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Courbes algebriques sur les corps finis version preliminaire

De
37 pages
Courbes algebriques sur les corps finis version preliminaire Christian Pauly avril 2006

  • extensions galoisiennes

  • varietes algebriques

  • aspects cohomologiques des conjectures de weil

  • theoreme de riemann-roch

  • courbes projectives

  • corps fini


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Courbes
alg´ebriquessurlescorps versionpr´eliminaire
Christian Pauly
avril
2006
finis
2
Tabledesmatie`res
1 Introduction 2Th´eoriedeGalois 2.1 Extensions de corps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Extensions galoisiennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Corps finis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4 Extensions transcendantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5Applicationdelath´eoriedeGalois......................... 2.6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3Vari´et´esalge´briques 3.1Espaceaneetvarie´t´esanes........................... 3.2 Actions galoisiennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3Espaceprojectifetvarie´te´sprojectives....................... 3.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Courbes projectives 4.1 Anneau de valuation discrete . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ` 4.2 Diviseurs et groupe de Picard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3Formesdi´erentielles................................. 4.4Leth´eor`emedeRiemannRoch............................ -4.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 Fonction zˆta e 5.1 Courbes projectives sur un corps fini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2De´nitiondelafonctionzeˆta............................. 5.3AnalogieaveclafonctionzˆetadeRiemann..................... 5.4Rationalit´edelafonctionzeˆta............................ 5.5FonctionzeˆtaetpointsFqm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .-rationnels . 5.6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6Corrig´esdesexercices
3
5 7 7 9 11 12 13 16 19 19 21 21 21 25 25 25 26 26 26 29 29 31 32 33 33 33 35
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