Correction du brevet des collèges Polynésie juin 2010 \ Durée : 2 heures ACTIVITÉS NUMÉRIQUES 12 points Exercice 1 1. Déterminons le PGCD de 120 et 144 par l'algorithme d'Euclide : PGCD(144 ;120) =PGCD(120 ;24) = 24 144= 1?120+ 24 120= 5?24+0 Le plus grand diviseur commun de 144 et 120 est 24. 2. Un vendeur possède un stock de 120 flacons de parfum au tiare et de 144 savonnettes au monoï. Le nombre de flacons de parfum au tiare et de savonnettes doit le même dans chaque coffret et tous les flacons et savonnettes doivent être utilisés, donc on recherche un diviseur commun à 144 et 120. Il veut confectionner le plus grand nombre de coffrets donc on recherche le PGCD de 144 et 120. D'après la question précédente, il faudra 24 coffrets à préparer. 144 : 24= 6 et 120 : 24= 5 donc chaque coffret contiendra 6 savonnettes et 5 flacons de parfum . 3. L'algorithme des soustractions successives permet de trouver le PGCD de deux entiers donnés. Il utilise la propriété suivante : « a et b étant deux entiers positifs tels que a supérieur à b, PGCD (a ; b) = PGCD (b ; a?b). » Sur un tableur, Heiarii a créé cette feuille de calcul pour trouver le PGCD de 2277 et 1449.

• aire en cm2 du triangle bla


• réponse exacte


• vitesse moyenne de ferryvogue


• représentation graphique


• moyenne des salaires


• rectangle efgh

Sujets

• brevet des collèges
• Thalès
• Représentation graphique

Informations

• Publié par: apmep
• Publié le: 01 juin 2010
• Nombre de lectures: 897
• Langue: Français

