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Vincent

Description

Niveau: Secondaire, Lycée

• redaction

Tournez la page S.V.P. Les calculatrices sont interdites. * * * NB : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre. A propos de l'hypothèse « de classe 1C par morceaux » du théorème de convergence normale d'une série de Fourier… Pour toute fonction f : ? ? ?, continue par morceaux et de période π2 , on associe ses coefficients de Fourier exponentiels définis, pour ?n Z, par ∫ π ?π= 20 )(21)( tnin etffc dt et ses coefficients de Fourier trigonométriques définis par : ∫ ππ= 20 )cos()(1)( tntffan dt (pour ?n ?) et ∫ ππ= 20 )sin()(1)( tntffbn dt (pour ?n ? * ). On pose, pour tout entier naturel p et tout réel x : ∑∑ =?= ++== p n nn p pn xni np xnfbxnfa a efcxfS 1 0 ))sin()()cos()(( 2 )())(( .

• réelle positive


• théorème de convergence normale


• série de fourier


• coefficient de fourier exponentiel


• morceaux sur ?


• moyenne de cesàro des sommes de fourier


• coefficients de fourier trigonométriques


• théorème de sommation de relations de comparaison

Sujets

• Mathématiques
• Redaction
• Série de Fourier

Informations

• Publié par: sucun
• Nombre de lectures: 14
• Langue: Français

Extrait

SESSION 2004

EPREUVE SPECIFIQUE – FILIERE MP _______________________ MATHEMATIQUES 1 Durée : 4 heures

Les calculatricessontinterdites. * * * NB :Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d’énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il a été amené à prendre. 1 A propos de l’hypothèse «de classe C par morceaux» du théorème de convergence normale d’une série de Fourier… Pour toute fonctionf:  →  , continue par morceaux et de période2π, on associe ses coefficients 1 2π −i n t de Fourier exponentiels définis, pourn∈Z, par c(f)=f(t)edtet ses coefficients de ∫ 0 n 2π Fourier trigonométriques définis par : 2π2π 1 1 * a(f)=f(t) cos(n t) dt(pour n∈  ) etb(f)=f(t) sin(n t) dt(pour n∈  ). ∫ 0 ∫ 0 n n π π On pose, pour tout entier naturelpet tout réelx: p p a i n x 0 ∑ ∑ S(f)(x)=c(f)e= +(a(f) cos(n x)+b(f) sin(n x) ). p nn n n=−p 2 n=1 On rappelle lethéorème de convergence normale: 1 Si f:  →   estune fonction continue de période 2π  etde classeCmorceaux, la série de par Fourier defconverge normalement vers la fonctionfsur . ( ) Ainsi, la fonctionfest limite uniforme de la suite de polynômes trigonométriques(S f) ∈  . p p 1 Nous allons étudier ce qui peut se produire si on enlève à ce théorème l’hypothèse « de classeC par morceaux ». Une première partie démontre des résultats préliminaires. 1 Une deuxième partie traite d’un exemple où, sans l’hypothèse «de classeClamorceaux », par série de Fourier peut diverger.

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