Comportement cinématique d'une chaîne d'action

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6.4.3 Comportement cinématique d'une chaîne d'action CINE TSET Page 1 sur 9 CINÉMATIQUE - Repère et position d'un point d'un solide ; - Vitesse et accélération des points d'un solide en rotation ou en translation rectiligne ; I - INTRODUCTION I.1°) DEFINITION DE LA CINEMATIQUE: La cinématique est l'étude du mouvement d'un solide. I.2°) DEFINITION DU SOLIDE : Le solide est un ensemble de points matériels. I.3°) DEFINITION DU POINT MATERIEL : Le point matériel est un point auquel on associe une masse. I.4°) REMARQUE : Dans un premier temps, on étudiera le mouvement d'un point : c'est la CINÉMATIQUE DU POINT. II - NOTIONS II.1°) TRAJECTOIRE : C'est la trace d'un point appartenant à un solide en mouvement dans un repère de référence R 0 . Ces différents points étant pris dans l'ordre chronologique. II.2°) ORIGINES : II.2.1. Origine d'espace : C'est un lieu ; En ce point, la position du point que l'on suit dans le mouvement sera nulle. II.2.2. Origine de temps : C'est un instant ; C'est le moment où l'on met une horloge à zéro. III - MOUVEMENTS : III.1°) EN GENERAL : Tous les mouvements peuvent se décomposer en translation et rotation.

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6.4.3 Comportement cinématique d'une chaîne d'action CINÉMATIQUE - Repère et position d'un point d'un solide ; - Vitesse et accélération des points d'un solide en rotation ou en translation rectiligne ; I - INTRODUCTION I.1°) DEFINITIONDE LA CINEMATIQUE : La cinématique est l’étude du mouvement d’un solide. I.2°) DEFINITION DU SOLIDE : Le solide est un ensemble de points matériels. I.3°) DEFINITION DU POINT MATERIEL : Le point matériel est un point auquel on associe une masse. I.4°) REMARQUE : Dans un premier temps, on étudiera le mouvement d’un point : c’est la CINÉMATIQUE DU POINT. II - NOTIONS II.1°) TRAJECTOIRE : C’est la trace d’un point appartenant à un solide en mouvement dans un repère de référenceR 0 . Ces différents points étant pris dans l’ordre chronologique. II.2°) ORIGINES : II.2.1.Origine d’espace : C’est un lieu ; En ce point, la position du point que l’on suit dans le mouvement sera nulle. II.2.2.Origine de temps : C’est un instant ; C’est le moment où l’on met une horloge à zéro. III - MOUVEMENTS : III.1°) EN GENERAL : C 0 Tous les mouvements peuvent se décomposer en translation et rotation. x III.2°) TRANSLATION : III.2.1.Définition :  x Un solide S est animé d’un mouvement de translation dans B 0 C z 0 un repèreR 0 si 2 vecteursAC distincts et nonAB et x colinéaires appartenant à S restent respectivement x y 0 x 0 équipollents à 2 vecteurs A B 0 et A C fixes dansR 0 , A 0  x 0 0 0 distincts et non colinéaires. B III.2.2.Remarque : La définition est indépendante de la trajectoire : x Si la trajectoire est une droite, la translation est RECTILIGNE ; A Si la trajectoire est un cercle, la translation est CIRCULAIRE. A 0 , A III.3°) ROTATION : x M III.3.1.Définition : z 0 Un solide S est animé d’un mouvement de rotation autour x d’un axe fixe (O, z 0 ) dansR 0 si 2 points A et B distincts y 0 x 0 coïncident en permanence avec les points fixes A 0 et B 0 dansR 0 ; (A 0 B 0 ) définit l'axe de rotation ; x La trajectoire d'un point M est un cercle de centre O et de rayon OM. B 0 , B

