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L'ÉPREUVE PRATIQUE
DE MATHÉMATIQUES DU BACCALAURÉAT S
(EXPÉRIMENTATION2007/2008)

Corrigés des sujets avec la calculatrice ClassPad 330
Par Jean-Michel FERRARD

www.casio-education.fr

L’´epreuvepratiquedemath´ematiques
aubaccalaure´atS
(expe´rimentation2007/2008)
Corrige´sdesexercices
avec la calculatrice Classpad de CASIO

JeanMichel Ferrard,
Professeurdemathe´matiquesaulyc´eeSaintLouis
44 boulevard SaintMichel, 75006 Paris
´
Pour Casio Education, www.casioeducation.fr

Lafuturee´preuvepratiqueauBacS,avecleClasspad300deCASIO

Pendantl’anne´e2006/2007,uneexpe´rimentations’estmiseenplace,danscertainesclassesde
TerminaleS,pourpr´eparer`alafuture´epreuvepratiquedemathe´matiquesaubaccalaure´atS.
Cetteexp´erimentations’estg´en´eralise´een2007/2008.
Ontrouveraicilese´nonce´s(“fiches´ele`ves”)etmes“propositionsdecorrig´e”des25sujetsqui
ontservidesupport`al’exp´erimentationcetteanne´e.
Pourr´edigercescorrig´es,j’aiutilise´lacalculatriceClasspaddeCasio,commejel’avaisfait
pourlesexercicesdel’expe´rimentation2006/2007.
Cellecir´epondparfaitement`acequiestdemand´edanslatr`esgrandemajorit´edes25exercices,
notammentbiensˆurencequiconcerneleurpartieexpe´rimentale.
Lessujets029,033,062et072fontexceptioncarilsn´ecessitentl’utilisationd’unlogicielde
g´eome´triedansl’espace.Pourlesujet029,jeproposetoutdemˆemeuneconstructionenpers
pectivecavali`ere(quivaaudela`decequiestdemand´e`al’´el`eve).Pourcesquatresujets,je
donneunesolutioncompl`eteutilisantlecalculformelduClasspad.
J’espe`requecedocument,quimontrequeleClasspadr´epondauxexigencesdelafuturee´preuve
pratique,aiderales´ele`vesetleursprofesseursdansleurpr´eparation.

Sujet
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JeanMichel Ferrard

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Etude d’un jeu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . page 2
Tangentes`adeuxcourbes.................................................page8
Suitesassoci´ees..........................................................page12
Marcheale´atoire.........................................................page17
´
Etude de flux de populations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . page 24
Distanced’unpointa`unecourbe........................................page28
´
Etude d’un lieu de points . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . page 32
Recherched’unlieug´eome´trique.........................................page36
Positions relatives dans une configuration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . page 40
Courbesete´quations.....................................................page44
Optimisation dans l’espace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . page 50
Comportementd’unesuitere´currente....................................page58
Sectionplaned’unt´etra`edre,optimisationd’unedistance.................page63
Cercles et similitudes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . page 67
Suited´efinieparunemoyennearithm´etique..............................page72
Pointse´quidistantsd’unedroiteetd’unpoint............................page78
T´etrae`dretrirectangle....................................................page81
Restes modulo p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . page 85
Suiteale´atoire...........................................................page89
Calculapproch´ed’uneinte´grale..........................................page94
´
Etudededeuxlieuxge´ome´triques........................................page98
´
Etude du reste d’une division euclidienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . page 103
´
Etudedelieuxge´ome´triques............................................page108
Triangleinscritdansunecourbedonn´ee.................................page112
Solutions d’une relation de congruence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . page 118

Page 1

Sujet 003

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Enonc´e

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Epreuvepratiquedemathe´matiquesauBacS
(exp´erimentation2007/2008)

´
Etude d’un jeu

Fichee´l`eve

Onlancetroisd´esbien´equilibr´esdontlessixfacessontnum´erot´eesde1a`6.
Alice et Bob calculent la somme des trois nombres obtenus.
Silasommeobtenueest´egalea`9,Alicegagne.
Silasommeobtenueeste´galea`10,Bobgagne.
Danstouslesautrescas,lapartieestannul´ee.
Lebutdel’exerciceestdede´terminerqui,d’AliceoudeBob,alaplusgrandeprobabilit´ede
gagner.

