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Publications similaires

Définition
Introduction
Plan
Fonctions logiques (ET, OU, NON)
Règles de lAlgèbre de Boole
Théorème de De Morgan
Simplification des fonctions logiques
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Définition
Définit en 1847 par Georges Boole (1815-1864), physicien AnglaisAlgèbre applicable au raisonnement logique quitraite des fonctions à variables binaires (deuxvaleurs).Ne s'applique pas aux systèmes à plus de deuxétats d'équilibre.Permet d'étudier les circuits logiques (unsystème logique sert à modifier des signaux).
INTRODUCTION
Lalgèbre de Boole permetde manipuler des valeurs logiquesUne valeur logique na que deuxétats possibles :Vraie(1) ou Fausse(0).Plusieurs valeurs logiques peuvent être combinées pourdonner un résultat qui est lui aussi une valeur logiqueExemple :Vrai fauxOuvert ferméAvant arrière 
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Introduction
La manipulation des valeurs logiques repose sur 3 fonctions (ouopérateurs) logiques de base:ET, OU, NONA etB;A ou B; non ALa variable logique est une grandeur qui peutprendre 2 valeurs qui sont repéréeshabituellement 0 ou 1.Se note par une lettre comme en algèbreToutes les fonctions logiques sont formées des 3 fonctions de base
Fonction logiqueRésultat de la combinaison (logiquecombinatoire) d'une ou plusieurs variableslogiques reliées entre elles par des opérationslogique de base :la valeur résultante (O ou1 ) de cette fonctiondépend de la valeur des variables logiques.Une fonction logique possède une ou desvariableslogiques d'entrée et unevariable logique de sortie.Cette fonction logique se note par une lettre commeen algèbre.Exemple F = (A et B) ou C et (non D)
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Fonctions Logiques
Les fonctions logiques peuvent être représentées pardesTables de véritésLa table de vérité permet la connaissance de la sortie(d’un circuit logique) en fonction des diversescombinaisons des valeurs des entréesLe nombre de colonnes est le nombre total d'entrées et desortiesPour "N" entrées, le nombre de lignes nécessaire estdordre 2NExemple:Une fonction de 3 entrées et 1 sortie se représentepar une table de 4 colonnes et 8 lignes
Table de vérité(exemples)3 entrées et 1 sortie4colonnes et 8 lignesA B C Résultat0 0 0 A B C0 0 1 A B C0 1 0 A B C0 1 1 A B C1 0 0 A B C1 0 1 A B C1 1 0 A B C1 1 1 A B C
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Fonction logique ET(AND)
Représentation:F = A * B ou A • B ou AB
Table de véritéEntrée SortieB A F0 0 00 1 01 0 01 1 1
ABSymbole graphique
Fonction logique OU(OR)
Représentation:F = A + B
Table de véritéEntrée SortieB A F0 0 00 1 11 0 11 1 1
AB
Symbole graphique
F
F
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Fonction logique NON (NOT)
Représentation:F = A
Table de vérité
Entrée Sortie
A F0 1
1 0
A
Symbole graphique
Règles (ou propriétés) del’algèbre de Boole
F
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Théorème de De Morgan
A+B=A.B
Vérification :
A BA+BA.B0 0 1 10 1 0 01 0 0 01 1 0 0
Equivalent
A.B=A+B
Vérification :
  A BA.BA + B0 0 1 10 1 1 11 0 1 11 1 0 0
Equivalent
Simplification des fonctions logiques
Pourquoi ?
Utiliser le moins de composants possibles
Simplifier au maximum le schéma de câblageIl faut donc trouver la forme minimale de lexpressionlogique considérée
Deux méthodes
Algébrique(en utilisant des propriétés et des théorèmes)
Graphique(tableaux de Karnaught; ...)
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Exemple
S=A.B.C A.B.(A.C)+TransformationS=A.B.C + A.B.(A+C)=A.B C + A.B.A+A.B.C.= A.B.C + A.B+A.B.CVariables communesS=A.B + A.C.(B+B)=A.B + A.C=A.(B+C)
 
Simplifier les expressions suivantes :
A.B+A.B
(A+B).(A+B)
A.B+ A + B
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Correction 1
A.B+A.B=(A+A).B=1.B=B
(A+B).(A+B)=A.A+B.A+A.B+B.B=B.A+A.B
A.B+ A+B = A.B.(A+B)=(A+B).(A+B)=A.B+A.B
 
Prouver les théorèmes d ’absorption :
A.(A + B) = A
A+ A.B = A+ B
A.(A+ B)= A.B
A.B + A.C + B.C = A.B + A.C
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Correction
A.(A+B) = A.A+A.B=A+A.B=A.(1+B)=A
A+ A.B = A+ B car :A+B=(A+B).(A+A)=A+A.B+A.B=A.(1+B)+A.B=A+A.BA.(A+ B) A.B car :=A.(A+ B)= A.A+A.B=A.BA.B + A.C + B.C = A.B + A.C car :A.B + A.C + B.C= A.B + A.C + B.C.(A+A)=A.B+A.C+A.B.C+A.B.C=A.B.(1+C)+A.C.(1+B)=A.B+A.C
Fonction logique NON-ET(NAND)Représentation:F = A * B
Table de véritéEntrée SortieB A F0 0 10 1 11 0 11 1 0
AB
Symbole graphique
F
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Fonction logique NON-OU(NOR)
Représentation:F = A B+Table de véritéEntrée SortieB A F0 0 10 1 01 0 01 1 0
ABSymbole graphique
F
Fonction OU-EXCLUSIF (XOR)
Représentation:F = A BTable de véritéEntrée SortieB A F0 0 00 1 1 A1 0 1B1 1 0
Symbole graphique
F
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