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Corrigé des Olympiades académiques de mathématiques de première Session

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Corrigé des Olympiades académiques de mathématiques de première. Session 2005 Académie d'Aix-Marseille. Exercice 1 : C'est du vol ! Notons f le nombre de femmes, h le nombre d'hommes, h1 le nombre d'hommes déclarant avoir dansé avec 1 femme, h2 le nombre d'hommes déclarant avoir dansé avec 2 femmes, et h3 le nombre d'hommes déclarant avoir dansé avec 3 femmes. Les données de l'exercice se traduisent par : 1 2 33 2 3f h h h= + + (1) 3 1h h> (2) 2 ( ) 5 f f h< + . (3) 1 2 3h h h h= + + (4) . (3) s'écrit : 3 2f h< , soit : 1 2 33 2 2 2f h h h< + + D'après (1) et (3) : 3 1h h< . Cela contredit (2). Donc une personne au moins a menti. Exercice 2 : un pavage. Pour résoudre cet exercice, il faut partir d'un des carrés jouxtant le carré unité (en noir sur la figure) et de préférence commencer par le plus petit (carré C1). Si ce carré C1 a pour côté c, le carré C2 a pour côté c + 1, et le carré C3 a pour côté c + 2.

  • ab ac

  • côté de c5

  • rectangle initial

  • triangle rectangle

  • carré c1

  • quant au carré c6

  • pi;opi

  • aire a'


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Corrigé des Olympiades académiques de mathématiques de première. Session 2005 Académie d’Aix-Marseille. Exercice 1 : C’est du vol ! Notons f le nombre de femmes, h le nombre d’hommes, h1le nombre d’hommes déclarant avoir dansé avec 1 femme, h2le nombre d’hommes déclarant avoir dansé avec 2 femmes, et h3le nombre d’hommes déclarant avoir dansé avec 3 femmes. Les données de l’exercice se traduisent par : 3h#2h#3h (1) 1 2 3 h h (2) 3 1 2  (f#h) .(3) 5 h h#h#h (4) 1 2 3 . (3) s’écrit :3 2h3 2, soit :h#2h#2h1 2 3 D’après (1) et (3) :h h.Cela contredit (2). Donc une personne au moins a menti.3 1 Exercice 2 : un pavage.
Pour résoudre cet exercice, il faut partir d’un des carrés jouxtant le carré unité (en noir sur la figure) et de préférence commencer par le plus petit (carré C1). Si ce carré C1a pour côtéc, le carré C2a pour côtéc + 1, et le carré C3a pour côtéc + 2. Le carré C4a pour côtéc + 3. (A chaque fois, on utilise le fait que le carré noir a pour côté1) Ceci permet de déduire que le carré C5pour côté4. (c+4 = côté de C5+ côté de C1et le côté de C1est égal à c.) Quant au carré C6il a pour côté2c + 1. (côté de C1+ côté de C2). On obtient qu’une des dimensions du rectangle initial est : (2c + 1) + (c + 1) + (c + 2) =4c + 4. Le carré C7a pour côtéc + 3 + 4=c + 7. (côté de C4+côté de C5.) Donc l’autre dimension du rectangle initial est :
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