UNIVERSITE HENRI POINCARE NANCY I FACULTE DES SCIENCES

Description

Niveau: Secondaire, Lycée, Première
UNIVERSITE HENRI POINCARE NANCY I FACULTE DES SCIENCES EXAMEN DE MARS 2010 Licence LCMA - 1ère année Durée du sujet : 1h30 Analyse 1 - Semestre de printemps Calculatrices non autorisées Documents non autorisés Exercice 1 1. La suite (un)n?N définie par un = n + (?1)nn est-elle convergente ? 2. Soit f : R ? R la fonction définie par f(x) = x 1 + x2 . Montrer que la suite (vn)n?N donnée par vn = f(un) est convergente et trouver sa limite. Exercice 2 1. Calculer, en fonction de n, un = 1 + 3 + 5 + · · · + (2n ? 1) = n ∑ k=1 (2k ? 1). Soit la suite (vn)n?N définie par vn = 1 + 2 + · · · + n = n ∑ k=1 k. 2. Déduire de la question 1 la limite de la suite (wn)n?N définie par wn = un vn . Exercice 3 Soit (un)n?N la suite définie par u0 = 1, et pour tout n ≥ 0, un+1 = un + 1 + un 1 + 2un . 1. Montrer que un ≥ 0 pour tout n ? N, et que (un) est monotone.

• racine positive du trinôme x2


• vn ?


• limite dans la relation de récurrence


• semestre de printemps calculatrices


• cessairement positive

Informations

• Publié par: davaj
• Publié le: 01 mars 2010
• Nombre de lectures: 17
• Langue: Français

Extrait

UNIVERSITE HENRI POINCARE NANCY I FACULTE DES SCIENCES

EXAMEN DE MARS 2010

Licence LCMA  1ère année Analyse 1  Semestre de printemps Calculatrices non autorisées

Durée du sujet : 1h30

Documents non autorisés

Exercice 1 n 1. La suite(u n ) n∈N définie paru n =n+ (−1)nestelle convergente? x 2. Soitf:R→Rla fonction définie parf(x) =. Montrer que la suite(v n ) n∈N donnée 2 1 +x parv n =f(u n )est convergente et trouver sa limite.

Exercice 2 n X 1. Calculer, en fonction den,u n = 1 + 3 + 5 +∙ ∙ ∙+ (2n−(21) =k−1). k=1 n X Soit la suite(v n ) n∈N définie parv n = 1 + 2 +∙ ∙ ∙+n=k. k=1 2. Déduire de la question 1 la limite de la suite(w n ) n∈N définie par u n w n =. v n Exercice 3

Soit(u n ) n∈N la suite définie paru 0 = 1, et pour toutn≥0, 1 +u n u n+1 =u n +. 1 + 2u n 1. Montrer queu n ≥0pour toutn∈N, et que(u n )est monotone.

2. Montrer que(u n )n’admet pas de limite finie (on pourra raisonner par l’absurde). En déduire le comportement de(u n )lorsquentend vers l’infini.

1

T.S.V.P