DS no Correction

Description

2008 – 2009 DS no 5 Correction Exercice 1 Soit u et v deux suites adjacentes avec u croissante et v décroissante. D'après le résultat (2), on a pour tout entier naturel n : u0 6 u1 6 · · · 6 un 6 vn 6 · · · 6 v1 6 v0 En conséquence et d'après le résultat (3) : – La suite u est croissante et majorée par v0, donc converge vers le réel ?. – La suite v est décroissante et minorée par u0, donc converge vers le réel ??. D'après le résultat (1), lim n?+∞ un ? vn = 0 ? limn?+∞un = limn?+∞ vn ? ? = ? ? On a démontré que deux suites adjacentes sont convergentes et ont la même limite . Exercice 2 1. Montrons par récurrence sur n, que, pour tout n, un = 1 + 12 5n . • Initialisation : u0 = 13 = 1 + 12 50 donc c'est vrai au rang 0. • Hérédité : supposons que un = 1+ 12 5n pour un entier n. Alors un+1 = 1 5un+ 4 5 = 1 5(1+ 12 5n )+ 4 5 = 1 5+ 12 5n+1+ 4 5 = 1+ 12 5n+1 La propriété est donc démontrée au rang n+1.

• u? ? v?


• limite ?


• n?1


• abscisse du milieu du segment

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• Publié par: pefav
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• Langue: Français

Extrait

2008 – 2009

o DS n5

Exercice 1 Soituetvdeux suites adjacentes avecucroissante etvdécroissante. D’après le résultat (2), on a pour tout entier natureln:

u 0 6u 1 6∙ ∙ ∙6u n 6v n 6∙ ∙ ∙6v 1 6v 0

En conséquence et d’après le résultat (3) : – Lasuiteuest croissante et majorée parv 0 , donc converge vers le réelℓ. ′ – Lasuitevest décroissante et minorée paru 0 , donc converge vers le réelℓ. ′ D’après le résultat (1),limu n −v n = 0⇔limu n = limv n ⇔ℓ=ℓ n→+∞n→+∞n→+∞ On a démontré que deux suites adjacentes sont convergentes et ont la même limite .

Correction

Exercice 2 12 1.Montrons par récurrence surn, que, pour toutn,u n = 1 +. n 5 12 •Initialisation :u 0 = 13 = 1 +donc c’est vrai au rang 0. 0 5 12 14 112 41 12 412 •Hérédité : supposons queu n = 1+pour un entiern. Alorsu n+1 =u n 1++ =)+ = ++ = (1+ n nn+1n+1 5 55 55 55 55 5 La propriété est donc démontrée au rang n+1. 12 Conclusion : Pour tout entier natureln, u n .= 1 + n 5 n On a donclimu n = 1 car+lim 5 =∞. n→+∞n→+∞ 12 2.a)S n+1 −S n =u n+1 >0 caru n = 1 +>1>0 pour toutn∈. La suite (S n ) est croissante. n 5 n nn 1 n+1 X XX 12 1−( ) 1 3 5 b)u k = 1+ =n+ 1 + 12=n+ 1 + 15(1−) =n+ 16− k 1 n+1n 5 1 − 5 5 5 k=0k=0k=0 3 c) limn+ 16 = +∞lim= 0 doncet limS n = +∞. n n→+∞n→+∞n→+∞ 5

Exercice 3 Partie A

1.fest dérivable comme composée, quotient et somme de fonctions dérivables sur ]−1 ;+∞[. lnv ′ ′ f=u−en posantu(x) =xetv(x) = 1 +x.u(x) = 1 etv(x) = 1. v ′ v   ′ ′ ×v−vlnv ′ lnv1−vlnv ′ ′′ v ′ f=u−=u−=u−. 2 2 v vv 2 1−ln(1 +x+) (1x)−1 + ln(1 +x) ′ Par conséquent, pour toutxde ]−1 ;+∞[,f(x) = 1−= . 2 2 (1 +x+) (1x) 2 2.On poseN(x) = (1 +x)−1 + ln(1 +x).Nest dérivable comme somme et composée de fonctions dérivables. 2 1 2(1+x1) + ′ N(x) = 2×1×(1 +x) +Comme= .x; ++ 1appartient à ]∞+[, 1x >0. Le numérateur est 1 +x1 +x ′ positif comme somme de nombres strictement positifs. Par conséquent,N(x)>0 pour toutx. On en déduit queNest croissante sur ]−1 ;+∞[. N(0) = 0 doncN(x)<0 pour toutxde ]−0[ et1 ;N(x)>0 pour toutx >0. N(x) ′2 f(xqui est du signe du numérateur) =N(x+) car (1x)>0 pour toutx. 2 (1 +x) ′ ′′ Par conséquent,f(x)<0 sur ]−0[,1 ;f(0) = 0 etf(x)>0 pourx >0. On en déduit le tableau de variations def: x−1 0 +∞ ′ f(x)−0 + f(x)ց ր 0