1 Réduction des matrices

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1 Réduction des matrices

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Université de Caen U.F.R. Sciences

Année universitaire 2006-2007 Calcul symbolique - EM32

Licence 2 - Mathématiques o Travaux dirigés n 9 : algèbre linéaire (1)

[matrix,diag,evalm,det,charpoly,solve,eigenvalues,vector,eigenvectors,linsolve] Commencer par charger le packagelinalg: > with(linalg):

1 Réductiondes matrices Exercice 1SoitMla matrice suivante :   0−2 0   M 0:= 1−1 . 0 20 1. Créerla matriceI 3 (matrice identité d’ordre 3). 2. Créerla matriceM−XI 3 ∈Mat 3 (C[X])(= ensemble des matrices carrées d’ordre3à coefficients dansC[X].) 3. Déterminerles valeurs propres de la matriceM. 4. Déterminerdes vecteurs propres associés à chacune des valeurs propres. 5. Écrireune procédurepassagequi, pour une matriceAà valeurs propres distinctes, et à partir −1 de la sortie de la commandeeigenvectors(M), crée une matricePinversible telle queP AP soit une matrice diagonale. 6. Appliquervotre procédure à la matriceM. Exercice 2SoitMla matrice suivante :   3 0 8   M := 3−1 6 . −2 0−5 1. Montrerque la matriceMadmet une valeur propreλ 0 de multiplicité trois. 2. Déterminerle sous-espace propreSEP(M, λ 0 )?. La matrice est-elle diagonalisable 3. Créerla matricePsuivante :   0−2α 1   P := 10α 2 . 0 1α 3 −1 4. MontrerquePP Mvaut, sous réserve de choisirα 1 etα 3 tels queα 1 + 2α 3 6= 0,   −1 0−2(α 1 + 2α 3 )   0−1 3(α 1 + 2α 3 ) . 0 0−1 5. Endéduire un choix raisonnable desα i tel queMsoit semblable à la matrice :   −1 0−2   0−1 3 . 0 0−1

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