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RecentResultsonNon–AdiabaticTransitionsinQuantumMechanicsGeorgeA.HagedornandAlainJoyeAbstract.WereviewmathematicalresultsconcerningexponentiallysmallcorrectionstoadiabaticapproximationsandBorn–Oppenheimerapproxima-tions.IntroductionThegoalofthispaperistoreviewrecentresultsonexponentiallysmallnon-adiabatictransitionsinquantummechanics.InSection1,weprovidebackgroundinformationaboutadiabaticapproximations.InSection2,wediscussthedetermi-nationofnon–adiabaticscatteringtransitionamplitudes.InSection3,wedescribethetimedevelopmentofexponentiallysmallnon–adiabatictransitions.InSection4,weturntoexponentiallyaccurateBorn–Oppenheimerapproximations.TheninSection5,wediscussthedeterminationofnon–adiabaticcorrectionstoBorn–Oppenheimerapproximationsinascatteringsituation.1.AdiabaticBackgroundTheadiabaticapproximationinquantummechanicsconcernsthetime–depen-dentSchro¨dingerequationwhentheHamiltoniandependsontime,butvariesonaverylongtimescale.Mathematically,thissituationcorrespondstothesingularlyperturbedinitialvalueproblem(1.1)i²∂tψ²(t)=H(t)ψ²(t)²(0)=φ(0),wheretR,²isasmallparameter,andψ²(t)belongstoaseparableHilbertspace.HInasimplesituation,theadiabaticapproximationreliesontwobasicassump-tions.ThefirstisaregularityconditionontheHamiltonian:R:TheHamiltonianH(t)isaboundedself-adjointoperatoronHthatdependssmoothlyont.1991MathematicsSubjectClassification.Primary81Q05,81Q15;Secondary81Q55,81Q20.Keywordsandphrases.Molecularquantummechanics,adiabaticapproximations,Born–Oppenheimerapproximations.SupportedinpartbyNSFGrantDMS–0303586.1
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