Extrait

[CorrectiondubrevetdescollègesPolynésiejuin2010\
Durée:2heures
ACTIVITÉSNUMÉRIQUES 12points
Exercice1
1. DéterminonslePGCDde120et144parl’algorithmed’Euclide:
PGCD(144;120) 144=1×120+ 24
=PGCD(120;24) 120=5×24+0
= 24
Leplusgranddiviseurcommunde144et120est24.
2. Unvendeurpossèdeunstockde120flaconsdeparfumautiareetde144savonnettesaumonoï.
Le nombre de flacons de parfum au tiare et de savonnettes doit le même dans chaque coffret et tous les flacons et
savonnettesdoiventêtreutilisés,donconrechercheundiviseurcommunà144et120.
IlveutconfectionnerleplusgrandnombredecoffretsdonconrecherchelePGCDde144et120.
D’aprèslaquestionprécédente,ilfaudra24coffretsàpréparer.
144:24=6et120:24=5doncchaquecoffretcontiendra 6savonnetteset5flaconsdeparfum .
3. L’algorithmedessoustractionssuccessivespermetdetrouverlePGCDdedeuxentiersdonnés.
Ilutiliselapropriétésuivante:
«a etb étantdeuxentierspositifstelsque a supérieuràb,
PGCD(a ; b)=PGCD(b ; a−b).»
Suruntableur,HeiariiacréécettefeuilledecalculpourtrouverlePGCDde2277et1449.
A B C
1 a b a−b
2 2277 1449 828
3 1449 828 621
4 828 621 207
5 621 207 414
6 414 207 207
7 207 207 0
a. Enutilisantsafeuilledecalcul,lePGCDde2277et1449est 207 (dernièredifférencenonnulle).
b. LaformuleécritedanslacelluleC2pourobtenirlerésultatindiquédanscettecelluleparletableurest =A2-B2
Exercice2
Surlemanège«Caroussel»,ilyaquatrechevaux,deuxânes,uncoq,deuxlionsetunevache.Ilyadonc4+2+1+2+1= 10
animaux.
Surchaqueanimal,ilyauneplace.Vaites’assoit-auhasardsurlemanège.
4 2
1. Laprobabilitéqu’ellemontesurunchevalest =
10 5
2. Onconsidèrelesévènementssuivants:
A :«Vaitemontesurunâne.»
C :«Vaitemontesuruncoq.»Brevetdescollèges A.P.M.E.P.
L :«Vaitemontesurunlion.»
³ ´ 10−2 8 4
a. L’évènement nonL est:«Vaitenemontepassurunlion.»etacommeprobabilité p L = = =
10 10 5
b. La probabilité del’évènement A ouC est p(AouC)=p(A)+p(C)car les évènements sont disjoints (ou incom-
patibles),carVaitenepeutpasmontersurdeuxanimauxàlafois!!!
2 1 3
Doncp(AouC)=p(A)+p(C)= + =
10 10 10
Exercice3
HitietKalusontdeuxentreprisesdecentpersonnesquiontfaitparaîtrelesinformationssuivantes:
Salairemoyen EntrepriseHiti EntrepriseKalu Effectif EntrepriseHiti EntrepriseKalu
enfrancs Hommes/
Femmes
Hommes 168000 180000 Hommes 50 20
Femmes 120000 132000 Femmes 50 80
Calculonslamoyennedessalairesdansl’entrepriseHiti:
168000×50+120000×50 14400000
= =144000soit 144000 francs.
50+50 100
Calculonslamoyennedessalairesdansl’entrepriseKalu:
180000×20+132000×80 14160000
= =141600soit 141600 francs.
20+80 100
Kévinatort.Enmoyenne,onestmieuxpayéchezHiti!
ACTIVITÉSGÉOMÉTRIQUES 12points
Exercice1
Lafigureci-contren’estpasenvraiegrandeur. A
L’unitédelongueurestlecentimètre.
GH K
DansletriangleABC,oninscritunrectangleEFGHoù
Hestsur[AB],Gsur[AC],EetFsur[BC].
Dans le triangle ABC, L est sur [BC] et (AL) est la hau-
teurissuedeA.(AL)coupe[GH]enK.
On donne BC = 14 cm, AL = 6 cm et AK= x cm où x
désigneunnombrepositif
B E L F C
PARTIE1:Danscettepartie,onseplacedanslecasparticulierouBL=4,8cmetx=1cm.
1. Figureenvraiegrandeur.
¡ ¢BL×LA 4,8×62 22. L’aireencm dutriangleBLAest = =4,8×3=14,4 cm
2 2
3. Onsouhaitejustifier quelesdroites(HG)et(BC)sontparallèles. Lapropriétéquipermet cettejustification est«Siun
quadrilatèreestunrectanglealorssescôtésopposéssontparallèlesdeuxàdeux.»
4. DanslerectangleEFGH,lesdroites(HK)et(EF)sontparallèles,or(EF)=(BL)donc(HK)//(BL).
Depluslesdroites(BH)et(LK)sontsécantesenA.
D’aprèslethéorèmedeThalès,ona:
AH AK HK
= =
AB AL BL
1 HK 1×4,8
Donc = ,puisHK= =0,8(cm)
6 4,8 6
Lesegment[HK]mesure 0,8(cm) .
PARTIE2:Danscettepartie,onseplacedanslecasgénéraloùBLetx nesontpasconnus.
Polynésie 2 juin2010,CorrigéparV-EDubauBrevetdescollèges A.P.M.E.P.
