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Les grilles d'analyse

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Correctiondubacblancdu4février
I
PartieA
0Soit(E)l’équation différentielle: y ?y?x?2.
01. Soitv :x7!ax?b unefonctionaffine;v (x)?a.
0v estsolutionde(E)si,etseulementsi,pourtoutx,v (x)?v(x)?x?2,c’est-à-direa?ax?b?x?2,soit(a?1)x?b?2?a?0.
?
a?1?0
Paridentificationdescoefficients,ontrouve: quidonnea?1etb??1.
b?a??2
Finalement : f(x)?x?1 .
0 0 0 0 0 0 02. g solutionde(E),g ?g?x?2,g ?g?v ?v,g ?v ?g?v,(g?v) ?g?v (car?x?2?v ?v).
0Parconséquent:g solutionde(E),g?v solutionde(E’): y ?y.
x3. Lessolutions de(E’)sontlesfonctionsu ?x7!ke , k2R,donclessolutions de(E)sontlesfonctions f avec f (x)?g(x)?k k k
x x xke donc f (x)?ke ?g(x)d’où f (x)?ke ?x?1, k2R .k k
4. Soit f lasolutiondontlacourbereprésentativepasseparO;onadonc f(0)?0d’oùk?1?0,soitk?1.
x
Parconséquent: f(x)?e ?x?1 .
x x5. Ona f(x)?(x?1)?e et lim e ?0donc lim [f (x)?(x?1)]?0.
x!?1 x!?1
‘LadoiteΔd’équation y?x?1estdoncasymptoteàlacourbeC représentativede f auvoisinagede?1.
0 06. Ona f (x)? f(x)?x?2donc f (0)? f(0)?0?2?2.L’équationdelatangenteàC en0est: y?2x.
Courbe:
5
4
3 C
2
1 Δ
?5 ?4 ?3 ?2 ?1 1 2
?1
?2
?3
?4
?5
PartieB
0 ?tSoitl’équation différentielle f (t)?ae ?f(t)aveclaconditioninitiale f(0)?0.
t1. Onposeg(t)?e f(t).g estdérivablecommeproduitdefonctionsdérivables.
0 0 t ?t t 08t,g (t)?(f(t)?f (t))e ?ae e ?a,donc.8t2R, g (t)?a .Onendéduitqueg(t)?at?b,oùa etb sontdesréels.
f(0)?0)g(0)?0donc g(t)at .
?t ?t2. Onendéduit: f(t)?g(t)e ? ate .
?t3. Onposea?5.Alors f(t)?5te .
0 ?t ?t ?t ?t(a) f (t)?5e ?f(t)?5e ?5te ?5(1?t)e qui est du signe de 1?t, donc positif sur [0 ; 1], nul pour t?1et négatif
?1 ?1pourt?1.Letauxd’alcoolémieestdoncmaximalpourt?1heureetvaut: f(1)? 5e ?1,84g.L .
(b) Ondoitrésoudrel’inéquation f(t)?0,5.
?t ?tf(t)?0,5,5te ?0,5,te ?0,1.Ontrouveàlacalculatricet?3,57h,soit 3h34minenviron .
Ilfautattendreunpeuplusdetroisheuresetdemiavantdepouvoirreprendrelevolant.
Page1/5II Réunion,juin2007
p
1. (a) b? 3?3i.
p p
2 2Onajbj ?3?9?12?(2 3) .Doncjbj?2 3.? !p ? ? ? ? ??p p p1 3 ? ? ??i
3b peutdoncs’écrireb?2 3 ?i ?2 3 cos ? ?isin ? ? 2 3e .
2 2 3 3
p
0(b) On aaussijaj?2 3.DoncB appartient au cercledecentreOet derayon[OA].Si A est lesymétrique deAparrapport
0à O, il suffit de construire la médiatrice de [OA ] qui coupe le cercle au point B (point du cercle de partie imaginaire
positive).
? ??! ?! ??! ?! 1 ?! ?!
2. (a) PourtoutM,(1?3)ME?MA?3MCdoncavecM=O,OE? OA?3OC .
