Cet ouvrage fait partie de la bibliothèque YouScribe
Obtenez un accès à la bibliothèque pour le lire en ligne
En savoir plus

CHANGEMENT DE BASES RANG ET SYSTEMES LINEAIRES

4 pages
CHAPITRE 4 CHANGEMENT DE BASES, RANG ET SYSTEMES LINEAIRES 1

  • espaces vectoriels de dimension finie

  • famille

  • px ?

  • unicite des coordonnees

  • a11 ·

  • vecteurs de l'espace vectoriel


Voir plus Voir moins
Universit´edeNice D´epartementdeMath´ematiques
Cours 4 : Noeuds, cols, foyers et centres
Ann´ee2011-2012 Syst`emesDynamiques
Jusquicinousavonse´tudie´des´equationsdi´erentiellescommemod`elespourladynamiquedune quantit´eunique´evoluantaucoursdutemps.Apre´sentnousallons´etudierdessyste`mesdedeuxe´quations di´erentiellesmod´elisantladynamiquededeuxquantite´s(parexempleleseectifsdedeuxpopulations) e´voluantavecletempseninteractionluneaveclautre.
Syst`emesdedeuxe´quationsdi´erentielles Onconside`relesyst`emededeux´equationsdi´erentiellessuivant: 0 x=f(x, y) 0 y=g(x, y)
(1)
ou`fetgsont deux fonctions que l’on supposeralissesesc`at-ir-donecˆnitnemue´dtavir.)lbse( On appellesolution(ruetcevnu)1(et`emusysdx(t), y(tsdlentdo))no´neessuecxoodrnctionsontdesfo 0 du temps quie´veirntonaeterid-aleuqselleltiener-`ste,cme`e´dilestsyx(t) =f(x(t), y(t)) et aussi 0 y(t) =g(x(t), y(t)). On appellecondition initialeruedalosulitnoa`lavaleonlue(qlaitinitnatsnil choisitsouvente´gala`0),cest-`a-direlevecteur(x(0), y(0)). Parexemplepourlesyste`medi´erentielsuivant,appel´eoscillateur harmonique, 0 x=y (2) 0 y=x
onpeutv´erierfacilementque,pourtouteslesvaleursder0 etθ[0,2π[, le vecteur (x(t), y(t)) = (rcos(tθ), rsin(tθtioiocdnitlainine(2))estunesolutionysude`tsteemssuaueiqsolatilulaon,0) est (x(t), y(t)) = (2cost,2 sint). Commepourles´equationsdi´erentiellesuniques,onpeutrarementcalculerlessolutionsexactesdun telsyste`medie´rentiel.Mais,commepourlese´quationsdi´erentielles,onpeutmontrerquepourassurer lexistenceetlunicite´dessolutionsdusyst`eme,e´tantdonne´euneconditioninitiale(x(0), y(0)), il suffit que les fonctionsfetgralrclecueutdonc,sses.Onpdtsevaioa`´dfeua´tlenssnied´uiiltneiosnoitauqeq dessolutionsexactes,chercher`ade´crirelecomportementdessolutionssoitparunee´tude qualitative, soit encalculantdessolutionsapproch´ees(ou,mieuxencore,lorsquecestpossible,encombinantlesdeux approches).
Trajectoires et champs de vecteurs Onpeutrepre´senterge´om´etriquementlessolutionsdusyste`medi´erentieldedeuxfa¸consdie´rentes: soit on trace les graphes de chacunes des deux composantes de la solution comme des fonctions du temps, soit on trace la courbe image det(x(t), y(t)) qui est unebruorapee´mae´rtecdans le plan (x, y) qu’on appelle unetrajectoire.eme`stsydu Dans le cas de l’oscillateur harmonique, les trajectoires sont des cercles concentriques (pourquoi?). Onsaitquelavitessedede´placementsurlacourbesolutionestdonn´eeparlevecteur vitesseque l’on peutcalculersimplement`alaidedesde´riv´eesdesdeuxcomposantesdelasolution   0 x(t) V=. 0 y(t)
0202 A noter que plus sa longueurkVk=x(t) +y(t) estgrande et plus la courbe est parcourue rapidement parladynamiqueassoci´eeausyst`eme. Bienquonneconnaissepaseng´ene´rallestrajectoires,onconnaitne´anmoinsleursvecteurstangent V(x, ype´nelratsyseme`uitpusqesilontd)neottuopniitlereneid´V(x, y) = (f(x, y), g(x, y)). Au syste`medi´erentielcorresponddoncunchamps de vecteurseer´srapaetm´uocssebr.naleltEdanslep t7→(x(t), y(tedit`emntie´ereltseslnoebtsocrusoui)q)itulostnsysudsnogeanesntchenunaceledsru pointsauvecteurdecoordonne´es(f(x, y), g(x, y)). Etudequalitative,isoclines,e´quilibres Le´tude qualitativedusenaxemdnraitdrue,unusyst`emisno`ets`tsycemeerinap,`´eadrmteaper¸cudu champs de vecteursdne´ddereuianl’alluredes trajectoires. Pour cela on remarque que sif(x, y) = 0 en un point, le vecteur du champs de vecteur sera vertical encepoint,etdemˆemesig(x, yquatd´eionqteudeiuruebalocizortaonOnl.d´en0=)sli,hareg(x, y) =
1
Un pour Un
Permettre à tous d'accéder à la lecture
Pour chaque accès à la bibliothèque, YouScribe donne un accès à une personne dans le besoin