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6.4.3 Comportement cinématique d'une chaîne d'action IV - ETUDE DES MOUVEMENTS RECTILIGNES IV.1°) RAPPEL La trajectoire du point est un segment de droite. On prendra un repère fixe au bâti dont un axe est confondu avec la trajectoire (souvent x ou z). On posera des origines. exemple : espace x M =0 là où M est en M 0 ; temps : t=0 quand M est en M 0 . IV.2°) POSITION La position d'un point est repérée par la coordonnée de ce point sur l'axe parallèle à la Trajectoire ; Unité : le mètre m (ou le mm ou le km) ; Notation : x(t), position x fonction du temps ; OM .Modélisation : on peut modéliser la position du point M par le vecteur IV.3°) VITESSE On mesure la variation de déplacement dans le temps. IV.3.1.Vitesse moyenne Origine d'espace en M 0 Origine du temps quand le solide passe en M 0 x x 2 1 V moy. entre 1 et 2 = t%t 2 1 IV.3.2.Vitesse instantanée Notation : on notera V M1 1/0 la vitesse d'un point M 1 du solide1par rapport à un solide0. Définition : on fait tendre le temps t 2 verst 1 , c'est à dire (t 2 -t 1 ) vers 0.   lim x%x  d(x(t)) 2 1 V1 1 1     M1/ 0 t|t t %t dt 2 1   2 1   t 2 Modélisation : la vitesse se modélise par un vecteur :  pointd'application en M 1   direction:la trajectoire rectiligne  Marche AVant:x# d  sens:celui du mouvement V ( t ! V1OM M1/ 0 10 1/ 0M 1/ Marche ARrière:x% 11 1  dt   d(x(t))   module:V ( t ! 1  M1/ 0 1   1 dt  t   1 Unité : le mètre par seconde m/s (ou Km/h) IV.3.3.Accélération : On mesure la variation de vitesse dans le temps Notation : on notera A M1 1/0 ou9 M1 1/0 (gamma) l'accélération du point M 1 du solide1par rapport à un solide0; Définition : on fait tendre le temps t 2 verst 1 , c'est à dire (t 2 -t 1 ) vers 0. % lim V M 1/ 0 V 0M 1/ dV M  1/ 0 1 A1 1  t1t M 1/ 0 1 1 | % t t 1 t t 1 dt 

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6.4.3 Comportement cinématique d'une chaîne d'action Modélisation : l'accélération se modélise par un vecteur :  po int d' application en M 1  direction : la trajectoire rectiligne   il est accélérécelui du mouvement s'  sens : A ( t ! M 1/ 0 1 invers au mouvement s' il est décéléré (retardé) 1    d V  M 1/ 0 mod e1  Aul : 0M 1/ ( t 1 ! t1t 1 1  1 dt   Notation : parfois l'accélération se note9(gamma) Unité : le mètre par seconde au carré m/s² V - MOUVEMENT RECTILIGNE UNIFORME (MRU) V.1°) CARACTERISTIQUES : On est en présence d'un mouvement rectiligne uniforme si : La trajectoire des points d'un solide est une droite ; L'accélération est nulle, autrement dit, si la vitesse est constante au cours du mouvement. V.2°) EQUATIONS HORAIRES DU MOUVEMENT a(t)=0 x(t) : position à l'instant t v(t)=v 0  x 0  : position du point à t=0 x(t)=v 0 .(t-t 0 )+x 0 v 0 : vitesse du point à t=0 x 0 , v 0 et a 0 sont les conditions initiales (CI) à t 0 V.3°) COURBES DU MOUVEMENT dans le cas d'une Marche Avant : MRUav dans le cas d'une Marche ARrière : MRUar

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6.4.3 Comportement cinématique d'une chaîne d'action VI - MOUVEMENT RECTILIGNE UNIFORMEMENT VARIE (MRUV) VI.1°) CARACTERISTIQUES : On est en présence d'un mouvement rectiligne uniformément varié si : VI.1.1.La trajectoire des points d'un solide est une droite ; VI.1.2.L'accélération est constante et non nulle au cours du mouvement. VI.2°) EQUATIONS HORAIRES DU MOUVEMENT a(t)=a 0 x(t): position à l'instant t v(t)=a 0 .(t-t 0 )+v 0  x 0  : position du point à t=0 x(t)=1/2.a 0 .(t-t 0 )²+v 0 .(t-t 0 )+x 0 v 0 : vitesse du point à t=0  x 0 , v 0 et a 0 sont les conditions initiales (CI) à t 0 VI.3°) COURBES DU MOUVEMENT dans le cas d'une Marche Avant accélérée : dans le cas d'une Marche Avant décélérée : MRUVav.a MRUVav.d

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6.4.3 Comportement cinématique d'une chaîne d'action dans le cas d'une Marche ARrière accélérée : MRUVar.a

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dans le cas d'une Marche ARrière décélérée : MRUVar.d

VI.4°) RELATION INDEPENDANTE DU TEMPS v² v ² 0 x%x1 0 2A Démonstration :

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6.4.3 Comportement cinématique d'une chaîne d'action VII - ETUDE DES MOUVEMENTS CIRCULAIRES VII.1°) RAPPEL

y

q(t)

M(t)

x

M 0 (t=0)