´
Etudeexpe´rimentale

1.Suruntableur,r´ealiserunesimulationdecetteexp´erienceale´atoire.
Appeler l’examinateur pour valider cette simulation.

2.Suruntableur,re´aliserunesimulationsurun´echantillondetaille1000decetteexp´erience
ale´atoireetde´terminer,pourcettesimulation,lesfre´quencesdere´ussiterespectivesd’Alice
et de Bob.
Appeler l’examinateur pour valider la feuille de calcul construite.

3.Estilpossibledeconjecturerqui,d’AliceoudeBob,alaplusgrandeprobabilit´ede
gagner ?

Appelerl’examinateurpourluifournircetter´eponseetlui
indiquerlesme´thodespr´evuespourlesd´emonstrationsquisuivent.

´
Etudemathe´matique

Onsouhaitemaintenantcalculerlaprobabilite´degagnerd’AliceetdeBob.
4.Re´pondreauxdeuxquestionssuivantes(dansn’importequelordre):
–Calculerlaprobabilite´degagnerd’AliceetdeBob.
–Qui,d’AliceoudeBob,alaplusgrandeprobabilite´degagner?

Productiondemand´ee
– Bilan de la simulation de la question 2 ;
–R´eponseorale`alaquestion3;
–R´eponsesargument´ees`alaquestion4.

Page 2

Sujet 003

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Epreuvepratiquedemath´ematiquesauBacS
(expe´rimentation2007/2008)

Propositiondecorrige´avecleClasspad

´
Etudeexp´erimentale

Corrig´e

1.Onentredansl’application“Tableur”(icˆone).
On vide au besoin le contenu de la feuille de travail (Edit/Tout effacer).
≪ ≫
Dans le menuEditnnlefanoe´eltcoi,onsioctnlimpecr´llehRee(fig1).
≪ ≫
Cette fonction permet de remplir les cellules d’une zone rectangulaire au moyen d’une
meˆmeformule.Onplaceicilaformule=rand(1,6)ertienunntmereo(iquirenvoieal´eat
de1a`6)danslazonerectangulaireA1:A3isroempruresstlesengaledre`iilsedrita`’cse,
premi`erecolonneA(fig2).
Lere´sultatestuner´ealisationdel’exp´erienceale´atoire(fig3).

fig1 : on doit ici
fonction “Remplir

choisir la
´echelle”

fig2:laformulea`e´tendre
sur les cellulesA1,A2,A3

fig3:voiciunere´alisationde
l’exp´erienceale´atoire

On place ensuite le curseur sur la celluleA5, dans laquelle on entre la formule=A1+A2+A3.
Oncalculeainsilasommedesr´esultatsamen´esparlestroisde´s.
Uniquementdansunsoucidedocumenterunpeuplusler´esultat,onplacelecurseursur
A6et on y place la formule=cellif(A5=9,"Alice",cellif(A5=10,"Bob","Nul")).
Lere´sultatdecetteformuleestlachaıˆnedecaracte`res“Alice”silecontenudeA5vaut
9,lachaıˆne“Bob”s’ilvaut10,etlachaˆıne“Nul”danstouslesautrescas.
Onvoit(fig4)lere´sultatavecl’exp´eriencer´ealis´eepre´c´edemment(Alicegagne).
Il suffit ensuite de choisir la fonctionFich/Recalculereire.ecnoprunoreeluvl’erp´ex
≪ ≫
On voit (fig5) et (fig6) deux autres cas possibles (une partie nulle et un gain de Bob).

