analyse numérique - Université Mohammed V Agdal Faculté des ...

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analyse numérique - Université Mohammed V Agdal Faculté des ...

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Universit´eMohammedVAgdal Facult´edesSciences DepartementdeMathe´matiquesetInformatique ´ Avenue Ibn Batota, B.P. 1014 Rabat, Maroc

Fili` ere : SciencesMath´ematiquesetInformatique(SMI) et SciencesMath´ematiques(SM)

ModuleAnalyseNum´eriqueI: ANALYSE NUMERIQUE Notes de Cours

Par

Pr .Souad El BernoussiPr .jiaSEdı¨jaHlPr .Awatef Sayah [e-mail] [e-mail] htttp://www.fsr.ac.ma/ANO/

Anne´e2005-2006

TABLE DES MATIERES

1 Représentation des nombres en machine 3 1.1 Arithmétique des calculateurs et Sources derreurs . . . . . . . 3 1.1.1 Evaluation de lerreur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.2 La mémoire de lordinateur : le stockage des nombres . 5 1.2 Les régles de base du modèle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.3 Propagation des erreurs. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.3.1 Conditionnement et stabilité numérique. . . . . . . . . 9 2 Résolution de f(x)=0 11 2.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.2 Méthode de la bissection. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.3 Méthode de Newton-Raphson: . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.4 Méthode de la sécante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.5 Méthode du point xe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.6 Convergence et ordre de convergence. . . . . . . . . . . . . . . 18 2.6.1 Interprétation graphique. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.6.2 Ordre de convergence. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.7 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 3 Algèbre linéaire 22 3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 3.2 Rappels sur les systémes linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . 23 3.3 Méthode Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 3.4 FactorisationLU 30. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.1 Appplications de la FactorisationLU 32. . . . . . . . . . 3.5 Mesure des erreurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 3.6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

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Interpolation polynômiale 37 4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 4.2 Une méthode directe basée sur la résolution dun systéme linéaire: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 4.3 Une méthode itérative : Méthode de Lagrange . . . . . . . . . 42 4.3.1 Interpolation Linéaire : . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 4.3.2 Interpolation parabolique . . . . . . . . . . . . . . . . 44 4.3.3 Interpolation de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . 45 4.4 Interpolation Itérée de Newton-Côtes . . . . . . . . . . . . . . 47 4.5 Erreur dInterpolation polynomiale : . . . . . . . . . . . . . . 50 4.6 Exercices: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 Integration et dérivation numérique. 55 5.1 Introduction : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 5.2 Dérivation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 5.2.1 Dérivée première. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 5.2.2 Formule générale en trois points. . . . . . . . . . . . . 59 5.2.3 Dérivées dordre supérieur. . . . . . . . . . . . . . . . . 60 5.2.4 Etude de lerreur commise. . . . . . . . . . . . . . . . . 62 5.3 Méthodes numériques dintégration. . . . . . . . . . . . . . . . 62 5.3.1 Formules fermées. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 5.3.2 Etude générale de lerreur commise. . . . . . . . . . . . 64 5.3.3 Formules composées. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 5.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

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Chapitre 1

Représentation des nombres en machine

1.1 Arithmétique des calculateurs et Sources derreurs

Si sophistiqué quil soit , un calculateur ne peut fournir que des réponses approximatives. Les approximations utilisées dépendent à la fois des con- traintes physiques (espace mémoire, vitesse de lhorloge...) et du choix des méthodes retenues par le concepteur du programme . (pour plus de détails sur le fonctionnement dun ordinateur et la terminologie de base voir par exemple la page web htttp://www.commentcamarche.com Le but de ce chapitre est de prendre connaissance de limpact de ces contraintes et de ces choix méthologiques. Dans certains cas il doit être pris en compte dans lanalyse des résultats dont une utilisation erronée pourrait être coûteuse. La première contrainte est que le système numérique de lordinateur est discret, cest à dire quil ne comporte quun nombre ni de nombres; Il en découle que tous les calculs sont entachés derreurs.

1.1.1 Evaluation de lerreur Rappelons dabord quelques notion de base ; SiXest une quantité à calculer etX  la valeur calculée, on dit que : 1.XX  est lerreur etjEj=jXX  jest lerreur absolue.