4
p p? ?p1 1 3 3 3 3
Onendéduitquee? (a?c)? 2 3?2i ?? ? i. e?? ? i
4 4 2 2 2 2
? ? ? ? ? ?p p p p p?! 1 ?! ?! 1 1 1
(b) Demême,OF? 2OA?OB donc f ? (a?b)? 2??2 3? 3?3i ? ?3 3?i ?? 3?i. f ?? 3?i
3 3 3 3
p
3 3 ?p ?? p ?p p p p? ? i?2ie?c ? 3?i 3?i 3?i 3 3?9i 12 3i 32 23. (a) ? ? ? ? ? ? i qui est bien un imaginairep p p ? p ?2e?b p 2 108 93 3 ?3 3?9i 3 3?9i 3 3 ?(?9)
? ? i? 3?3i
2 2
pur.
p ? ? ?e?c 3 ?! ?!
L’égalité ? ientraîneenprenantlesarguments: BE, CE ? [2?] .
e?b 9 2
Celamontrequeladroite(BE)estperpendiculaireàladroite(CE).MaisE,barycentredespoints AetC,appartientàla
droite(AC);doncEestlepieddelahauteurissuedeBdansletriangle(ABC).
p p
f ?c ? 3?i?2i 3
(b) Onademême ? p p ?...? i .
f ?b 2? 3?i? 3?3i
En prenant les argumentsdes deuxmembres onmontre que les droites(BF)et (CF)sont perpendiculaires etcomme F,
barycentredeAetB,appartientàladroite(AB),FestlepieddelahauteurissuedeCdansletriangle(ABC).
4. On peut écrire que H est le barycentre de {(F ; 3) ; (C ; 6)} en utilisant l’associativité du barycentre, donc H appartient à la
droite(CF).
Demême comme le barycentredu système {A; 2) ; (C; 6)} est aussi le barycentredu système {A; 1) ; (C ; 3)}, on en déduit,
toujoursd’aprèsl’associativité dubarycentre,queHestlebarycentredusystème{A; 1); (C; 3); (B; 1)}soitlebarycentredu
système{E; 3); (B; 1)}.DoncHappartientàladroite(BE).
FinalementHappartientàdeuxhauteursdutriangle(ABC)doncc’estl’orthocentredutriangledutriangle(ABC).Parconsé-
quence,ladroite(AH)estperpendiculaireàladroite(BC)).
4
3
2 C
E
1
H
A 0
A’
-5 -4 -3 0 -2 -1 O 0 1 2 3 4 5H
-1
F
-2
-3
B
-4
Page2/5
bb
+
+
+
+
+III
Soit f lafonctiondéfiniesurl’intervalle [0;?1[par:
5
f(x)?6? .
x?1
1. Étudedepropriétésdelafonction f
(a) Sensdevariationdelafonction f surl’intervalle [0;?1[:
50f (x)? ?0 ; lafonction f estdoncstrictementcroissantesur[0;?1[
2(x?1)
(b) Résolution dansl’intervalle [0;?1[del’équation f(x)?x :
5 6x?6?5 2 2f(x)?x()6? ?x() ?x()6x?1?x ?x()x ?5x?1?0
x?1 x?1
8 p
> 5? 29< ?? '5,1932[0;?1[
2 2pΔ?(?5) ?4?1?(?1)?29; donc
> 5? 29: ?? '?0,193?[0;?1[
2
(c) Lafonction f étantcroissantesur[0;?1[:
0?x??()0?1? f(0)? f(x)??? f(?)
Demême:
x??() f(x)??? f(?)
2. Étudedelasuite(u )pouru ?0.n 0
Danscettequestion,onconsidèrelasuite(u )définieparu ?0etpourtoutentiernatureln :n 0
5
u ? f (u )?6? .n?1 n
u ?1n
(a) Voirannexe.
