CORRIGÉ Session La Réunion Juin

Description

CORRIGÉ. Session La Réunion, Juin 2002. Exercice 1. 1. (a) La valeur x doit être positive (c'est une longueur). Pour des raisons de symétrie, le côté maximal du carré est égal à la moitié de la largeur de la feuille, soit 21 ÷ 2 = 10,5. (b) Le volume est calculé par le produit « hauteur ? aire de la base ». • La hauteur est x. • La base est un carré, de côté 21 ? x? x = 21 ? 2x. Son aire est donc (21 ? 2x)2. Le volume de la boîte (en cm3) est donc égal à x (21 ? 2x)2. 2. (a) On regarde les axes des abscisses. Le pas d'une des deux graduations est 0,5 et l'abscisse minimale est ?1 : il faut donc deux graduations (une à ?1, sur le bord de la fenêtre, et une à ?0,5). Ceci correspond à l'affichage de l'écran 2. Par conséquent, c'est l'élève B qui a obtenu l'écran no 1. (b) f(3,5) = 3,5 ? (21 ? 2 ? 3,5)2 = 686. f(4) = 4 ? (21 ? 2 ? 4)2 = 676.

• moitié de la largeur de la feuille


• volume maximal


• ecran


• formule dans la cellule b2


• conséquence de la question précédente


• axe des abscisses


• tables rectangulaires


• choix de finitions

Informations

• Publié par: apmep
• Publié le: 01 juin 2002
• Nombre de lectures: 131
• Langue: Français

Extrait

CORRIGÉ. Session La Réunion, Juin 2002.
Exercice 1.
1. (a) La valeur x doit être positive (c’est une longueur). Pour des raisons de symétrie, le côté
maximal du carré est égal à la moitié de la largeur de la feuille, soit 21 ÷ 2 = 10,5.
(b) Le volume est calculé par le produit «hauteur × aire de la base ».
• La hauteur est x.
2• La base est un carré, de côté 21−x−x = 21−2x. Son aire est donc (21−2x) .
3 2Le volume de la boîte (en cm ) est donc égal à x(21−2x) .
2. (a) On regarde les axes des abscisses. Le pas d’une des deux graduations est 0,5 et l’abscisse
minimale est−1 : il faut donc deux graduations (une à−1, sur le bord de la fenêtre, et une
à −0,5). Ceci correspond à l’affichage de l’écran 2.
oPar conséquent, c’est l’élève B qui a obtenu l’écran n 1.
2(b) f(3,5) = 3,5×(21−2×3,5) = 686.
2f(4) = 4×(21−2×4) = 676.
On a donc f(3,5) >f(4). Donc f n’est pas croissante sur [0; 6].
D’ailleurs, on voit sur l’écran 2 qu’entre x = 3,5 et x = 4, la courbe «descend ».
(c) L’écran 2 permet de conjecturer un maximum relatif (686) en x = 3,5.
L’axe des abscisses est alors gradué de 0 à 10, avec un pas égal à 1;
l’axe des ordonnées est alors gradué de 0 à 700, avec un pas égal à 100.
∧3. (a) La formule dans la cellule B2 est =A2*(21−2*A1) 2 .
(b) Tableau complété :
A B C D E F G H I J K L M N
1 x 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5 5,5 6
2 f(x) 0 200 361 486 578 640 675 686 676 648 605 550 486
4. (a) Vrai. D’une part, 500 est compris entre 468 et 578 : il y a une solution x entre 1,5 et 2.
D’autre part, 500 est compris entre 486 et 550 : il y a une solution x entre 5,5 et 6.
(b) Faux. Le maximum de f est atteint en 3,5 et vaut 686 < 690.
(c) Vrai. C’est une conséquence de la question précédente.
35. Une lecture graphique donne un volume maximal de 690 cm pour x = 3,5.
1Exercice 2.
Partie I :
1. Il y a 2 choix de forme et 2 choix de finitions (les choix étant indépendants). Il y a donc en
tout 2 × 2 = 4 modèles : (ronde , naturelle), (ronde , teintée), (rectangulaire , naturelle) et
(rectangulaire, teintée).
2. (a) Il y a 75%×144 = 0,75×144 = 108 tables rondes teintées.
Il y a 250−144 = 106 tables rectangulaires.
Il y a 50%×106 = 0,5×106 = 53 tables rectangulaires teintées.
Le tableau se complète d’abord avec ces résultats puis par additions et soustractions.
Tables rondes Tables rectangulaires Total
Finition naturelle 36 53 89
Finition teintée 108 53 161
Total 144 106 250
144
(b) • Le pourcentage de tables rondes est ×100% = 57,6%.
250
108
• Le pourcentage de tables rondes et teintées est ×100% = 43,2% .
250
Partie II :
4×119,5+10×119,6++2×120,5 17271
1. m = = ≈ 119,9 (cm).
144 144
2. (a) (2 mm = 0,2 cm) [μ−2σ ; μ+2σ] = [120−2×0,2 ; 120+2×0,2] = [119,6 ; 120,4].
(b) Il y a 144−4−2 = 138 valeurs dans cet intervalle.
138
Leur pourcentage est donc égal à ×100%≈ 95,83%.
144
Partie III :
1. Graphique complété :
300
265
250 Rondes
⋄ Rectangulaires
200
150
⋄⋄100 ⋄ ⋄
⋄⋄⋄ ⋄
50
0
19941995199619971998199920002001200220032004200520062007
2. (a) On a : 96−72 = 24, 120−96 = 24 et 144−120 = 24.
Toutes les variations absolues sont égales (à 24) donc la croissance du nombre de tables
rondes fabriquées est linéaire.
La suite correspondante est donc arithmétique, de raison r = 24 (et de premier terme 72).
2
bbbbbbbbbbbbbbb(b) Une croissance linéaire se traduit sur le graphique par des points alignés.
On lit que la production de tables rondes en 2006 sera égale à environ 265.
73 88 106
3. (a) On a : ≈ 1,20, ≈ 1,21 et ≈ 1,20.
61 73 88
Les coefficients multiplicateurs sont, à 0,1, égaux (à 1,2) donc la suite des nombres de tables
rectangulaires à partir de l’année 1998 peut être considérée comme une suite géométrique
de raison 1,2.
(b) En 1998, le nombre de tables rectangulaires est 61. Cette valeur est multipliée par 1,2
pendant 2006−1998 = 8 ans.
8Donc le nombre de tables rectangulaires en 2006 vaudra 61×1,2 ≈ 262.
4. En 2007, il y aura 264+24 = 288 tables rondes et 262×1,2≈ 314.
La production de tables rondes l’emporte donc sur celle des tables rectangulaires jusqu’en 2006
(le phénomène sera ensuite inversé dès 2007).
3