Corrigé des Olympiades académiques de mathématiques de première Session

(Stéphane Clément)

Description

Corrigé des Olympiades académiques de mathématiques de première. Session 2005 Académie d'Aix-Marseille. Exercice 1 : C'est du vol ! Notons f le nombre de femmes, h le nombre d'hommes, h1 le nombre d'hommes déclarant avoir dansé avec 1 femme, h2 le nombre d'hommes déclarant avoir dansé avec 2 femmes, et h3 le nombre d'hommes déclarant avoir dansé avec 3 femmes. Les données de l'exercice se traduisent par : 1 2 33 2 3f h h h= + + (1) 3 1h h> (2) 2 ( ) 5 f f h< + . (3) 1 2 3h h h h= + + (4) . (3) s'écrit : 3 2f h< , soit : 1 2 33 2 2 2f h h h< + + D'après (1) et (3) : 3 1h h< . Cela contredit (2). Donc une personne au moins a menti. Exercice 2 : un pavage. Pour résoudre cet exercice, il faut partir d'un des carrés jouxtant le carré unité (en noir sur la figure) et de préférence commencer par le plus petit (carré C1). Si ce carré C1 a pour côté c, le carré C2 a pour côté c + 1, et le carré C3 a pour côté c + 2.

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Sujets

• Thalès
• Académie d'Aix-Marseille
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• Pi
• OPI

Informations

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Extrait

Corrigé des Olympiades académiques de mathématiques de première. Session 2005 Académie d’Aix-Marseille. Exercice 1 : C’est du vol ! Notons f le nombre de femmes, h le nombre d’hommes, h 1 le nombre d’hommes déclarant avoir dansé avec 1 femme, h 2 le nombre d’hommes déclarant avoir dansé avec 2 femmes, et h 3 le nombre d’hommes déclarant avoir dansé avec 3 femmes. Les données de l’exercice se traduisent par : 3h#2h#3h (1) 1 2 3 h h (2) 3 1 2  (f#h) .(3) 5 h h#h#h (4) 1 2 3 . (3) s’écrit :3 2h3 2, soit :h#2h#2h 1 2 3 D’après (1) et (3) :h h.Cela contredit (2). Donc une personne au moins a menti. 3 1 Exercice 2 : un pavage.

Pour résoudre cet exercice, il faut partir d’un des carrés jouxtant le carré unité (en noir sur la figure) et de préférence commencer par le plus petit (carré C 1 ). Si ce carré C 1 a pour côtéc, le carré C 2 a pour côtéc + 1, et le carré C 3 a pour côtéc + 2. Le carré C 4 a pour côtéc + 3. (A chaque fois, on utilise le fait que le carré noir a pour côté1) Ceci permet de déduire que le carré C 5 pour côté4. (c+4 = côté de C 5 + côté de C 1 et le côté de C 1 est égal à c.) Quant au carré C 6 il a pour côté2c + 1. (côté de C 1 + côté de C 2 ). On obtient qu’une des dimensions du rectangle initial est : (2c + 1) + (c + 1) + (c + 2) =4c + 4. Le carré C 7 a pour côtéc + 3 + 4=c + 7. (côté de C 4 +côté de C 5 .) Donc l’autre dimension du rectangle initial est :