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Corrigé BTS 2015 - Groupement D - Mathématiques

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  Groupement D              1   ! EXERCICE 1 : Partie A : Etude du premier traitement   1. (a)Les solutions de l’équation différentiellesont les fonctions de la forme : ,      où est une constante réelle. ,   2   (b)Calculons sa dérivée : .   , , , , ′       2  20,1  2  0,2 . En remplaçant, dans l’équation différentielle (E) on a :  , , , , , ,    0,1  2  0,2  0,1  2  2  0,2  0,2 ,  2 .  Ainsi est bien une solution particulière de (E). (c)Les solutions de cette équation différentielle sont les fonctions de la forme : , ,          2  où est une constante réelle.   0  1   2  0  1   1 (d) équivaut à ce qui donne , ,     2 La fonction cherchée est donc définie par :     2. (a)admet uneLa courbe représentative de asymptote horizontale d’équation(l’axe des ∞ abscisses) en ,  1,9  0,2 (b):est positif. Etudions celui de Le signe de , 1,9  0,2  0 0,2  1,9    9,5 .
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  Groupement D
 
 
    
   
1
  !
EXERCICE 1 : Partie A : Etude du premier traitement   1. (a)Les solutions de l’équation différentiellesont les fonctions de la forme :
,     où est une constante réelle. ,   2   (b)Calculons sa dérivée : .   , , , , ′       2  20,1  2  0,2  . En remplaçant, dans l’équation différentielle (E) on a :  , , , , , ,    0,1  2  0,2  0,1  2  2  0,2  0,2 ,  2 . Ainsi est bien une solution particulière de (E). (c)Les solutions de cette équation différentielle sont les fonctions de la forme :
, ,          2  où est une constante réelle.   0  1   2  0  1   1 (d) équivaut à ce qui donne , ,     2 La fonction cherchée est donc définie par :     2. (a)admet uneLa courbe représentative de asymptote horizontale d’équation(l’axe des ∞ abscisses) en ,  1,9  0,2 (b):est positif. Etudions celui de Le signe de , 1,9  0,2  0 0,2  1,9    9,5  . ,
On en déduit le tableau suivant :  9,5 0   ′ Signe de , 20  7,7 Variations de 1 0 3. (a)Au bout de9,5 heures, d’après le tableau de variations. "  5 (b)L’équation ne pouvant pas se résoudre algébriquement, on utilise une méthode approchée (table de la fonction ou graphique puis intersection …). #$, %& ; $&, )*+ On trouve l’intervalle (en heures)  . ,.   /   210  690   6,1 (c)-.  .
2
Partie B : Etude statistique du second traitement 1.Il s’agit de lafigure 3, en effet le principe actif est progressivement éliminé par les reins, la quantité de principe actif doit donc diminuer entre deux injections. Les figures 1 et 2 correspondent à des fonctions strictement croissantes, donc il s’agit bien de la figure 3. 2 . (a) i.
0
1,8
3,53
  0,06  3,54 ii.
4
9,5
3,28
8
15,5
3,02
12
20,2
2,76
16
23,7
2,51
20
26,8
2,22
,<=>,. ,<=>,. ln36    0,06  3,54 36       36   (b); ;
,<=>,.   36   Donc
24
28,7
1,99
#35 ; 37+ (c).L’état stationnaire sera atteint lorsque la quantité dans le sang sera dans l’intervalle
,<=>,. ,<=>,. ,<=>,. 36    35   1   1 0,06  3,54  ln 1  ; ; ;
>,. 0,06  3,54  0    59  ; ,<
L’état stationnaire est atteint au bout de59 heuresdonc moins de trois jours (3j = 72h).
EXERCICE 2 :
Partie A : Etiquetage
?@ ∩ B  ?@  ?B @ B 1.les événements  car indépendants.et sont
?@ ∩ B  0,01  0,03  0,0003
̅ D ̅ D ?@ ∩ B  ?@  ?B  0,99  0,97  0,9603 2.
3
Partie B : Etude de la contenance
?57,9    58,1  0,99 1.La probabilité qu’un flacon soit conforme est : obtenu à l’aide de la
calculatrice.
1  0,99  , & La probabilité qu’un flacon ne soit pas conforme est donc .
  1,96  0,04  0,08 2..
Partie C : Test d’hypothèse
#57,93 ; 57,97# → 57,95 #57,97 ; 58,01# → 57,99 #58,01 ; 58,05# → 58,03 1..(Centre des classes : . .
#58,05 ; 58,09# → 58,07 #58,09 ; 58,13# → 58,11 . )
̅  58,041 G  0,036 A l’aide de la calculatrice on obtient : et
,. ,. H  I58  1,96  ; 58  1,96  L 2. (a)C’est l’intervalle √K √K
̅ (b)On prélève un échantillon de 80 flacons et on calcule sa moyenne , ̅ ∈ H  #57,991 ; 58,009+ N N ▪ si on accepteet on rejette̅ ∉ H  #57,991 ; 58,009+ N N ▪ si on rejetteet on accepte̅  58,041 ∉ H  #57,991 ; 58,009+ N N 3.on rejette donc et on accepteau seuil de 5%. On conclut, au seuil de 5%, que le service de contrôlen’acceptera pas la livraison.
4
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