Approximations variationelles des EDP Notes du Cours de M2

Description

Approximations variationelles des EDP
Notes du Cours de M2
Albert Cohen
Dans ce cours, on s’int´eresse a` l’approximation num´erique d’´equations
auxd´eriv´eespartielleslin´eairesquiadmettentuneformulation variationelle,
c’est `a dire dont la solution u est aussi solution du probl`eme
(V) Trouver u∈X tel que a(u,v) =L(v) pour tout v∈X,
ou` X est un espace de Hilbert, a une forme bilin´eaire sur X×X, et L une
forme lin´eaire sur X. Ces formulations sont importantes pour les raisons
suivantes:
1. Denombreuxprobl`emesissusdelaphysiqueetdelam´ecaniqueadmet-
tent de telles formulations, et celles-ci reflettent souvent une propri´et´e
fondamentale du mod`ele, typiquement la minimisation d’une ´energie
sous-jacente.
2. Ces formulations donnent acc`es a` des r´esultats fondamentaux sur le
caract`ere bien pos´e de l’´equation, c’est `a dire l’existence et l’unicit´e de
la solution, et la stabilit´e de cette solution par rapport `a des pertur-
bations des donn´ees.
3. Elles sont a` la base de m´ethodes performantes pour l’approximation
num´erique des solutions, par la r´esolution d’un probl`eme approch´e:
trouver u ∈ X tel que a(u ,v ) = L(v ) pour tout v ∈ X , ou` Xh h h h h h h h
est un sous-espace de dimension finie de X.
Le cours se concentre autour de ce dernier aspect qui pose la question
du contrˆole de l’erreur u−u entre la solution exacte et la solution ap-h
proch´ee. On s’interessera tout particuli`erement `a la m´ethode des ´el´ements
finis dans laquelle les fonctions de X ...

Sujets

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Approximations variationelles des EDP Notes du Cours de M2 Albert Cohen

Danscecours,ons’int´eressea`l’approximationnum´eriqued’e´quations uxd´eriv´rtielleslin´eairesquiadmettentune formulation variationelle , a ees pa c’est`adiredontlasolution u estaussisolutionduproble`me (V) Trouver u ∈ X tel que a ( u, v ) = L ( v ) pour tout v ∈ X , o`u X est un espace de Hilbert, a uneformebilin´eairesur X × X , et L une formelin´eairesur X . Ces formulations sont importantes pour les raisons suivantes: 1.Denombreuxprobl`emesissusdelaphysiqueetdelam´ecaniqueadmet- tentdetellesformulations,etcelles-cireflettentsouventunepropri´et´e fondamentaledumode`le,typiquementlaminimisationd’une´energie sous-jacente. 2.Cesformulationsdonnentacc`es`adesr´esultatsfondamentauxsurle caract`erebienpos´edel’e´quation,c’est`adirel’existenceetl’unicite´de lasolution,etlastabilit´edecettesolutionparrapport`adespertur- bationsdesdonne´es. 3.Ellessonta`labasedeme´thodesperformantespourl’approximation nume´riquedessolutions,parlare´solutiond’unproble`meapproch´e: u trouver u h ∈ X h tel que a ( u h , v h ) = L ( v h ) pour tout v h ∈ X h , o` X h est un sous-espace de dimension finie de X . Le cours se concentre autour de ce dernier aspect qui pose la question ducontroˆledel’erreur u − u h entre la solution exacte et la solution ap- proch´ee.Ons’interesseratoutparticuli`erement`ala me´thodedese´l´ements finis dans laquelle les fonctions de X h sont polynomiales par morceaux sur unepartitiondudomainedelasolutiondel’e´quation. Cesnotescontiennentlatotalite´desre´sultatsducourssousuneforme relativementcondens´ee.Enparticulier,lesde´monstrationslesplussimples sontesquisse´esoulaiss´eesenexercice. Cesnotessontmises`ajouretcor- rig´eesentempsr´eel.Touteslesremarquespermettantd’ename´liorerla re´dactionpeuventeˆtreenvoye´esa`l’adresse [e-mail]. 1

1 Formulations et approximations variationelles 1.1 Un exemple fondamental Nousallonsillustrerlepassage`auneformulationvariationellesurl’exemple simplemaisimportantduproble`medulaplacien(ou´equationdePoisson): on cherche une fonction u telle que − Δ u = f dans Ω et u | ∂ Ω = 0 , (1.1) `Ωd´signeunouvertborne´deIR d , ∂ Ωd´esignelafronti`eredeΩet f est ou e unefonctionde´finiesurΩ. Ilestimportantdefairedeshypoth`esessuppl´ementairessurla r´egularite´ ge´ome´trique du domaine Ω. D´finition 1.1.1 Le domaine Ω est dit lipschitzien si il existe une une e famille finie de boules ouvertes ( B i ) i =1 , ∙∙∙ ,n telle que ∂ Ω ⊂ ∪ in =1 B i et sur chaque B i ilexisteunsyst`emedecoordonn´ees ( x 1 , ∙ ∙ ∙ , x d ) et une fonction ψ i lipschitzienne telle que Ω ∪ B i = { ( x 1 , ∙ ∙ ∙ , x d ) ∈ B i ; x d < ψ i ( x 1 , ∙ ∙ ∙ , x d − 1 ) } . (1.2) Intuitivementcelasignifiequelafronti`eredeΩpeut-eˆtrevuelocalement comme le graphe d’une fonction lipschitzienne. La pluspart des domaines classiques - en particulier les polygones en dimension 2 et presque tous les polyh`edresendimension3-sontlipschitziens.Desexemplesdedomaines non-lipschitzienssontceuxdontlafronti`erepre´sentedespointsderebrousse- ment,ouunefissurerentrantdansledomaine.Onpeutaussid´efinirdes domainesplusr´eguliers:ondiraqueΩestdeclasse C m, 1 lorsque les fonc- tions ψ i sont C m etleursd´eriveespartiellesd’ordre m sont lipschitziennes. ´ Touslesdomainesconside´r´esdanscecoursserontauminimumdetype lipschitzien. Afindedonnerunsens`al’e´quation(1.1)ilfautpr´eciser l’espace dans lequel on cherche la solution. Un premier choix intuitivement possible est de chercher u dans C 2 en supposant alors f continue.Enmultipliantl’´equation par une fonction v arbitraire de classe C 1 ,eteninte´grantsurledomaine,on obtient − Z Ω Δ u v = Z f v, (1.3) Ω et en appliquant la formule de Green Z Ω r u ∙ r v − Z ∂ Ω ∂ ∂n u v = Z Ω f v, (1.4) 2

