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2008 – 2009
o DS n5
Exercice 1 Soituetvdeux suites adjacentes avecucroissante etvdécroissante. D’après le résultat (2), on a pour tout entier natureln:
u06u16∙ ∙ ∙6un6vn6∙ ∙ ∙6v16v0
En conséquence et d’après le résultat (3) : – Lasuiteuest croissante et majorée parv0, donc converge vers le réel. – Lasuitevest décroissante et minorée paru0, donc converge vers le réel. D’après le résultat (1),limunvn= 0limun= limvn=n+n+n+On a démontré que deux suites adjacentes sont convergentes et ont la même limite .
Correction
Exercice 2 12 1.Montrons par récurrence surn, que, pour toutn,un= 1 +. n 5 12 Initialisation :u0= 13 = 1 +donc c’est vrai au rang 0. 0 5 12 14 112 41 12 412 Hérédité : supposons queun= 1+pour un entiern. Alorsun+1=un1++ =)+ = ++ = (1+ n nn+1n+1 5 55 55 55 55 5 La propriété est donc démontrée au rang n+1. 12 Conclusion : Pour tout entier natureln, un.= 1 + n 5 n On a donclimun= 1 car+lim 5 =. n+n+12 2.a)Sn+1Sn=un+1>0 carun= 1 +>1>0 pour toutn. La suite (Sn) est croissante. n 5 n nn 1n+1 X XX 12 1( )1 3 5 b)uk= 1+ =n+ 1 + 12=n+ 1 + 15(1) =n+ 16k1n+1n 5 15 5 5 k=0k=0k=0 3 c) limn+ 16 = +lim= 0 doncet limSn= +. n n+n+n+5
Exercice 3 Partie A
1.fest dérivable comme composée, quotient et somme de fonctions dérivables sur ]1 ;+[. lnv ′ ′ f=uen posantu(x) =xetv(x) = 1 +x.u(x) = 1 etv(x) = 1. v v  ×vvlnvlnv1vlnv ′ ′vf=u=u=u. 2 2 v vv 2 1ln(1 +x+) (1x)1 + ln(1 +x) Par conséquent, pour toutxde ]1 ;+[,f(x) = 1= . 2 2 (1 +x+) (1x) 2 2.On poseN(x) = (1 +x)1 + ln(1 +x).Nest dérivable comme somme et composée de fonctions dérivables. 2 1 2(1+x1) + N(x) = 2×1×(1 +x) +Comme= .x; ++ 1appartient à ]+[, 1x >0. Le numérateur est 1 +x1 +x positif comme somme de nombres strictement positifs. Par conséquent,N(x)>0 pour toutx. On en déduit queNest croissante sur ]1 ;+[. N(0) = 0 doncN(x)<0 pour toutxde ]0[ et1 ;N(x)>0 pour toutx >0. N(x) 2 f(xqui est du signe du numérateur) =N(x+) car (1x)>0 pour toutx. 2 (1 +x) ′ ′Par conséquent,f(x)<0 sur ]0[,1 ;f(0) = 0 etf(x)>0 pourx >0. On en déduit le tableau de variations def: x1 0 +f(x)0 + f(x)ց ր 0