Applications des équations locales en mécanique des fluides

Alain Robichon

Description

APPLICATIONS DES ÉQUATIONS LOCALES. Page 1 sur 13 QUELQUES APPLICATIONS DES ÉQUATIONS LOCALES DE LA DYNAMIQUE DES FLUIDES. I : Rappels des connaissances nécessaires. 1°) Les outils mathématiques. ? Formulation eulérienne du champ des accélérations. = + ( )( )t Dv v v grad vDt ? ? ? . Une autre expression de l'opérateur ? ?v grad v? : 21( ) ( )2v grad v grad v rot v v? ?? ? ? ?? ?? ? . 2°) Les équations fondamentales. ? L'équation de conservation de la masse : ( ) 0div vt ? ?? ? ?? . ? Cas d'un écoulement incompressible : le champ des vitesses satisfait à : ( ) 0div v ? . ? L'équation de Navier – Stokes pour un fluide visqueux newtonien incompressible dans le champ de pesanteur : ( ) ( )Dv grad P g vDt? ? ?? ? ? ? ? . ? L'équation d'Euler pour l'écoulement parfait d'un fluide non visqueux dans le champ de pesanteur : ( )Dv grad P gDt? ?? ? ? . ? Forme simple de la relation de Bernoulli : Pour deux points A et B d'une même ligne de courant, dans un écoulement parfait et stationnaire d'un fluide incompressible soumis au seul champ de pesanteur uni- forme, on a : 2 2 2 2 A A B B A B P v P vgz gz? ?? ? ? ? ? .

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Sujets

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Extrait

APPLICATIONS DES ÉQUATIONS LOCALES.
QUELQUES APPLICATIONS DES ÉQUATIONS LOCALES DE LA
DYNAMIQUE DES FLUIDES.
I : Rappels des connaissances nécessaires.
1°) Les outils mathématiques.
Dv v
 Formulation eulérienne du champ des accélérations. = + (v grad)(v) .
Dt  t
12 Une autre expression de l’opérateur v grad v : v grad(v)  grad v rot(v) v .   
2

2°) Les équations fondamentales.
 
 L’équation de conservation de la masse : div( v) 0 .
t
 Cas d’un écoulement incompressible : le champ des vitesses satisfait à : div(v)  0 .
 L’équation de Navier – Stokes pour un fluide visqueux newtonien incompressible
Dv
dans le champ de pesanteur :   grad(P)  g   (v) .
Dt
 L’équation d’Euler pour l’écoulement parfait d’un fluide non visqueux dans le
Dv
champ de pesanteur :  grad()P  g .
Dt
 Forme simple de la relation de Bernoulli :
Pour deux points A et B d’une même ligne de courant, dans un écoulement parfait et
stationnaire d’un fluide incompressible soumis au seul champ de pesanteur uni-
22P v P vA A B Bforme, on a : gz   gz  . AB

 Forme étendue de la relation de Bernoulli :
Dans un écoulement parfait, stationnaire et irrotationnel d'un fluide incompressible, sou-
2
v
P gz  Cmis au seul champ de pesanteur uniforme, la quantité: a même valeur
2
en tout point de l’écoulement.

II : Les cas incontournables.
1°) Écoulement de Poiseuille d’un fluide incompressible et visqueux.
On appelle écoulement de Poiseuille un écoulement laminaire et stationnaire d’un fluide
visqueux, limité par une paroi immobile cylindrique, de section quelconque.
On considère un fluide visqueux, de viscosité dynamique   incompressible de masse volu-
mique . Ce fluide est supposé newtonien et on admet que l’écoulement est régi par l’équation
locale de Navier – Stokes.

 Donner une forme simplifiée de l’équation de Navier – Stokes dans le cas d’un écoulement
stationnaire en négligeant les effets de la pesanteur. (éqn (1)).

 L’écoulement précédent se fait à l’intérieur d’un cylindre d’axe Oz et de section de forme
quelconque. On suppose que les lignes de courant sont parallèles à Oz.
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On raisonnera au départ dans un système de coordonnées cartésiennes x,y,z.
- Montrer que v a même valeur tout le long d’une ligne de courant.
- Monte la pression a même valeur en tout point d’un plan de section droite.
- Montrer que, le long d’une ligne de courant, P a un gradient constant.

 On considère maintenant une conduite cylindrique de révolution de rayon a. On établit
entre deux sections droites distantes de z – z = L une différence de pression P = P – P dé-2 1 2 1
terminée.
Préciser la vitesse du fluide au niveau de la paroi de la conduite v(r=a).
Montrer que la loi de distribution de la vitesse v(r) à l’intérieur d’une section droite s’écrit :
2 2r a P P 12v(r)v 1 , avec v  .
0 02a 4 L

 PP  412Da Montrer que le débit masse de la conduite s’écrit : (loi de Poiseuille).
m
8  L
On notera que le débit est proportionnel à la puissance quatrième du
diamètre de la conduite.