JeanMichel Ferrard

fig4 fig5 fig6
Troisre´sultatsinde´pendantsdel’expe´rienceal´eatoire

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Page 3

Sujet 003

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Epreuvepratiquedemathe´matiquesauBacS
(exp´erimentation2007/2008)

Corrig´e

2.Pourr´ealiserunesimulationsurun´echantillondetaille1000del’expe´rienceal´eatoire,il
faudrait copier les formules contenues dans la colonneAsur les 999 colonnes suivantes.
Celaexce`delescapacit´esd’unecalculatrice,etdetoutesfac¸onsceseraittr`esfastidieux.
Commenc¸onsparfaireunpetitnombred’expe´riencessimultan´ees.Contentonsnousde
huitexp´eriences`alafois,toutesvisiblessurlemeˆmee´cran.
Lame´thodeutilise´eiciillustre`aquelpointlestyletduClasspadapporteungrandconfort
d’utilisation.
Ons´electionnedonclecontenudelacolonneA, de la celluleA1cajleulelsuuq`’laA6(placer
le stylet surA1nrl’seuec’´nljireagqeurussselsiriafupA6).
Onrele`velestyletpourlereposerensuitesurlazonese´lectionn´ee,puisontirecette
≪ ≫
zone vers la celluleB1. Cela a pour effet de placer deB1a`B6taoidnenuouenllve´eerisal
l’expe´rienceal´eatoire.
La zoneB1:B6tnate´nateinmaecels´nt´neeitnouelto,pnopiearecrsurC1:C6, puis effectuer
une nouvelle copie surD1:D6.
`
Acestade,ondisposedequatrere´alisationsinde´pendantesdel’exp´erienceal´eatoire(avec
Edit/Largeur de colonneonr´egleralalauegrsedrolocsennAa`Dsur 27 pixels, par
≪ ≫
exemple,pourbienvoirlesquatreexpe´riences).
Onse´lectionneenfinlazonequivadeA1`aD6partet`astyleclealriedvaeipocalnote
celluleA8.)sere`ins(ind´ealisatiodsserpmeepdnnaetintaqusiobOnentiellee´rsertavuon
del’expe´rienceal´eatoire.
`≪ ≫
A chaqueFich/Recalculerdnnaet.snsim,o8eluvuonellepxesri´eceenndsipe´e

fig7 fig8 fig9
Troissimulationsdehuitissuesinde´pendantesdel’exp´erienceal´eatoire

Comme on le voit cidessus, il semble bien que l’issue la plus probable soit une partie
nulle.
Riennepermetenrevanche,vulepetitnombred’expe´riencesr´ealise´esici,depr´evoirqui
d’Alice ou de Bob a le plus de chances de l’emporter.

JeanMichel Ferrard

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Sujet 003

´
Epreuvepratiquedemathe´matiquesauBacS
(expe´rimentation2007/2008)

Corrige´

Nousallonsmaintenantvoiruneme´thodepermettantdesimulerles1000expe´riences
simultan´eessurleClasspad.Celapasseparuneastucedecodageetparl’´ecritured’une
fonction dans l’environnement de calcul formel.
Onvacoderunepartienulleparler´eel0,ungaind’Aliceparler´eel1,etungaindeBob
parler´eel0.usenenetteobntnae,enajoutantles100r0e´ustltaostb00tteced:1re`iname
par exemple 114.31131e´ngagaboBeuqt,eisfolAciqa’uasru,1noois,114fgn´eeaga
qu’il y a donc eu 1000−114−131 = 755 parties nulles.

–Dansl’application,ond´efinitlafonctionresultpar l’instruction :
Define result(s)=piecewise(s=9,1,piecewise(s=10,0.001,0))
Cette fonction convertit la sommes0lnesdoce0egauo1,dse´rtiodse.001.

– Dans l’application , on ouvre une nouvelle feuille de calcul (Fich/Nouveau).
≪ ≫
AvecelleR/medEtie´hclprion copie=result(rand(1,6)+rand(1,6)+rand(1,6))
≪ ≫
dans les cellules deA1a`A500mˆemtelansuipieeedumelfero.ocnOB1a`B500(ou on
faitunglisserde´poserdelacolonneAvers la colonneBavec le stylet).
On dispose ainsi d’une zoneA1:B5000100edreeixe´pind´ncesdantepen.se
– Dans les cellulesC1,C3,C5on place les chaˆınesAlice,BobetNul.
≪ ≫ ≪ ≫ ≪ ≫
– DansC2, on place la formule=intg(sum(A1:B500))rbmosedennodneleuiqucc`es
d’Aliceaucoursdes1000expe´riences.
– DansC4, on place la formule=mod(1000*sum(A1:B500),1000)qui donne le nombre de
succ`esdeBobaucoursdes1000exp´eriences.
– DansC6, on place la formule=1000C2C4qui donne le nombre de parties nulles au
coursdes1000exp´eriences.
Onaproc´ede´icia`trois“rafraˆıchissements”del’e´cran(Fich/Recalculerereani`)dem
≪ ≫
a`simuler,troisfoisdesuite,les1000expe´riencessuccessives(fig10,11,12).

