Licence de Mathematiques Universite de Grenoble Topologie L352 1er semestre

Description

Niveau: Secondaire, Lycée, Première
Licence de Mathematiques Universite de Grenoble Topologie, L352 1er semestre 2008/2009 Feuille d'exercices no 2 Rationnels, developpement decimal, suites. Exercice 1 : Les suites (un)n?N et (vn)n?N definies par un = 1 + 1n+1 et vn = (?1)n + 1n+1 sont-elles convergentes ? On justifiera la reponse avec toute la rigueur possible. Exercice 2 : Montrer que la suite (un)n≥1 avec un = 1 + 12 + · · · + 1n est divergente (indication : on pourra chercher un minorant de |un ? u2n|). Exercice 3 : irrationnalite de e Soient un = 1 + n ∑ i=1 1 i! et vn = un + 1 n!n . 1) Montrer que les suites (un)n?N et (vn)n?N sont adjacentes, c'est-a-dire que (un) est croissante, (vn) decroissante et que |un ? vn| tend vers 0. 2) En deduire l'existence d'un reel e tel que un < e < vn pour tout n ≥ 1. 3) Montrer que e = pq avec p et q entiers premiers entre eux conduit a une contradiction en choisissant une certaine valeur de n dans la double inegalite precedente. Conclure. Exercice 4 : Montrer que si r est un nombre rationnel non nul et x un nombre irrationnel, r + x et rx sont des nombres irrationnels.

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Extrait

Licence de Topologie,

Mathematiques L352

o Feuille d’exercices n2

Rationnels, developpement decimal, suites.

UniversitedeGrenoble er 1semestre2008/2009

1 n 1 Exercice 1 :Les suites (u n ) n∈N et (v n ) n∈N rpaedesniu n = 1 +etv n = (1) + n+1n+1 sont-ellesconvergentes?Onjustieralareponseavectoutelarigueurpossible.

1 Exercice 2 :Montrer que la suite (u n ) n1 avecu n + += 1 2 (indication :on pourra chercher un minorant de|u n u 2n |).

1 + estdivergente n

Exercice3:irrationnalitedee n X 1 1 Soientu n et= 1 +v n =u n + . n!n i! i=1 1) Montrerque les suites (u n ) n∈N et (v n ) n∈N ,ac-d’ienstte-sej(acernetqaudosu n ) est croissante, (v n cre)dteanssoieuqte|u n v n |tend vers 0. 2)Endeduirel’existenced’unreeletel queu n < e < v n pour toutn1. p 3) Montrerquee= avecpetqentiers premiers entre eux conduit a une contradiction q en choisissant une certaine valeur dennaddalsalegeitblounei.erulcedcepron.Cteen

Exercice 4 :Montrer que sirest un nombre rationnel non nul etxun nombre irrationnel, r+xetrxMontrer qu’entre deux rationnels, il existesont des nombres irrationnels. toujours un irrationnel, et qu’entre deux irrationnels, il existe toujours un rationnel.(Ne pasendeduirequ’ilexisteunebijectionentreNetR, cela est faux !)

Exercice 5 :step’exi’ilnerquitnoeraronbmsaedevrarectlonldneMrtno.7tua

Exercice 6 : 22 1)Donnerundeveloppementdecimalde.Expliquerpourquoiledeveloppementdecimal 7 d’unrationnelestperiodiqueapartird’uncertainrang. 2) Quelleest la valeur de 0,4545454545...tnmepeopelevdlentrneleoduoqrouuipliquerp?Ex decimalestperiodiqueapartird’uncertainrangestrationnel. 3)Donnerdesexemplesdedeveloppementsdecimauxd’irrationnels.

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