Onconjecturequelasuite(u )estcroissanteetconvergevers?.n
(b) Montronsparrécurrenceque,pourtoutentiernatureln, 0?u ?u ??n n?1
? Initialisation:u ?0etu ?1?)0?u ?0?u ?1???5,193doncc’estvrai.0 1 0 1
? HéréditéSupposons quepourunn donné,onait:0?u ?u ??.Lafonction f étantcroissantesur[0;?]:n n?1
0?u ?u ??()0?1? f(0)?u ? f(u )?u ? f(u )??? f(?)n n?1 n?1 n n?2 n?1
? Ainsi,d’aprèsl’axiomederécurrence: 8n, n2N, 0?u ?u ?? .n n?1
(c) Lasuite(u )étantcroissanteetmajoréepar?,elleestconvergentevers`.n
Lafonction f étantcontinuesur[0;?],`vérifie:
lim u ?`?) lim f(u )?u ? f(`)?) f(`)?`n n n?1
n!?1 n!?1
Noussavonsqueseul?vérifie f(x)?x sur[0;?1[.Ainsi:
lim u ??n
n!?1
3. Étudedessuites(u )selonlesvaleursduréelpositifounulun 0
2?u ?5u ?100 2– Siu 2[0;?[,u ?u ? f (u )?u ? ?0caru ?1?0et?u ?5u ?1?0puisqueu estentrelesdeuxracines,0 1 0 0 0 0 0 00
u ?10
d’après1.b).Onmontrealorsparrécurrencecommeen2.b)quelasuite(u ) estcroissanteetconvergevers?.n n2N
– Siu ??,lasuiteestconstanteetégaleà?.0
– Siu 2]?;?1[,lasuiteestdécroissante(caronmontrequeu ?u puisquelasuiteestdécroissanteparrécurrencecomme0 1 0
en2.b))etconvergevers?.
Page3/5u4 A
5
u3
4.5
4
u2
3.5
3
2.5
2
1.5
u1
1
0.5
?0 A 0.5 A 1 1.5 2 2.5 3 A 3.5 4 4.5A 5A0 1 2 3 4
Page4/5?? !? ? ?p p? ? ? ? ? ?IV Exercicepourlesnon-spécialistes 5? 1 3 1 3? ? ? ? ? ?i ?13? ?e ? ? ? ?i ?1 ? ? ?? ?i ? ?
? ? ? ?2 2 2 2
1. Figure r
1 3 ?? ?1;pourtoutn2N , M M ?1n?1 n?1
M 4 40M M5 7
Exercicedespécialité
M M10 2
PartieAO
M M3 9
1. voircours?1
M M 2. 629?17?378 4
M M1 11
M6 PartieB
?1
1. (a) SoitN lenombres’écrivantenbase12:1
125? N ??1?12. Le terme général de la suite (a ) est a ? a ?n? ?n n 0
6
2 1? 5n? OnadoncN ?11?12 ?1?12 ?10? 1606 .1? .
2 6 (b) SoitN lenombres’écrivantenbase10:N ?1131.2 2a est un argument de z et z est de module 1 doncn n n
La plus grande puissance de 12 contenue dans 1131? ?? 5n?i ? 2 22 6z ?e .n est12 et1131?7?144?123?7?12 ?10?12?3.
? ? 12? ? z???! ?????! Onadonc N ?7?3 .n?6 2
3. (a) ? Pour tout n, OM ; OM ?arg ?2k??n n?6
Autrefaçon:zn
arg(z )?arg(z )?2k??a ?an?6 n n?6 n 1731?12?94?3;94?12?7?10,10étantnoté?en
5? 0 base12et7?12?0?7.? 6? ?2k?? 5??2k????2k ? où k 2Z et
6 12
0 Parconséquent: N ?7?3 .2k 2Z.
???! ?????!
UnangleorientéentreOM etOM estdonc?:n n?6 Danstoutelasuite,unentiernaturelN s’écrirademanière
M etM sontdoncdiamétralementopposés.n n?6 généraleenbase12:? ?? ????! ?????! zn?12
? De même, OM ; OM ?arg ?2k??n n?12 12zn N?a ???a an 1 0
5?
arg(z )?arg(z )?2k??a ?a ?12? ? i in?12 n n?12 n 2. (a) Onapour1?i?n,a ?12 ?12 [0],donca ?12 ?i i6
0 02k??10??2k??0?2k ?oùk2Zetk 2Z. 3 (0).Donc N?a (3) .0???! ?????!