JeanMichel Ferrard

fig10 fig11 fig12
3×ae´laeotrie10r00su´etatldnisepe´nadndetsexl’erp´ncie

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Sujet 003

´
Epreuvepratiquedemathe´matiquesauBacS
(exp´erimentation2007/2008)

3. On voit qu’il n’est pas facile de soupeser les chances respectives d’Alice et de Bob.
Onpeutmeˆmesedemandersilapartiequ’iljouentn’estpas´equilibre´e...

´
Etudemathe´matique

Corrige´

4.Pourcalculerlaprobabilite´d’obtenirunecertainesommesnclasierltmu´eanolduedsr
troisd´es,ilestpre´fe´rabledeconside´rerquecestroisde´ssontdiscernables(ou,cequi
revientaumeˆme,qu’unseuld´eestlance´troisfoisdesuite).
3 3
Decettemani`ere,uneissuedel’expe´rienceestuntriplet(i, j, k) de[1,6], et les 6 issues
possiblessonte´quiprobables.
Si on noteD1, D2, D3estroisd´es(cesvraailbselae´taiole´esrltsurstaovnese´ylrapsre
ind´ependantessuiventuneloiuniformediscre`tesur{1,2, . . . ,6}erlaa`e´utid)cnoe,hcreh
loi deS=D1+D2+D3omacrepaems´t`enrpsuice´,lpterp(S= 9) etp(S= 10).
OnabiensˆurS(Ω) ={3,4, . . . ,18}.
1
3
Pour toutsdeS(Ω), on ap(S=s) = Card({(i, j, k)∈[1,6], i+j+k=s}).
216
3
Il s’agit donc de calculer combien de triplets (i, j, k) de[1,6]´evntfierii+j+k=s, avec
stnemma´ntnoondte,es= 9 ets= 10.
Onpeutlesd´enombrer“a`lamain”,mˆemesic’estunpeufastidieux.
Par exemple, pours= 9, on trouve 25 triplets solutions :
(1,2,6),(1,3,5),(1,4,4),(1,5,3),(1,6,2),(2,1,6). . ,, . (6,2,1)

Demeˆme,pours= 10, on trouve 27 triplets solutions :
(1,3,6),(1,4,5),(1,5,4),(1,6,3),(2,2,6), . . . ,(6,3,1)
25 27 1
Ainsip(s= 9) =≈0.116 etp(s= = 0= 9) = .125.
616 616 8

Conclusion:lapartieestplusfarovablea`Bobqu’a`Alice.

Ilestfaciled’´ecrireunprogrammedonnantlenombredetri
3
plets (i, j, k) de[1,6]netquiv´erifii+j+k=s, pour toutes
les valeurs desdans{1,18}.
Leprogrammecicontre(quineprendpasd’arguments)cr´ee
une triple boucle sur les entiersi, j, kde[1,6].
Aud´epart,onacre´e´unelisteLde longueur 18, de coefficients
touse´gauxa`0.Pourchaquevaleurdes=i+j+k, on
incre´mentelecoefficientsitue´enpositionsdans la listeL.
`
A la fin, le programme affiche la listeL.
On trouve :
L={0,0,1,3,6,10,15,21,25,27,27,25,21,15,10,6,3,1}
L[9] 25
Par exemplep(s= 9) = = .
216 216

JeanMichel Ferrard

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fig13 : le programmeds´e

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Sujet 003

´
Epreuvepratiquedemath´ematiquesauBacS
(exp´erimentation2007/2008)

Corrig´e

Quelques remarques
–Enmodifiantl´ege`rementleprogrammese´d, on peut lui faire afficher les triplets (i, j, k) tels
quei+j+k=s(avecsdoe´nnraneemug.)tn
Voici le listing du programme2sde´striplets(fi(quau4)g1´eadonel’de´dnamelrehcffiai, j, k)
tels quei+j+k= 7 (fig15 et fig16, il y a 15 solutions).

