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Correction exo 4, TD 1 November 29, 2007 On se place dans le contexte general d'un jeu a somme nulle a 2 joueurs. Soit X et Y les ensembles de strategies des joueurs X et Y, u(x, y) la fonction d'utilite du joueur X. • Prouver que sup x?X inf y?Y u(x, y) ≤ inf y?Y sup x?X u(x, y) (1) Preuve : Par la propriete de l'inf et du sup on a : ?x ? X, ?y ? Y, inf y˜?Y u(x, y˜) ≤ u(x, y) ?x ? X, ?y ? Y, u(x, y) ≤ sup x˜?X u(x˜, y) Donc en mettant ensemble les 2 inegalites, on a : ?x ? X, ?y ? Y, inf y˜?Y u(x, y˜) ≤ u(x, y) ≤ sup x˜?X u(x˜, y) En oubliant le terme u(x, y), puis en prenant le sup sur x puis l'inf sur y on obtient : ?x ? X, ?y ? Y, inf y˜?Y u(x, y˜) ≤ sup x˜?X u(x˜, y) ?y ? Y, sup x?X inf y˜?Y u(x, y˜) ≤ sup x˜?X u(x˜, y) sup x?X inf y˜?Y u(x, y˜) ≤ inf y?Y sup

  • inf y?y

  • point selle

  • sup x?x

  • propriete de l'inf et du sup

  • egalite de la question precedente

  • maniere symetrique

  • derivee seconde

  • strategie prudente


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Correction exo 4, TD 1
November29,2007
On se place dans le contexte general d’un jeu a somme nulle a 2 joueurs. SoitXetYles ensembles de strategies des joueurs X et Y,u(x, y) la fonction d’utilite du joueur X. Prouver que sup infu(x, y)inf supu(x, y) (1) yY yY xX xX Preuve : Par la propriete de l’inf et du sup on a : xX,yY,infu(x, y˜)u(x, y) y˜Y xX,yY, u(x, y)supu(x˜, y) ˜xX Donc en mettant ensemble les 2 inegalites, on a : xX,yY,infu(x, y˜)u(x, y)supu(x˜, y) y˜Y x˜X En oubliant le termeu(x, y), puis en prenant le sup surxpuis l’inf sury on obtient : xX,yY,infu(x, y˜)supu(x˜, y) y˜Y ˜xX yY,sup infu(x, y˜)supu(x˜, y) y˜Y xX x˜X sup infu(x, y˜)inf supu(x˜, y) y˜Y yY xX˜xX Supposons que l’on dispose d’un couple de strategies (x˜, y˜) tel que ux, yinf sup˜) =u(x, y) yY xX Estcex˜ qui est une strategie prudente pour X, ou bieny˜ qui est une strategie prudente pour Y ? Et donc pourquoi aton xX, u(x, y˜)ux, y˜) Reponse: Le joueur a cherche a minimiser sur les strategies de Y l’utilite du pire des cas quand X choisit.Il s’agit donc de Y qui cherche a minimiser l’utilite
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