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Algorithmique et Programmation Projet:permutationsdematricescreusesetd´ecompositionsdegraphes
Ecolenormalesup´erieure De´partementdinformatique td-algo@di.ens.fr 2011-2012
LepivotdeGauss(etlesm´ethodescomparables)restentunedesalternativeslesplusecacespour re´soudredessyst`emesline´airesAx=y. Quand la matriceAestdensei,nlypasachdangrae`os   3 faire,etlacomplexit´eduprocessusestdelordredeOnsadeorlgratvueiq(snoselie´poitartimhse asymptotiquement plus rapides existent, mais ils sont rarement plus efficaces en pratique). Par contre, quandAestcreusetdarupplecoesesosstneicxuage´tn(ca`d-se-teualriqe`az´ero),ilestpossbiel dutiliserdesalgorithmesplusecacesa`lafoisenth´eorieetenpratique.Lessyste`mescreuxapparaissent naturellementdansungrandnombredesituations,etonpeutge´rerdesmatricescreusesbeaucoupplus 6 grandesquelesdenses.Parexemple,ontraiteaujourdhuidessyste`mesde8.7´01auqenoitanesutant dinconnues.Stockerlamatricedense(deottants64bits)ne´cessiterait550 tera-octets, et pivoter la 23.5 matrice dense demanderaitga´ietr,acebtlten.Measitspeansfsnnca,qeium´eptraeitraeoci01o 6 que 66lin´`emesystondunoaderpsceroaerienbteotrˆeutpentrap(eues´en-no01trenosenitulllunU.se 9 lesbonnestechniques)apr`es45e`fserrtlb.eiaas10op´eratiorasnmhtiite´seuqeq,cesuiartpntco
Objectif du projet.ahuosnOrgorpetinarumeamhmitorlgeciruercnueetameneder´ntuieqenprse, et qui produit une permutation des lignes et une permutation des colonnes qui mettent la matrice sous formetriangulaireparblocs.Lint´erˆetdelaproc´edureestmultiple: Contrairementa`le´liminationdeGauss,cetteproce´durenaugmentepaslenombredentre´esnon-nulles dans la matrice. Unefoislamatriceenformetriangulaire,ilserasusantdappliqueruner´esolutionline´aire(creuse) auxblocsdiagonauxpourr´esoudrelesyste`meline´airecorrespondant(cequifaitgagnerdutemps et de l’espace).
Matrices et graphes.emUnriatcacesi,eament´eoriraphungdecirtamalemmocevureettˆeuep´err pourlesmatricesrectangulairescestmoinsclair.Enfait,unematricerectangulairede´critnaturellement un graphebipartidusocolnnse.iglsneleetoesnueonl,sdonsesdueadeu:ilyesdextypon-ntne´roei Chaqueentr´eenon-nulledelamatricecorrespond`aunearˆetedugraphe.Leproble`meoriginalsurles matricescreusesetransportedonc(etser´esoud)commeunproble`medede´compositiondegraphes.
1Premie`rephase:de´compositiondeDulmage-Mendelsohn Onsattaquemaintenanta`lamisesousformetriangulaireparblocdelamatricedadjacencedun graphe biparti connexe. On va en fait partitionner les lignes (respectivement, les colonnes) en trois sous-ensembles,cequirevient`apartitionnerlamatriceenneufsous-matrices,donttroisvontsave´rereˆtre nulles. On utilise lacemo´dnldmealgdee-MDeutionspoohsninocaontiesedqunien´dseutopiscemo,qui graphes bipartis.
1.1 CouplageMaximum Il faut dans un premier temps calculer uncouplage maximum(en anglais unmatching) dans le graphe biparti(cest-`a-direunsous-ensembledesarˆetesleplusgrandpossibletelquellesnaientaucunsommet encommun).Nousintroduisonsci-dessouslaterminologien´ecessaire. ´ Etantdonn´euncouplage,unsommetlibrenappartienta`uaucenraeˆetudnU.egalpuocchemin alternantarhplsgednnaehimepaspassnereequinctueslrapeˆmexuedsioftd,etonsomeetmm uneareˆtesurdeuxappartientaucouplage.Unchemin augmentantest un chemin alternant dont les deuxextre´mite´ssontdessommetslibres.Lide´ecommune`alaplupartdesalgorithmesquicalculentun couplagemaximalestlere´sultatsuivant:
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