o`u ∂ ∂ u n = r u ∙ n estlade´riv´eenormalede u , avec n le vecteur unitaire normal ext´erieuraubord ∂ Ω. Dans le cas d’un domaine lipschitzien, cette normale est d´finie en presque tout point de ∂ Ω et la formule de Green s’applique. e En supposant de plus que v s’annulle au bord on obtient ainsi Z Ω r u ∙ r v = Z Ω f v. (1.5) L’e´quationci-dessusgardeunsenslorsque u est seulement de classe C 1 . En introduisant l’espace X = { v ∈ C 1 ; v | ∂ Ω = 0 } , on obtient ainsi que toute solution de (1.1) est aussi solution de la formulation variationelle Trouver u ∈ X tel que a ( u, v ) = L ( v ) pour tout v ∈ X, (1.6) avec a ( u, v ) Z Ω v = hr u, r v i L 2 et L ( v ) := Z Ω f v = h f, v i L 2 , (1.7) := r u ∙ r ( dansl’ensembleducours,onneconsid`erequedesfonctionsa`valeurs re´elles,cequiexpliquel’absencedequantite´sconjugu´eesdanslad´efinition du produit scalaire ).Onvoitaise´mentque a estbilin´eairesur X × X et L estline´airesur X . Remarque 1.1.1 Laformulationvariationellenouspermetais´ementd’obtenir unresultatd’unicit´epourl’e´quation,enprouvant,cequiest´equivalent,que ´ u = 0 si f = 0 . En effet, en prenant dans ce cas v = u dans (1.6), on obtient r u = 0 , donc u estconstanteetforc´ementnullepuisque u ∂ Ω = 0 . Remarque 1.1.2 Ilestimportantdev´erifierquere´ciproquement,touteso- lutionsuffisamentre´guli`erede(1.6)estaussisolutiondelaformulation initiale (1.1). En supposant u de classe C 2 et solution de (1.6), on obtient en appliquant la formule de Green dans le sens inverse que Z (Δ u + f ) v = 0 , pour tout v ∈ X, (1.8) Ω quiimpliqueimm´ediatementque − Δ u = f (exercice: on peut au choix e´voquerl’e´galit´e Δ u + f = 0 ausensdesdistribution,ouladensit´ede X dans L 2 (Ω) , ou prouver directement que Δ u + f est nul en tout point de Ω ).

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Remarque 1.1.3 Il est assez naturel que l’espace X ou`l’oncherchela solutionsoitlemeˆmequeceluiqueparcourslesfonctions v . Remarquons que si X estunespacededimensionfinie,toute´equationdetype(1.6)peut sereformulersouslaformed’une´equationline´aire Au = f o`u A est l’unique endomorphisme de X tel que a ( u, v ) = h Au, v i et f l’unique´ele´mentde X tel que L ( v ) = h f, v i , avec h∙ , ∙i unproduitscalairefix´edans X . Dans un tel cas, l’unicite´delasolutionsignifieque A est injective et donc un isomorphisme ce qui assure l’existence d’une solution. Cependant nous travaillons ici en dimension infinie et ce raisonement n’est plus valable. L’existence de la solutionde(1.6)vade´coulerdelath´eoriedeLax-Milgram. 1.2The´oriedeLax-Milgram Danscettesection,onconside`reunprobl`emeg´ene´ralpouvantsemettresous la forme variationelle (V) Trouver u ∈ X tel que a ( u, v ) = L ( v ) pour tout v ∈ X , Letheore`medeLax-Milgramapporteuner´eponsea`l’existence,l’unicit´e ´ etlastabilite´delasolutiondansuncadrepr´ecis. The´ore`me1.2.1 On suppose que X est un espace de Hilbert et que les formes a et L v´erifientleshypoth`esessuivantes: 1.Continuit´ede L : | L ( v ) | ≤ C L k v k X pour tout v ∈ X . 2.Continuit´ede a : | a ( u, v ) | ≤ C a k u k X k v k X pour tout u, v ∈ X . 3.Coercivit´ede a : a ( u, u ) ≥ α k u k 2 X pour tout u ∈ X , avec α > 0 . Alors il existe une solution unique u auprobl`eme ( V ) quive´rifiel’estimation a-priori k u k X ≤ k L α k X 0 , (1.9) avec k L k X 0 = sup k v k X =1 | L ( v ) | la norme de L dans le dual X 0 de X . Preuve: L’estimationa`poste´rioris’´etablitenprenant v = u dans (V) puis enappliquantlacontinuit´ede L etlacoercivite´de a ce qui donne α k u k 2 X ≤ C L k u k X . (1.10)

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