1. LespointsA,K,Létantalignés,lalongueurKLvaut(6−x)cm.
2. On déplace le point K sur le segment [AL]. L’utilisation d’un tableur a permis d’obtenir les longueurs KL et HG pour
différentesvaleursdex.
x 0,6 1,5 1,8 2,1 4,2 4,5 5,1
KL 5,4 4,5 4,2 3,9 1,8 1,5 0,9
HG 1,4 3,5 4,2 4,9 9,8 10,5 11,9
a. Parunesimplelecturedetableau,KL=1,5cmetHG=10,5cmpour x égalà4,5cm.
b. Pour x=1,8onal’égalitéKL=HG=4,2cm.
Danscecas,lequadrilatèreEFGHestuncarré.
Exercice2
Cetexerciceestunquestionnaireàchoixmultiples.Aucunejustificationn’estdemandée.
Pourchaquequestion,quatreréponsessontproposées,maisuneseuleestexacte.
ÉcriresurvotrecopielenumérodelaquestionetlaréponseexacteA,B,CouDchoisie.
RéponseA RéponseB RéponseC RéponseD
1. IJK est un triangle rec- 12,96cm 3,6cm 1,8cm 5,2cm
tangleenItelque:
IK = 2,7 cm et KJ =
4,5cm.Quelleestlalon-
gueurducôté[IJ]?
2. On rappelle la formule 13,2π 150 47π 47,916π
du volume d’une boule
derayonr :
4 3V = ×π×r . Le vo-
3
3lume exact en cm
d’uneballedetennis de
3,3cmderayonest:
3. Dans le cube ABC- losange carré rectangle parallélépipède
DEFGH, le quadri- rectangle
latère ADGF est un :
H
G
E
F
D
C
A
B
PROBLÈME 12points
PARTIEA
Une compagnie de transport maritime met à disposition deux bateaux appelés CatamaranExpress et FerryVogue pour une
traverséeinter-îlesde17kilomètres.
1. LepremierdépartdeCatamaranExpressestà5h45minpourunearrivéeà6h15min,doncletrajetdure0,5h
17km
Savitessemoyenneestdonc = 34km/h .
0,5h
Polynésie 3 juin2010,CorrigéparV-EDubauBrevetdescollèges A.P.M.E.P.
2. LavitessemoyennedeFerryVogueestde20km/h.
17km 17
Laduréeduvoyageest: = h=0,85h=0,85×60min=51min.
−1 2020km.h
S’ilquittelequaià6h,ilarriveraà 6h51min .
PARTIEB
OndonneendocumentannexelesreprésentationsgraphiquesC etC dedeuxfonctions.1 2
L’uned’entreellesestlareprésentationgraphiqued’unefonctionaffine g définiepar:
g(x)=1000x+6000
Àl’aidedugraphique,répondreauxquestionssuivantesenfaisantapparaîtrelestracésnécessairesàlalecturegraphique.
1. LescoordonnéesdupointEsemblentêtreE(7;21000)(voirlespointilléssurlafigure).
2. Les abscisses des points d’intersection des deux représentations graphiques semblent être 3 et 15 (voir les pointillés
surlafigure).
3. g estunefonctionaffinedoncsacourbeestunedroite.Doncc’estlacourbeC2
4. L’imagede12parlafonction g sembleêtre 18000 .Vérifionsencalculant g(12):
g(12)=1000×12+6000=12000+6000= 18000
5. L’antécédentde15000parlafonction g sembleêtre 9 .Retrouvonscerésultatenrésolvantl’équation:
1000x+6000 = 15000
1000x = 15000−6000
9000
x =
1000
x = 9
PARTIEC
Lacompagniedetransportmaritimeproposetroistarifspourunvoyagequelquesoitlebateauchoisi:
• TarifM:onpaie2500francschaquevoyage.
• TarifN:onpaieunecartemensuelleà6000francsauquels’ajoute1000francspourchaquevoyage.
• Tarif P :onpaie 3000 francs par voyagejusqu’au septième voyagepuis oneffectue gratuitement les autres traversées
jusqu’àlafindumois.
1. Lesprixàpayerenfonctiondunombredevoyages,avecdeuxdecestarifs,sontreprésentésparlescourbesC etC .1 2
CourbeC :TarifP1
CourbeC :TarifN2
2. La fonction f définie par : f : x7?→ 2500x est une fonction linéaire, donc sa courbe représentative est une droite
passantparl’originedurepère.
Deplus f(10)=25000doncC passeparlepointdecoordonnées(10, 25000).Voirlegraphique.f
3. Pourunnombredevoyagescomprisentre4et15,letarifNestplusavantageux quelesdeuxautres(voirlaflèchesur
legraphique).
Polynésie 4 juin2010,CorrigéparV-EDubauBrevetdescollèges A.P.M.E.P.
Annexeàrendreaveclacopie
Prixàpayer
C =C3 f
26000
C =C2 g24000
22000
E
C120000
18000
16000
14000
12000
TarifNleplusavantageux10000
8000
6000
4000
2000
Nombredevoyages
0
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
Polynésie 5 juin2010,CorrigéparV-EDubau