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(D.S.E.T.I.), U.F.A.S. Novembre 2008 Dr. MAHDAOUI Toufik  Mécanique rationnelle « Physique 04 » Premier Cours : Calcul Vectoriel (Rappel et généralités) Références & Bibliographie : 1- Starjinski, Mécanique rationnelle, Cours abrégé, éd Mir, Moscou S8/35531  2- Murray Spiegel, Mécanique générale, série schaum,  S4/8032  3- Beer, mécanique à lusage des ingénieurs, Stat., Cours et exercices.  ??  4- Hanni Tahar, mécanique générale, exercices et problèmes résolus.  ??  1.1. Généralités  La mécanique peut être définie comme la science qui décrit et prédit les conditions de repos ou de mouvements des corps soumis à laction dun ensemble de forces. Elle se divise en trois grandes parties : mécanique des corps rigides, mécanique des corps déformables et mécaniques des fluides.  La mécanique des corps rigides qui nous intéresse particulièrement dans notre programme est habituellement divisée en statique et dynamique : la première partie étudia les corps au repos et la dernière les corps en mouvement.  La construction mécanique ne présente pas cette rigidité absolue, en réalité les déformations sont généralement plus petites et naffectent pas sensiblement léquilibre de la structure concernée. Pour cette raison, elles seront étudiées en détail dans la mécanique des matériaux (corps déformable). 1.2. Forces Coplanaires 1.2.1. Définition dun force  On appellera force toute action sur un corps pouvant le déformer (résistance des matériaux) et/ou modifier son état de mouvement (corps rigide). a) Caractéristiques dune force La force représente laction dun corps sur un autre. Pour la caractériser nous devons préciser ses caractéristiques suivantes:- Grandeur (intensité)- Direction (angle par rapport à une ligne de référence)  F Sens (point de la flèche : deux sens pour une direction) -- Point dapplication (origine)O(ligne de réf.) Fig. 1.1. Hypothèse  Si notre corps est déformable, il y a modification de sa forme sous leffet de la force. Dans le cas dun solide rigide, la modification se fait sur son état de mouvement sous leffet de laction de la force. b) Point matériel  Nous appelons points matériels des corps dont la grandeur et la forme ninterviennent pas dans la solution des problèmes traités. Ceci revient à admettre que toutes les forces appliquées au corps possèdent le même point dapplication. Il en résulte alors que chaque force sera complètement définie par sa grandeur et son orientation.c) Addition des vecteurs  Soit deux vecteurs de forcesP etQ, laddition des vecteursP etQ se fait en transportant les origines des deux vecteurs sur un seul point A et en construisant le parallélogramme qui aPetQcomme cotés (voir figure 1.2.) Le vecteur résultantR = P + QP R A  
1
Q
Fig. 1.2.
(D.S.E.T.I.), U.F.A.S. Novembre 2008 Dr. MAHDAOUI Toufik  Remarque
Laddition vectorielle est une opération commutative :
R
= P + Q = Q + P
1.2.2. Forces concourantes  Considérons le point A sur lequel agissent plusieurs forces coplanaires (forces faisant partie dun seul et même plan) ; nous dirons encore que ces forces sont concourantes parsquelles passent toutes par le même point A (voir figure 1.3). Ppt AQPQ             PQpt Apt AS ST Fig. 1.3. 1.2.3. Décomposition dune force suivant ses composantes
 Réciproquement, il est toujours possible de remplacer une force unique
F
,
agissant sur un point (A), par deux ou plusieurs forces qui auraient les mêmes effets sur ce point. PPFPpt AF A ptFQ Q pt AQFig. 1.4. Nous devons considérer deux cas dun intérêt particulier : 1- une des composantes est fixée. 2- Les deux directions des compositions sont données. 1.2.4. Composantes rectangulaires dune force
 Nous montrons la décomposition dune forceFsuivant deux axes perpendiculaires. FxetFy. On appelle parfois les composantes rectangulaires deF.  y YFP F P x Qpt AQ x A pt y S SyFig. 1.5.py P Exemple :SxQxPx x  Une force de 800N est appliquée sur un point A (Voir figure 1.6). Calculez les composantes vectorielles de la force suivant x et y.QyQ Fig. 1.6.
 
2
n n n Rx=Fx ,Ry=Fy ,Rz=Fz1 1 1
cos(θx R) =X, cos(θy) = Ry, cos(θz)
R =
z F3 r F3z r F3x FrF2y 3y r F2x  y
 z r  F3 (θ3x,θ3y ,θ3z) y Fig. 1.9. 
r F1 (θ1x,θ1y ,θ1z) 
1.3. Force de lespace 1.3. Forces de lespace 1.3.1. Décomposition dune force de lespace  Dans ce qui suit, nous traiterons des situations physiques dans lespace; considérons une forceF à lorigine O, du système orthonormé (o,x,y,z). appliquée
Généralement :Rx=Fx etRy=Fy
La résultante : RR =2x+ R2y+ R2z
r F2 F2Z 
(D.S.E.T.I.), U.F.A.S. Novembre 2008 Dr. MAHDAOUI Toufik  Solution :
Fx= F cos(α 800. = 655 N cos(35°) = F cos(35°)) =Fy= F sin(α) = sin(35°) = 800. = F sin(35°) 459 N1.2.5. Addition des forces par la méthode analytique Cette méthode consiste à projeter les forces suivant deux axes x et y perpendiculaire entre eux.
y= Py+ Sy+ Qy
Rx= Px+ Sx+ Qx ,R
F1x F1y 
z 
Fig. 1.8. 
 
x
r F1Z 
r F1 
3
r F2 (θ2x,θ2y ,θ2z) 
x
(figure 1.7).  z On a : Fz cos(= Fθ)B Et puisque :Fh= F sin(θ)Donc :Fx= Fhcos(φ F sin() =θ) cos(φ)FzetθFA Fy= Fhsin(φ F) = sin(θ)sin(φ)FxDautre part :F² = + OB² = OA² F BA² =z2+ Fh2OφD x EtFh2 + DC² = F = OD²= OC²x2+ Fy2FyFhAlors :F = Fx2+ F2+ F2Cy z  y Fig. 1.7. 1.3.2. Addition de plusieurs forces concourantes dans lespace
Pour définir la direction deF, en traçant le plan vertical OBAC contenantF