La trajectoire du point est un arc de cercle ; On prendra un repère fixe au bâti dont un axe est confondu avec l'axe de rotation (souvent z); On posera des origines. er Exemple : espaceq M =0 là où M est en M 0 ; temps : t=0 quand M est en M 0 au 1 tour. VII.2°) POSITION ANGULAIRE (thêtaq) La position d'un point est repérée par l'angleq;(t)= M OM 0 Unité : le radian (rad) (ou le degré (°) ou le tour (tr)) ; Notation :q(t), position angulaireqfonction du temps. VII.3°) VITESSE ANGULAIRE (omégawou thêta primeq') Notation : on noteraq'M 11/0 (t) ouwM 11/0 (t) la vitesse angulaire angulaire du point M 1 du d solide1par rapport à un solide0à l'instant t. w ( t ! 1 q ( t ! 1 q' ( t !; dt L'unité est le radian par seconde (rad/s) ; On parle aussi de vitesse de rotation que l'on note N dont l'unité est le tour par minute (tr/min) N w 1 30 VII.4°) ACCELERATION ANGULAIRE (thêta secondeq"): Notation : on noteraq"M 11/0 (t) l'accélération angulaire du point M 1 du solide1par rapport à un solide0à l'instant t ; Unité : le radian par seconde au carré rad/s². VIII - MOUVEMENT CIRCULAIRE UNIFORME (MCU) VIII.1°) CARACTERISTIQUES : On est en présence d'un mouvement circulaire uniforme si : La trajectoire des points d'un solide est un arc de cercle ; L'accélération angulaire est nulle, autrement dit, si la vitesse angulaire est constante au cours du mouvement. VIII.2°) EQUATIONS HORAIRES DU MOUVEMENT q"(t)=0q: position à l'instant t w(t)=w 0 ; (q'(t)=q' 0 )q 0  : position du point à t=0 q(t)=w 0 .(t-t 0 )+q 0 ; (q(t)=q' 0 .(t-t 0 )+q 0 )q' 0 (w 0 ) : vitesse du point à t=0 q 0 etq' 0 (w 0 ) sont les conditions initiales (CI)

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6.4.3 Comportement cinématique d'une chaîne d'action VIII.3°) COURBES DU MOUVEMENT dans le cas d'une rotation dans le sens trigonométrique : MCU

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IX - MOUVEMENT CIRCULAIRE UNIFORMEMENT VARIE (MCUV) IX.1°) CARACTERISTIQUES : On est en présence d'un mouvement circulaire uniformément varié si : IX.1.1.La trajectoire des points d'un solide est un arc de cercle ; IX.1.2.L'accélération angulaire est constante et non nulle au cours du mouvement. IX.2°) EQUATIONS HORAIRES DU MOUVEMENT q"(t)=q" 0 q(t): position à l'instant t w(t)=q'(t)= q" 0 .(t-t 0 )+w 0 q 0  : position du point à t=0 q(t)=1/2.q" 0 .(t-t 0 )²+w 0 .(t-t 0 )+q 0 q' 0 : vitesse du point à t=0 q 0 ,q' 0 etq" 0 sont les conditions initiales (CI)

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6.4.3 Comportement cinématique d'une chaîne d'action IX.3°) COURBES DU MOUVEMENT dans le cas d'une rotation dans le sens trigonométrique accélérée : MCUVa

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dans le cas d'une rotation dans le sens trigonométrique décélérée : MCUVd

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IX.4°) RELATION INDEPENDANTE DU TEMPS '² ' ² 0 q%q1 0 2q" X - VITESSE ET ACCELERATION LINEAIRE EN MOUVEMENT CIRCULAIRE X.1°) VITESSE LINEAIRE C'est la vitesse qu'aurait le point suivit s'il était en mouvement rectiligne tangent à la trajectoire. Par exemple la vitesse de la courroie qui quitte la poulie.

 d'application en Mpo int 1  dir : tan gent à la trajectoire1perpendiculaire au rayon  ection V ( t ! M 1 1/ 0  sens : celui du mouvement   Vmod ule : ( t ! 1R× w ( t ! M 1/ 0 1 

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6.4.3 Comportement cinématique d'une chaîne d'action X.2°) ACCELERATION LINEAIRE Elle se décompose en deux accélérations : Accélération normale a n : c'est celle qui donne la sensation de force centrifuge.  pointd'application en M 1   direction:radiale(suivantlerayon) A ( t ! n M 1/ 0  sens:centripète(vers le centre) 1   module:A ( t ! 1R× w ² ( t ! n M 1/ 0  1  Accélération tangentielle a t : c'est celle qu'aurait le point s'il était en mouvement rectiligne tangent à la trajectoire.  pointd'application en M 1   direction:perpendiculaire au rayon  celui du mouvement s'il est accéléré A ( t ! t M 1/ 0 1  sens: invers au mouvement s'il est décéléré(retardé)   module:A ( t ! 1R× q " ( t ! t M 1/ 0  1 L'accélération linéaire complète est la composée de ces deux accélérations : A t1A t#A tce qui donneA ( t ! 1A ( t ! ²#A ( t ! ² M1/ 0n M 1/ 0 t M 1/ 0 M1/ 0n M 1/ 0 t M 1/ 0 1 1 11 1 1 X.3°) REMARQUE : En mouvement circulaire uniforme, il n'y a pas d'accélération tangentielle, mais l'accélération normale est toujours présente et parfois très importante.

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