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PCSIB TD7 Mouvement force centrale

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PCSIB TD7 Mouvement à force centrale 2011-2012 Eléments de correction du TD7 2 Equation de la trajectoire à partir des formules de Binet Considérons un point matériel M , de vitessse ~v et d'accélération ~a en mouvement dans un référentiel galilén. M soumis à une force centrale de centre O ~f = f(r) ~ur avec r = OM et ~ur = ??? OM r . 1. On a ~v = vr ~ur + v? ~u?, avec vr = r˙ et v? = r?˙ = 1u ?˙. Or C = r2?˙ = ?˙u2 , donc ?˙ = Cu2 et v? = Cu De plus, vr = r˙ = dr dt = dr d? d? dt = dr d? Cu2 = d 1u d? Cu2 = ? 1 u2 du d? Cu2 soit vr = ?C dud? Finalement, ~v = ?C dud? ~ur + Cu ~u? donc ~v = C(?dud? ~ur + u ~u?) On a ~a = d~v dt = (r ? r?˙2) ~ur + (2r˙?˙ + r?) ~u? = ar ~ur + a? ~u? Donc a? = 1r (2rr˙?˙ + r 2?) = 1r d dt(r 2?˙).

  • expression précédente de em

  • d?2

  • pcsib td7

  • force centrale

  • diminution globale de l'énergie

  • d?

  • ?c d2u

  • ?c dud?


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PCSIB
TD7 Mouvement À force centrale
ElÉments de correction du TD7
2011-2012
2Equation de la trajectoire À partir des formules de Binet ConsidÉrons un point matÉrielM, de vitessse~vet d’accÉlÉration~aen mouvement dans un rÉfÉrentiel galilÉn. −−→ OM ~ Msoumis À une force centrale de centre Of=f(r)u~ravecr=OMetu~r=. r 1. Onav~=vru~r+vθu~θ, avec vr=r˙ ˙ ˙ 1 etvθ==θ. u ˙ 2θ ˙ OrC=r θ=2, donc u ˙ 2 θ=Cuetvθ=Cu De plus, vr=r˙ dr = dt dr dθ = dθ dt dr 2 =Cu 1 d u2 =Cu 1du 2 =Cu 2 u dθ soit du vr=C du Finalement,v~=C~ur+Cu u~θdonc du v~=C(u~r+uu~θ) On a d~v ~a= dt 2 ˙ ˙¨ = (r¨)u~r+ (2r˙θ+)u~θ =aru~r+aθu~θ ˙ ¨˙ ˙˙ 1 21d2 2d2 Doncaθ= (2rr˙θ+r θ) =(r θ). Commer θ=C,(r θ) = 0doncaθ= 0(ce que l’on r rdt dt retrouve avec le PFD : il n’y a pas de composantes de forces selonu~θ). Dans un mouvement À force centrale, l’accÉlÉration est purement radiale :
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