 Dans la limite du fluide parfait, justifiez à partir de la loi de Poiseuille, qu’il ne peut pas y
avoir de gradient de pression le long de la conduite.
Retrouver ce résultat directement à partir de l’équation d’Euler d’une part, et d’une relation
de Bernoulli d’autre part.

 Établir une analogie entre la loi de Poiseuille et la loi d’Ohm : I = G.(V – V ) exprimée 1 2
pour un conducteur électrique cylindrique. Faites apparaître néanmoins une différence entre
ces deux lois en comparant la mise en parallèle des conducteurs électriques et celle des con-
duites de fluide.

2°) Écoulement parfait et stationnaire d’un fluide incompressible.
 Formule de Torricelli.

PA 0 0 Soit l'écoulement d'un liquide de masse volumique  contenu z0
S dans un récipient à travers un orifice de petites dimensions. La vis-
cosité du liquide est négligeable compte tenu des conditions de
P A 0l’écoulement, z
L'expérience montre que tout le liquide participe à l'écoulement 
de sorte qu'on peut trouver, en particulier une ligne de courant par-
tant d'un point A de la surface libre. On cherche la vitesse v du liquide en A. 0 A
Soit S la section du récipient au niveau de la surface libre et  la section de l'écoulement au
niveau de l'orifice.
On note v la vitesse au point A et h = z - z la dénivellation entre A et A. 0 0 0 0
Si l'orifice est petit, l'écoulement est lent et on peut raisonnablement supposer qu'à chaque
instant le régime d'écoulement est pratiquement stationnaire.

 Préciser 4 caractéristiques fondamentales de cet écoulement.

 Écrire la relation de Bernoulli sur la ligne de courant A A et établir une première équa-0
tion liant v , v , g et h. 0 A

 Que peut-on dire du débit volume pour cet écoulement ? En déduire une autre relation
entre v et v . exprimer enfin v en fonction des données (g, h, S et ). A 0 A
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On retient :
En considérant que  << S on obtient la vitesse en A (dans la section con-
v 2ghtractée de l'écoulement), donnée par la relation: (c'est la vitesse de A
chute libre depuis une hauteur h).
Ce résultat est connu sous le nom de formule de Torricelli.

 Phénomène de Venturi.
Les relations de Bernoulli montrent que les régions de grande vitesse sont des régions de
basse pression et réciproquement. C'est ce que met en évidence le phénomène de Venturi :


Le tube de venturi (figure ci-dessus) permet de mesurer un débit connaissant la différence
de pression entre A et B. On note S et S les sections du tube au niveau des points A (zone 1) A B
et B (zone 2 d’étranglement), v et v les vitesses du fluide au niveau de ces sections. A B

 Écrire la relation de Bernoulli sur la ligne de courant liant les points A et B (z = z ) A B

 Quelle autre relation existe-t-il entre v et v ? A B

Soit h la dénivellation entre D et C (ou C') du liquide manométrique, de masse volumique  . 0
 Quelle relation existe-t-il entre P et P d’une part et P et P d’autre part ? A C C D

2( - )gh0D = S S En déduire que le débit de volume s’écrit : . v A B 22SS -  AB

3°) Oscillations d’un liquide dans un tube en U.
Jusqu’à maintenant, pour intégrer les équations du mouvement, on avait supposé

l’écoulement stationnaire, ce qui avait permis d’écrire = 0. Dans certains cas simples, on
t
peut encore procéder à l’intégration, même quand cette permanence n’existe plus, en inté-
grant l’équation d’Euler le long d’une même ligne de courant, à un instant t donné.

Considérons un tube en U, de section constante S, placé z
dans un plan vertical, au repos par rapport au référentiel
B d’étude terrestre supposé galiléen. z(t)
Il contient un volume V = S.L d’un liquide incompres- Niveau à
0  l’équilibre sible de masse volumique  On note g l’accélération de la A -z(t)
pesanteur en ce lieu.
A l’équilibre, les deux surfaces libres du liquide dans les
deux branches sont à une même altitude choisie comme ori-
gine d’un axe Oz vertical ascendant.

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Il est facile de faire osciller ce liquide : calculons la période T de ces oscillations.

L’écoulement est supposé parfait (ce qui revient à négliger les forces de frottement intérieur
dues à la viscosité du liquide et les forces de tension superficielle).
Le liquide se comporte de la même façon que dans un tube de courant où la vitesse v est uni-
forme dans toute la section, et même, dans toute la colonne de longueur L (car  = Cste).
dz  En tout point M du fluide, on a v(M ,t)  e , où e est le vecteur unitaire suivant la tan-t t
dt
gente orientée à la ligne de courant passant par M.

 Intégrer l’équation d’Euler, à une date t donnée, le long de la ligne de courant AB.
B BB 2vP
Soit s l’abscisse curviligne, avec ds  L . Établir l’équation : Lz    gz .  2 A AA

2g
zz 0 En déduire l’équation différentielle cherchée : .
L
Préciser les caractéristiques du mouvem