fig14

fig15
Un exemple d’utilisation du programme2se´d

fig16

– On observe que pour toutkde{3, . . . ,18}, on ap(S=k) =p(S= 21−k).
Cettesyme´triedanslesvaleursdep(S=kleuqecedvsiortse)leouecd´ersblesariaatoial´e
′ ′ ′
X= 7−X1,X= 7−X2etX= 7−X3odiunennceltlpmo(q´rseluatst´ementaire`a7des
1 2 3
destroisde´s)suiventellesaussiuneloiuniformediscre`tesur{1, . . . ,6}.
′ ′ ′ ′
= 21−Ss
Les variablesS=X1+X2+X3etS=X+X+X3eloi.nclamˆemiuevtnod
1 2
–Ilyaautantdefa¸consdede´composer9et10enlasommedetroisentiersde{1, . . . ,6}.

9 = 1 + 2 + 6 = 1 + 3 + 5 = 1 + 4 + 4 = 2 + 2 + 5 = 2 + 3 + 4 = 3 + 3 + 3
En effet :
10 = 1 + 3 + 6 = 1 + 4 + 5 = 2 + 2 + 6 = 2 + 3 + 5 = 2 + 4 + 4 = 3 + 3 + 4
Ileut´ete´errone´d’end´eduirequep(S= 9) =p(Srapicisisssrael01c)=t´eeesenepr´uesr
des suites (x1, x2, x3piuqaborselb.stseoainecsrsn)tpon´eas
1 1
Eneffetlaprobabilite´del’´eve´nement(x1, x2, x3) avecx1< x2< x3= .est 3!
3
6 36
1 1 1
Demˆeme,six1=x2< x3oux1< x2=x3Si= . , elle vaut 3 x1=x2=x3elle vaut .
3 3
6 72 6
Enpond´erantlesissues(x1, x2, x3sitleverartuonoerev,sceitspreest´libibaropsruelceva)
valeurs dep(S= 9) etp(S= 10).
Onpeutassocierlesdiff´erentesd´ecompositionsde9et10(deuxpardeuxavecdesprobabilite´s
´egales)maisilrestea`lafinlesissues(3,3,3) (pours= 9) et (3,3,4) (pours= 10), cette
derni`ere´etantplusprobable.
C’estpourquoiBobaplusdechancesdel’emporter(maisdela``apenserqu’onpouvait
re´pondrea`cettequestionavantdefairelecalculdep(S= 9) et dep(S= 10)...)

JeanMichel Ferrard

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Sujet 006

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Enonc´e

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Epreuvepratiquedemath´ematiquesauBacS
(expe´rimentation2007/2008)

Tangentesa`deuxcourbes

Fiche´el`eve

x−x−→−→
SoitC1etC2locseebruviseeptcequasd’´srestionyet= e ysuande(re`=eepnrO;vu , )
orthonormal du plan.
SoitatiecmeveneigsprenO.ese´dcleuuqnorer´eelqunnombrtnapMetNles points deC1et
C2d’abscisseaet par (T1) et (T2es`natgeanstle)C1etC2enMetN.
Les droites (T1) et (T2) coupent respectivement l’axe des abscisses enPetQ.
1.Avecunlogicieldege´om´etriedynamique(ouunecalculatricegraphique)construireles
courbesC1etC2et les droites (T1) et (T2). Que peuton remarquer pour les droites (T1)
et (T2) ?

Appelerleprofesseurpourluimontrerlegraphiquecr´e´e
et lui indiquer la conjecture faite au sujet de (T1) et de (T2).

`
2.Al’aidedulogiciele´mettreuneconjecturea`proposdelalongueurdusegment[P Q].
Appelerleprofesseurpourluipr´esenterlaconjectureetlad´emonstrationenvisage´e.

3.D´emontrerlaconjecturee´misea`laquestion2.

Productiondemand´ee
–Expose´oraldelam´ethodedeconstructiondelafigureadapt´ee`alasituation;
–Expose´oraldesconjectures;
–Expos´edelame´thodechoisiepourde´montrerladerni`ereconjecture.

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