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Exemple : SiX= 2:224etX  = 2:223alors lerreur absolue jEj=jXX  j= 2:2242:223 = 0:001

 2.E r =  X X r X  est lerreur relative,X r 6= 0: X r est une valeur de référence pourX général ,on prend. EnX r =X. Exemple : SiX= 2:224etX  = 2:223alors , si on prendX r =X, lerreur relative E XX  = jX jX X j  j = 0 2 : : 010 22 = 4 4:49610 4 r =  X r  Cependant, siXest la valeur dune fonctionF(t)avecatb;on choisira parfois une valeur de référence globale pour toutes les valeurs det. Exemple : SIX= sin(t)avec0t 4  ;on pourra prendre X= p sin( 2 s=put): 2 0t  4 En général , on ne connait pas le signe de lerreur de sorte que lon considère les erreurs absolues et les erreurs relatives absolues. Les opérations élémentaires propagent des erreurs. Dans la pratique, on considère que : 1) Lerreur absolue sur une somme est la somme des erreurs absolues. 2) Lerreur relative sur un produit ou un quotient est la somme des ereurs relatives. On peut estimer le¤et dune erreurEsur largumentxdune fonction f(x)au moyen de la dérivée def(x) e¤et. Enf(x+E)'f(x) +Ef 0 (x) Exemple : Calculer la valeur de(11111111) 2 La valeur fournie par une petite calculatrice à cinq chi¤ res est1;2345x10 14 Mais la réponse exacte est123456787654321.

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La machine a donc tronqué le résultat à 5 chi¤ res et lerreur absolue est de619 9 . Lerreur relative est de0:0005%. Cet exemple montre quil faut établir clairement lobjectif visé. Cet objectif est double ; 1) Nous voulons un bon ordre de grandeur (ici10 14 ) et avoir le maximum de décimales exactes, 2) Ce maximum ne peut excéder la longueur des mots permis par la machine et dépend donc de la machine

1.1.2 La mémoire de lordinateur : le stockage des nombres La mémoire dun ordinateur est formée dun certain nombre dunités adess- ables appelées OCTETS . Un ordinateur moderne contient des millions voir des milliards doctets. Les nombres sont stockés dans un ordinateur comme ENTIERS ou REELS.

Les nombres entiers : Les nombres entiers sont ceux que lon utilise dhabitude sauf que le plus grand nombre représentable dépend du nombre doctets utilisés: -avec deux(2)octets, on peut représenter les entiers compris entre 32768et32767 -avec quatre(4)on peut représenterr les entiers compris entreoctets 2147483648et2147483647

Les nombres réels Dans la mémoire dun ordinateur, les nombres réels sont représentés en no- tation ottante. Cette notation a été introduite pour garder une erreur relative à peu prés constante; quelque soit lordre de gandeur du nombre quon manipule. En notation ottante, un nombre a la forme:

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x=Yb e best la base du système numérique utilisé Yest la mantisse : une suite desentiery 1 y 2 :::y s avecy 1 6= 0six6= 0et 0y i (b1) eest lexposant(un nombre entier relatif) La norme choisie est celle où la mantisse est comprise entre0et1et où le premier chi¤re après la virgule est di¤érent de zéro. Calcul de lerreur Nous terminons ce chapitre en dénissant les notions de troncature et darrondie. Exemple : En base10; x= 1=15 = 0:066666666:::::: Dans le cas dune représentation tronquée nous aurons, pours= 5, f l(x) = 0:6666610 1 : Remarquez comment nous avons modié lexposant an de respecter la règle qui veut que le premier chi¤re de la mantisse ne soit pas nul . Dans ce cas, lerreur absolueXf l(X)est de610 7:  relative. Lerreur est de lordre de10 5 Dans une représentation tronquée àschi¤res, lerreur relative maximale est de lordre de10 s Dans une représentation arrondie, lorsque la première décimale négligée est supérieure à 5, on ajoute1à la dernière décimale conservée. Exemple : x=1=15=0:066666666: Nous écrironsf l(x) = 0:6666710 1 Lerreur absolue serait alors3:33310 7 et lerreur relative serait5 10 6 En général, lerreur relative dans une représentation arrondie àschi¤res est de510 (s+1) soit la moitié de celle dune représentation tronquée.

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