UnangleorientéentreOM etOM estdonc0:n n?12 On en déduit que si a est un multiple de 3, N l’est0
M etM sontdoncconfondus.n n?12 aussi. (ou encore N est multiple de 3 s’il se termine
? ? ? ?5(n?4)?? 20? ? 5n? par0,3,6ou9.i ? i i ?2 6 6 2 6(b) 8n 2 N, z ? e ? e ? e ?n?4
? ? ? ?
10? ? 5n? 2? 2i?i i ? i 4?? ? 123 2 6 3 3e ?e ?e z ? e z .n n (b) Comme N ?7?3 ,ilestdoncmultiple de3.Deson2? ?
2i?? ?? 3 écrituredécimale(1131)etde1?1?3?1?6estmul-On a alors : M M ?jz ?z j??e z ?z ??n n?4 n?4 n n n
? ?p tiplede3,donc1131l’estaussi.? ? ? ? ? ?
2i? 2i? 1 3? ? ? ? ? ?? ? n3 3 X?e ?1??jz j ? ?e ?1? ? ?? ?i ?1? ?n i? ?2 2 3. (a) OnaN? a ?12 .iv? ? i?0u ? !p p r2? ?? ? 2u ip3 3 3 3 9 3? ? 12?11[11],donc,quelquesoiti2N,12 ?1[11].t
?? ?i ? ? ? ? ? ? ? ? 3
? ? Parconséquent: N?a ?????a ?a [11] .2 2 2 2 4 4 n 1 0
p Conclusion :unnombreécritenbase12estunmul-
donc M M ? 3 .n n?4 tiplede11silasommedesnombresreprésentantses
chiffresestelle-même unmultiple de11.p
On en déduit que M M ? 3 et M M ?n?4 n?8 n?4 n?12p p (b) AinsipourN ,comme??1??soit11?1?10?22?1
3,c’est-à-direM M ? 3puisque M ?M .n?8 n n?12 n
2?11, N estunmultiple de11.1
LetriangleM M M estdoncéquilatéral.n n?4 n?8
En écriture décimale 1606? 146?11, montre bien
(c) Pour tout n 2 N, M M ? jz ?z j ?n n?1 n?1 n? ?? ? queN estunmultiplede11.1? h i?? ? ? ?5(n?1)?? ? ?? 5n? ? 5n? 5?i ? ? ?i ? i ? i? 2 6 ? 122 6 2 6 6e ?e ??e e ?1 ?? ? 4. Des questions 2. et 3. on déduit que N ? x4y
? ?p? ?? ? ? ? ? ? est un multiple de 3 et de 11 et donc de 3? 11,? ?
? 5n? 5? 5? 3 1? ?? ? ? ? ? ?i ? i i2 6 6 6??e ??e ?1???e ?1???? ?1? i?? puisque ces deux nombres sont premiers entre eux, si :? ? ?2 2
v y ? 0 (3)? ? u? !p p 2 ? ?? ? 2u x?4?y ? 11k3?2 1 3?2 1? ? t
?? ? i?? ? ?
? ?2 2 2 2
s ? y?0)x?7p q q
p p3?4?4 3?1 ? y?3)x?4? ? 2? 3. M M ? 2? 3 .n n?1
4
? y?6)x?1
?De même, pour tout n 2 N : M M ? ? y?9)x?9n?1 n?1? ? ? ? ?? ? ? ? ?h i? ? 5(n?1)? ? 5(n?1)? ? ? ? 5(n?1)? ?5?i ? i ? i ? i? 2 6 2 6 ? ? 2 6 ? 12 12 12 123e ?e ? e e ?1? ? ? ? Lessolutionssontdonclesnombres740 , 443 , 146 , 949 .
Page5/5
bbbbbbbbbbbbb

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